Rappresentazione dell informazione

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1 Rappresentazione dell informazione

2 Informazione analogica e digitale

3 Rappresentazione dell informazione Il primo tipo di informazione che si presta ad essere rappresentato rigorosamente è l informazione numerica n aste per rappresentare il numero n (numerazione unaria) ëlog k (n)û + 1 cifre per rappresentare il numero n in base k

4 Bit = binary digit Con un bit si possono rappresentare due informazioni diverse 0/1, vero/falso, acceso/spento 1 byte = 8 bit Informazioni più complesse richiedono un numero variabile di bit Con N bit si possono rappresentare 2 N informazioni diverse N = 2 -> 00, 01, 10, 11

5 Informazione non numerica Informazione testuale (caratteri) Informazione grafica (forme geometriche) Informazione musicale (digitalizzata o no) Fotografie Video

6 Testo ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 7 o 8 bit usati per rappresentare 128/256 caratteri A ogni lettera (le maiuscole da A a Z, le minuscole da a a z), cifra (da 0 a 9) separatore o simbolo viene assegnato un numero naturale rappresentabile in forma binaria Ad esempio A viene codificata in ASCII come numero 65 e la sua forma binaria è Il separatore ; viene codificato come 59 e la sua forma binaria è

7 Immagini Quadradito = pixel Ogni pixel può assumere n colori diversi 2 colori (1 bit) 1024 colori (10 bit)

8 Esempio RGB è un modello di colori Specifiche descritte nel 1931 da CIE (Commission internationale de l'éclairage) Si basa sui tre colori rosso (Red), verde (Green) e blu (Blue)

9 Codifica Numeri naturali 237 : 2 = 118 resto : 2 = 59 resto 0 59 : 2 = 29 resto 1 29 : 2 = 14 resto 1 14 : 2 = 7 resto 0 7 : 2 = 3 resto 1 3 : 2 = 1 resto 1 1 : 2 = 0 resto = = 237 Generalizzabile ad altre basi Da base due a base 8 (o 16) e viceversa è più facile. Perché?

10 Attenzione Rappresentazione del numero 32: Servono 6 bit Implicitamente sono 33 elementi diversi: da 0 a 32 ëlog 2 (32)û + 1 = elementi diversi hanno rappresentazione da 0 a 31 Bastano quindi 5 bit -> ëlog 2 (31)û + 1 = 4+1

11 Primi esempi di rappresentazione Con un byte possiamo rappresentare i numeri naturali da 0 a k 2 n -1 se n = 8: 0 k = ; 8 10 = ; ; = Oppure i numeri interi compresi fra 127 e 127 -(2 n-1-1) k 2 n-1-1 se n = 8: -127 k +127 Primo bit = 0: numero positivo, primo bit = 1: numero negativo = = = e =

12 Operazioni elementari Inversione di un bit 0 -> 1, 1 -> 0 Somma di due bit 0+0 = 0, 1+0 = 1, 0+1 = 1, 1+1 = 0 (1) 0*0 = 0, 1*0 = 0, 0*1= 0, 1*1 = 1 Se interpretiamo 0 come Falso e 1 come Vero, le operazioni di cui sopra diventano operatori logici Inversione = negazione, (NOT, ) Somma logica, (OR, Ú) Prodotto logico, (AND, Ù)

13 Somma cifra per cifra riporto risultato

14 Modulo e segno Dato un numero intero N, codificato su n bit, il bit più significativo rappresenta il segno 0 significa positivo e 1 negativo I restanti n-1 bit rappresentano il valore assoluto del numero N = 6 -> 3 bit + 1 per il segno -> 0110 N = -6 -> 1110 Problemi con le operazioni aritmetiche elementari Analisi del segno Confronto dei valori assoluti

15 Somma tra due numeri NO segno A = segno B NO A > B SI RIS = A + B RIS = B - A RIS = A - B segno RIS = segno A segno RIS = segno B segno RIS = segno A

16 Complemento a 1 Codifica diversa per semplificare l algoritmo di calcolo Non si distingue più il segno dal modulo Dato un numero N, il suo opposto si calcola complementando ad uno ad uno tutti i bit che compongono il numero N = > -N = Somma e sottrazione richiedono solo sommatori e negatori (per il calcolo dell opposto) Il risultato è corretto a meno di un 1 nel caso in cui si verifichi un riporto nella somma stessa Quindi si usa sempre una seconda somma per sommare il riporto generato (fosse zero la somma sarebbe inutile)

17 Esempio N = (+25) e M = (+3) N + M = = (+28) K = (-3) N + K = = (1) = (+22) Numeri devono essere rappresentati con lo stesso numero di cifre Sempre due somme Non è la soluzione ottima, ma è la meno costosa

18 Complemento a 2 Ulteriore miglioramento con rappresentazione più complicata Somme algebriche con una sola addizione Notazione non simmetrica (-2 n-1 N 2 n-1-1) Una sola codifica per il numero zero Numeri positivi hanno sempre la stessa codifica Numeri negativi -N è quel numero che sommato a N produce una configurazione di tutti zero e un bit di riporto che si trascura Operativamente Complemento a 1 e poi si somma uno Si scorre il numero da destra a sinistra, lasciando inalterate le cifre fino al primo uno (compreso) e si complementano le altre

19 Esempio N = (+25) -N = = oppure -N = Salvo solo il primo uno e complemento tutto il resto N = (+25) e M = (+3) K = (-3) N + K = = (1) = (+22) M N = = (-22) > +22 Attenzione a leggere i numeri negativi

20 Confronto Codifica Modulo e segno Complemento a 1 Complemento a

21 Numeri razionali Virgola fissa Si codificano separatamente la parte intera e la parte frazionaria Ad esempio primo byte: rappresentazione parte intera secondo byte: rappresentazione parte frazionaria Virgola mobile Mantissa e esponente (o caratteristica): r = m b n Con b = 10: viene rappresentato m = e n = 3

22 Conversione = = = ½ + 1 ¼ = = 2.25

23 = 1.174: parte frazionaria e parte intera = 0.348: parte frazionaria e parte intera = 0.696: parte frazionaria e parte intera = 1.392: parte frazionaria e parte intera = 0.784: parte frazionaria e parte intera = 1.568: parte frazionaria e parte intera = Precisione (con quattro cifre binarie dopo la virgola) (con sei cifre binarie dopo la virgola)

24 Virgola fissa (39.345) Parte intera (39) 39:2 = :2 = 9 1 9:2 = 4 1 4:2 = 2 0 2:2 = 1 0 1:2 = 0 1 Parte frazionaria (.345).345 x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = = =

25 Numero normalizzato (r = m b n ) Si impone che m sia sempre minore di 1 e la sua cifra decimale più significativa sia sempre diversa da normalizzato non normalizzato Un numero binario rappresentato in v.m. assume la forma normalizzata:1.d -1 d -2 d -3...d -(p-1) 2 e si rappresenteranno esplicitamente: i bit dopo la virgola l'esponente il segno del numero

26 IEEE 754 È lo standard più diffuso per la rappresentazione dei numeri in virgola mobile Quattro formati per i numeri in virgola mobile: a precisione singola (32 bit) Un numero in virgola mobile è rappresentato su parole di 32, 64 o 128 bit divisi in tre parti: un bit di segno (S), un campo esponente (E) e uno mantissa (M) Precisione singola (32 bit): 1/8/23 Precisione doppia (64 bit): 1/11/52

27 (-1) S x 2 E x M S (segno): 0 positivo e 1 negativo E (esponente in forma intera) Permette di rappresentare 256 valori I valori 0 e 255 vengono riservati per funzioni speciali Gli altri permettono di rappresentare 254 valori per i numeri in forma normale, compresi tra -126 e 127 Il campo è rappresentato in eccesso k: E = e + k Per i numeri a precisione singola, k è uguale a 127 In questa rappresentazione, i valori dell'esponente compresi tra e 127 assumono invece i valori compresi tra 1 e 254, eliminando la necessità di un bit riservato al segno

28 Mantissa Il campo M rappresenta la sequenza di cifre dopo la virgola Tutte le mantisse sono normalizzate in modo che il numero prima della virgola sia 1, per cui per un dato M il valore corrispondente è m = 1.M La mantissa è costituita dal numero binario 1, seguito dalla virgola e dalla parte decimale del numero rappresentato, in forma binaria

29 Esempio: Numero negativo, quindi S = 1 Numero 2 : ,1 Normalizzazione, spostiamo la virgola verso sinistra, lasciando solo un 1 alla sua sinistra La mantissa è riempita con zeri a destra fino a riempire i 23 bit: L'esponente è pari a 6, ma E = = 133 In forma binaria:

30 Numeri reali I numeri frazionari possono introdurre approssimazioni Presenza di un numero limitato di cifre dopo la virgola Numeri reali approssimati dai razionali