LA CODIFICA DELLE INFORMAZIONI

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1 LA CODIFICA DELLE INFORMAZIONI

2 I SEGNALI PER COMUNICARE ANALOGICO DIGITALE Gli esseri umani ed i computer utilizzano differenti tipi di segnali per comunicare.

3 INFORMAZIONE ANALOGICA La voce umana e la trasmissione dei segnali di radio e televisione sono comunicazioni di tipo ANALOGICO dove le grandezze fisiche sono funzioni continue del tempo. V(t) t

4 INFORMAZIONE DIGITALE La trasmissione dei segnali nei computer ed in genere nei circuiti elettronici avviene in modo DIGITALE poiché le grandezze fisiche sono rappresentate da stati discreti. Nei circuiti di memoria di un computer lo viaggia come un segnale a basso voltaggio e spegne gli interruttori (transistor), al contrario l viaggia ad alto voltaggio e li accende.

5 DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI I segnali elettrici continui (analogici) vengono convertiti in segnali digitali. La conversione comporta un certo grado di approssimazione.

6 DA ANALOGICO A DIGITALE V(t) soglia t V(t) V(t) soglia soglia t t

7 PRECISIONE DEI SEGNALI I segnali digitali sono meno affetti da disturbi di trasmissione. La minore sensibilità al rumore consente di replicare perfettamente il segnale.

8 PRECISIONE DEI SEGNALI (CONT.) V(t) V(t) t t V(t) V(t) soglia soglia t t

9 LA RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI Tutte le informazioni sono rappresentate in forma binaria o digitale utilizzando due soli simboli: ed Con una cifra binaria si possono quindi rappresentare soltanto due informazioni.

10 LA RAPPRESENTAZIONE DELLE INFORMAZIONI (CONT.) Le ragioni di questa scelta sono prevalentemente di tipo tecnologico: Due possibili stati di polarizzazione di una sostanza magnetizzabile; Passaggio/non passaggio di corrente attraverso un conduttore; Passaggio/non passaggio della luce attraverso una fibra ottica.

11 IL BIT Unità fisica di informazione che vale oppure Il nome proviene da Binary Digit. Si utilizzano i multipli del bit: Kilo Kb 2 ~ un migliaio (24) Mega Mb 2 2 ~ un milione (24x24) Giga Gb 2 3 ~ un miliardo (Mbx24) Tera Tb 2 4 ~ mille miliardi (Gbx24)

12 CODIFICA BINARIA Per poter rappresentare un numero maggiore di informazioni è necessario utilizzare sequenze di bit. Utilizzando due bit si possono rappresentare quattro (2 2 ) informazioni diverse: Il processo che fa corrispondere ad una informazione una configurazione di bit prende il nome di codifica dell informazione.

13 SEQUENZE DI BIT Numero di bit nella sequenza Informazioni Rappresentabili 2 4 (2 2 ) 3 8 (2 3 ) 4 6 (2 4 ) 5 32 (2 5 ) 6 64 (2 6 ) 7 28 (2 7 ) (2 8 )

14 I CARATTERI UTILIZZATI NELLA COMUNICAZIONE SCRITTA o 52 lettere alfabetiche maiuscole e minuscole o cifre (,, 2,, 9) o Segni di punteggiatura (,. ; :!? ^ \ ) o Segni matematici (+, -,, ±, {, [, >, ) o Caratteri nazionali (à, è, ì, ò, ù, ç, ñ, ö,...) o Altri segni grafici ) o In totale 22 caratteri circa.

15 CODICE Si pone quindi la necessità di codificare in numeri binari almeno 22 caratteri. La sequenza di bit necessaria a rappresentare 22 simboli deve essere composta da 8 bit e prende il nome di CODICE.

16 IL BYTE Un gruppo di 8 bit viene denominato Byte. Corrisponde ad un carattere. Unità di misura della capacità di memoria. Si utilizzano i multipli del Byte: Kilo KB 2 ~ un migliaio (24) Mega MB 2 2 ~ un milione (24x24) Giga GB 2 3 ~ un miliardo (MBx24) Tera TB 2 4 ~ mille miliardi (GBx24)

17 RAPPRESENTAZIONE DI DATI ALFABETICI Un codice numerico per ogni carattere Codifiche standard: ASCII, 8 bit per carattere, rappresenta 256 carartteri. UNICODE, 6 bit per carattere ASCII e caratteri etnici. Codifiche proprietarie: MSWindows, 6 bit per carattere simile ad UNICODE.

18 CODICE ASCII: AMERICAN STANDARD CODE FOR INFORMATION INTERCHANGE A B C X 58 : 89 Y 59 ; 9 Z 6 <. 6 = 97 a. 98 b 64 ñ 99 c 35 ç

19 ESEMPI Computer in ASCII diventa: C=67=, m=9=, u=7=, e==, o==, p=2=, t=6=, r=4=

20 IL SISTEMA DI NUMERAZIONE POSIZIONALE DECIMALE Nella numerazione posizionale ogni cifra del numero assume un valore in funzione della posizione, in particolare ogni numero si esprime come la somma dei prodotti di ciascuna cifra per la base elevata all esponente che rappresenta la posizione della cifra. Esempio: Il sistema decimale (Base ) Cifre : Posizione: =

21 NOTAZIONE POSIZIONALE (CONT.) La notazione posizionale può essere usata con qualunque base creando così differenti sistemi di numerazione. Per ogni base di numerazione si utilizza un numero di cifre uguale alla base. In informatica si utilizza prevalentemente la numerazione: binaria, ottale, esadecimale. Il sistema di numerazione romano non è posizionale: Ad esempio, XIII vs. CXII.

22 SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE La numerazione decimale utilizza una notazione posizionale basata su cifre (da a 9) e sulle potenze di Il numero 234 può essere rappresentato esplicitamente come: 2 x x + 4 x

23 SISTEMA DI NUMERAZIONE BINARIO Il sistema di numerazione binario utilizza una notazione posizionale basata su 2 cifre ( e ) e sulle potenze di 2 Il numero può essere rappresentato esplicitamente come: 2 = x x x 2 + x 2 = 9

24 SISTEMA DI NUMERAZIONE OTTALE Il sistema di numerazione ottale utilizza una notazione posizionale basata su 8 cifre (da a 7) e sulle potenze di 8 Il numero 534 può essere rappresentato esplicitamente come: = 5 x x x 8 = 348

25 SISTEMA DI NUMERAZIONE ESADECIMALE La numerazione esadecimale utilizza una notazione posizionale basata su 6 cifre (da a 9 poi A, B, C, D, E, F) e sulle potenze di 6 Il numero B7FC 6 può essere rappresentato esplicitamente come: () x x (5) x 6 + (2) x 6 = 47

26 NUMERI INTERI SENZA SEGNO Con n cifre, in base B, si rappresentano tutti i numeri interi positivi da a B n (B n numeri distinti) Esempio: base 2 cifre: da a 2 = = valori Esempio: base 2 2 cifre: da a 2 2 = = 4 valori

27 CONVERSIONE DA BASE N A BASE Per convertire un numero da una qualunque base alla base è sufficiente rappresentarlo esplicitamente: 2 = x x x 2 + x 2 = = 7 x x 8 + x 8 = 456 A5 6 = () x x 6 + x 6 = 264

28 CONVERSIONE DA BASE A BASE N Per convertire un numero ad una base n qualsiasi occorre trovare tutti i resti delle successive divisioni del numero per la base n fino ad ottenere un quoziente nullo. Le cifre del numero sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l ultimo resto Ad esempio se si vuole trovare il valore binario del numero 43 basterà dividere 43 per la base 2 ripetutamente

29 CONVERSIONE DA BASE A resto Leggendo la sequenza dei resti dal basso verso l'alto, si ottiene il numero: 2

30 VERIFICA DI CORRETTEZZA Per una verifica di correttezza basta riconvertire il risultato alla base : 2 = x x x x x 2 + x 2 = 43

31 NUMERI INTERI CON SEGNO Per rappresentare numeri con segno in binario, occorre utilizzare bit per definire il segno del numero Si possono usare 3 tecniche di codifica : Modulo e segno Complemento a 2 Complemento a

32 MODULO E SEGNO Il bit più significativo rappresenta il segno: per i numeri positivi, per quelli negativi Esiste uno zero positivo ( ) e uno zero negativo ( ) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra : (2 n- ) e +2 n- Esempio: con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ( (2 3 )) e +7 (2 3 ) positivi negativi

33 COMPLEMENTO A 2 Il complemento a 2 di un numero binario (N) 2 a n cifre è il numero 2 n (N) 2 = (N) 2 n Tale numero si ottiene Effettuando il complemento a di ogni cifra del numero di partenza: si trasforma ogni in e ogni in Aggiungendo al numero ottenuto 2 8 complemento a N 2 8 N 2 8 N+ 33

34 INTERI IN COMPLEMENTO A 2 I numeri positivi sono rappresentati in modulo e segno I numeri negativi hanno un nella posizione più significativa e sono rappresentati in complemento a 2 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili è da 2 n- a +2 n- Ad esempio: numeri a 4 cifre Nota:

35 OPERAZIONI BINARIE : SOMMA Le regole per l addizione di due bit sono : + = con riporto + = con riporto + = con riporto += con riporto

36 OPERAZIONI BINARIE : SOMMA Esempio : + riporti

37 OPERAZIONI BINARIE : SOTTRAZIONE Le regole per la sottrazione di due bit sono : - = - = - = - = con prestito di dalla cifra precedente a sinistra ( = ) Il calcolo della sottrazione può divenire complicato: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno, l operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad del sottraendo 37

38 OPERAZIONI BINARIE : SOTTRAZIONE Esempio :

39 OPERAZIONI BINARIE : PRODOTTO Le regole per il prodotto di due bit sono: x = x = x = x = Moltiplicare per 2 n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando 39

40 OPERAZIONI BINARIE : PRODOTTO Esempi : x 3 x 5 55 x = 5 x 6 = 86 x 2 4

41 OPERAZIONI BINARIE : DIVISIONE La divisione binaria di A per B viene calcolata in modo analogo alla divisione decimale, così da ottenere un quoziente Q ed un resto R, tali che A = B Q + R La divisione binaria si compone di una serie di sottrazioni ^ ^ ^ ( 54 = Dividere per 2 n equivale a scorrere il numero a destra di n posizioni; le cifre scartate costituiscono il resto = con resto 4

42 ESERCIZI Eseguire le seguenti operazioni direttamente in binario, convertire in decimale e verificare il risultato: + ; - ; x.

43 ALGEBRA DI BOOLE

44 Algebra di Boole L algebra di Boole è un formalismo che opera su variabili (dette variabili booleane o variabili logiche o asserzioni) che possono assumere due soli valori: Vero Falso L algebra booleana nasce come tentativo di definire in forma algebrica processi di tipo logico-deduttivo Tuttavia, poiché di fatto l algebra di Boole opera su variabili binarie (vero e falso sono i 2 soli simboli), i suoi operatori possono essere inclusi fra gli operatori dell algebra binaria.

45 L OPERAZIONE DI OR Si definisce l operazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo se il valore di almeno uno degli operandi è il simbolo + = + = + = =

46 L OPERAZIONE DI AND Si definisce l operazione di prodotto logico (AND): il valore del prodotto logico è il simbolo se il valore di tutti gli operandi è il simbolo = = = = 46

47 Operatori ed Espressioni Booleane L algebra di Boole si basa su un insieme di operatori: AND (indicato in genere dal simbolo ) OR (indicato in genere dal simbolo + ) NOT (indicato in genere dal simbolo - ) XOR (indicato in genere dal simbolo ) NAND (indicato in genere dal simbolo ) NOR (indicato in genere dal simbolo ) In realtà, qualunque funzione booleana può essere realizzata utilizzando 2 soli operatori: AND e NOT oppure OR e NOT

48 Tabelle di Verità Sulle variabili booleane è possibile definire delle funzioni (dette funzioni booleane o logiche). Anch esse possono assumere i due soli valori vero e falso. Le funzioni booleane possono essere definite tramite le tabelle di verità. Una tabella di verità di una funzione di N variabili ha 2 N righe, una per ogni possibile combinazione delle variabili, e N+ colonne, N per rappresentare la combinazione delle variabili più una per il valore corrispondente della funzione X X 2 X 3 F

49 NOT - AND - OR X NOT Il risultato è la negazione della variabile X X 2 AND Il risultato è (Vero) se entrambe le variabili hanno valore X X 2 OR Il risultato è (Vero) se almeno una delle variabili ha valore

50 XOR - NAND - NOR X X 2 XOR Il risultato è (Vero) se una sola delle due variabili ha valore X X 2 NAND NAND (X, X 2 ) = NOT (AND (X,X 2 )) X X 2 NOR NOR (X, X 2 ) = NOT (OR (X, X 2 ))

51 not (and (x,x2)) X X 2 and(x.x2) not (and (x,x2))

52 INTERPRETAZIONE LOGICA DEGLI OPERATORI Se si ha una operazione (indicata con * ) del tipo: A * B il risultato è vero se: * condizione OR AND XOR A o B (o entrambe) sono vere sia A che B sono vere A o B (ma non entrambe) sono vere

53 ALCUNE PROPRIETÀ Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà: commutativa X AND X 2 = X 2 AND X X OR X 2 = X 2 OR X associativa X AND X 2 AND X 3 = X AND(X 2 ANDX 3 ) X OR X 2 OR X 3 = X OR(X 2 ORX 3 ) distributiva X AND X 2 OR X AND X 3 = X AND(X 2 OR X 3 ) Per l operatore NOT si provano le seguenti identità: X OR NOT(X) = X AND NOT(X) = NOT (NOT (X)) = X

54 LEGGI DI DE MORGAN, NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B) NOT(A OR B) = (NOT A) AND (NOT B) Esercizio : Verificate con le tabelle di verità le due leggi

55 Esercizi Verificare se le seguenti coppie di funzioni booleane sono equivalenti (cioè hanno la stessa tabella di verità): o C AND (A OR NOT B) e ((NOT B) OR A) AND C o NOT ((C AND B) OR A ) e A NOR (B NAND C) o C AND (NOT A OR B) e C NAND (A OR B) o A AND (B AND NOT C) e (NOT A) OR ((NOT C) NAND B)