Esercitazioni - Informatica A

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1 Esercitazioni - Informatica A Roberto Tedesco tedesco@elet.polimi.it Ufficio: 3, piano DEI Tel: oppure Ricevimento: venerdì Sito web del corso: Slide mostrate durante l esercitazione Raccolte di esercizi Di regola, le slide saranno disponibili prima della lezione - - Politecnico di Milano Numeri naturali (numeri senza segno

2 Il sistema posizionale L idea del sistema posizionale: ogni cifra ha un peso Esempio: 32 = Facciamo un passo indietro Un numero generico di m cifre è rappresentato dalla sequenza di cifre: a n, a n-, a n-2,..., a a n cifra più significativa, a cifra meno significativa n = m a i {,,..., p } insieme delle cifre utilizzabili p è detto base Di solito noi usiamo la base decimale (p= Esempio: 32 m = 3, 3, 2 a i {,,..., 9} a 2 = a = a = Rappresentazione in base p Nel sistema posizionale, un numero naturale N, composto da m cifre, in base p, si esprime come: N p = a n p n + a n n p a p + a p = n i= Esempio in base decimale o base dieci (p=: 32 = Posso rappresentare i numeri nell intervallo discreto: [, p m ]. i a p i - 4-2

3 Rappresentazione in base due Base binaria o base due: p=2 a i {, } chiamate bit (binary digit Una sequenza di otto bit è detta byte Esempio, con m=5: 2 = ( = 27 Converto dalla base 2 alla base Posso rappresentare i numeri nell intervallo discreto: [, 2 m ] Esempio: con m=8, rappresento numeri binari: [ 2, 2 ], ovvero [, 255 ] 2 8 = Conversione base dieci base due Esempio, 4 : 4 : 2 = 7 resto = 7 : 2 = 3 resto = 3 : 2 = resto = : 2 = resto = 4 =

4 Somma Le cifre sono e ; il riporto può essere solo Riporto precedente Somma Risultato Riporto Somma e carry Esempio: carry riporto + (5 = ( (4 riporti + (5 = ( (25 se uso 5 bit; 9 se considero 4 bit: errato

5 Base ottale (o base otto p=8; a i {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Esempio: = ( = 56 Sapendo che 8 = 2 3 : conversione binario ottale Esempio: 2 2 = ( = 5 = = ( = 7 = = ( = 4 = 4 8 Quindi, 2 = Sapendo che 8 = 2 3 : conversione ottale binario Esempio: = = = 2 = = 6 = 2 Quindi, 26 8 = Base esadecimale (o base sedici p=6; a i {,, 2,, 9, A, B, C, D, E, F} Esempio: B7F 6 = ( = 2943 B al posto di e F al posto di 5 Sapendo che 6=2 4 : Conversione binario esadecimale Esempio: 2 2 = ( = = 6 2 = ( = 7 = = ( = 3 = D 6 Quindi, 2 = 7D 6 Sapendo che 6=2 4 : Conversione esadecimale binario Esempio: A3 6 A 6 = = = 3 = 2 Quindi, A3 6 =

6 Politecnico di Milano Numeri interi (numeri con segno Modulo e segno Non posso memorizzare il segno, uso una codifica Uso un bit per memorizzare il segno: significa numero negativo, numero positivo. Esempio m=3: Num. intero, Num. intero, base due, base modulo e segno 3 2 +?

7 Complemento a due (CPL 2 Usando m bit: ( N CPL2 = (2 m N 2 Esempio (m=3: ( N CPL2 = (2 3 N 2 Num. intero base Trasformazione 8 4 = = = 6 8 = 7 nessuna nessuna nessuna nessuna Num. intero, base 2, CPL 2, m=3 4 = 5 = 6 = 7 = = = 2 = 3 = Complemento a due (CPL 2 Posso rappresentare i numeri nell intervallo discreto: [ 2 m, 2 m ] Asimmetria tra negativi e positivi Esempio (m=8: [ 28, +27], perché 2 7 = 28 e 2 7 = +27 Tutti i numeri negativi cominciano con il bit più significativo posto a, mentre tutti i positivi e lo zero iniziano con uno

8 Calcolo pratico del CPL 2 Se m, il numero di bit da utilizzare per memorizzare il numero intero, è conosciuto: Il minimo numero negativo che potrò codificare sarà 2 m, mentre il massimo numero positivo che potrò codificare sarà 2 m Se ho N e N 2 m, lo codifico in base due così com è, su m bit (aggiungendo cioè zeri a sinistra così da riempire tutti gli m bit disponibili Se ho N e N 2 m, uso la seguente regola rapida : Parto dal numero positivo N e lo codifico in base due su m bit (aggiungo cioè zeri a sinistra così da riempire tutti gli m bit disponibili Modifico ogni in ed ogni in ( complemento Sommo, usando le consuete regole dell addizione binaria Calcolo pratico del CPL 2 Se m non è conosciuto, lo ricavo nel seguente modo: Se ho numero positivo N, prendo il minimo m tale che N 2 m Se ho numero negativo N, prendo il minimo m tale che N 2 m Quindi eseguo l algoritmo illustrato nella slide precedente Se devo codificare un intervallo [-N, +M ]: Calcolo m per N Calcolo m per +M m = max (m, m

9 Calcolo pratico del CPL 2 Esempio: 2 con m=8 bit: 2 = = Esempio: 5 con m=? bit: provo con m=2,3,4 e scopro che 5 2 (4, allora m=4; adesso codifico 5 con m=4 bit: 5 = = Valore decimale di un numero in CPL 2 Se il numero è positivo (bit più significativo posto a, lo converto usando la solita sommatoria Se il numero è negativo (bit più significativo posto a, allora: Calcolo il modulo del numero, ovvero applico ancora su di esso il CPL 2 Considero il numero risultante N 2 come un NATURALE (cioè come un numero senza segno, l eventuale iniziale non indica più il segno e lo converto con la solita sommatoria. Ottengo N A questo punto, il numero decimale è N

10 Valore decimale di un numero in CPL 2 Esempio: 2 =? Numero negativo Applichiamo CPL 2 e otteniamo: 2 Consideriamolo un naturale e convertiamolo usando la solita sommatoria: 2 = 63 Allora 2 = 63 Esempio: 2 =? Numero positivo Convertiamolo usando la solita sommatoria: 2 = Somma e sottrazione in CPL 2 Somma: come per i naturali Sottrazione: N N 2 = N + ( N 2 CPL2 Carry: Il bit di carry non viene considerato! Overflow: Se, sommando due interi di m bit dotati di segno concorde, ottengo un risultato di segno discorde (sempre considerando m bit, allora si ha un overflow (il risultato non è codificabile su m bit e l operazione è errata L overflow non può verificarsi se gli operandi sono di segno discorde

11 Somma e sottrazione in CPL 2 Esempi (m=7 cioè da 64 a +63 : + (+5 = ( ( 3 riporti + (-5 = ( carry (butto via il carry ( Somma e sottrazione in CPL 2 riporti + ( 64 = ( carry (butto via il carry (+56 : sbagliato; dovrebbe essere 72 Overflow: 72 non è codificabile su 7 bit in CLP 2 riporti + (+63 = ( ( 63 : è sbagliato; dovrebbe essere +65 Overflow: +65 non è codificabile su 7 bit in CPL

12 I Flag Insieme di segnalatori, calcolati dopo ogni istruzione: Z (Zero. Vale sse il risultato dell addizione è zero; altrimenti N (Negative. Vale sse il risultato dell addizione è negativo; altrimenti C (Carry. Vale sse l addizione ha prodotto un carry; altrimenti V (overflow. Vale sse l addizione ha prodotto un overflow; altrimenti Per esempio, nell esercizio che aveva per risultato 2, avrei ottenuto: Z=; N=; C=; V= I Flag sono usati da alcune istruzioni della macchina di Von Neumann Conclusione Se si opera con numeri che si considerano naturali, si sta attenti al Flag di carry (C, se si opera con numeri che si considerano interi, si sta attenti al Flag di overflow (V I Flag sono computati tutti, al termine di ogni istruzione (escluse le istruzioni di salto Come fa a macchina di Von Neumann a sapere se sta operando su numeri naturali o interi? Semplicemente, NON LO SA! Le operazioni che la macchina esegue sono identiche in entrambi i casi, soltanto l interpretazione dei risultati cambia

13 Politecnico di Milano Numeri reali Parte frazionaria di un numero Rappresentiamo la parte frazionaria di un numero reale In base due, un numero frazionario N, composto da n cifre, si esprime come: N 2 n i 2 = a 2 + a a n 2 = ai 2 i= n Esprimo in realtà l equivalente in base dieci Esempio con n=3:, 2 = ( =,875 Date n cifre in base p=2, posso rappresentare numeri nell intervallo continuo: [ 2,, 2 ] ovvero nell equivalente in base dieci: [, 2 n ] ε è l errore di approssimazione ε < ε max = 2 n

14 Parte frazionaria di un numero Esempio, con n=8: Codifico i numeri [, 2,, 2 ] ovvero i numeri compresi in [, 2 8 =, ] ε max = 2 8 =, Parte frazionaria di un numero Per passare dalla base dieci alla base due. Esempio, convertiamo,2 avendo n=6:,2 2 =,42 parte intera = parte fraz. =,42,42 2 =,84 parte intera = parte fraz. =,84,84 2 =,68 parte intera = parte fraz. =,68,68 2 =,36 parte intera = parte fraz. =,36,36 2 =,72 parte intera = parte fraz. =,72,72 2 =,44 parte intera = parte fraz. =,44 Termino quando ho utilizzato gli n bit a disposizione Prendo le parti intere, dalla prima all ultima Allora,2, 2 Riconvertendo:, 2 =,2325 ε=,2,2325=,6875; ε < ε max ; (ε max =2 6 =,

15 Virgola fissa Uso m bit e n bit per parte intera e frazionaria Esempio (m=8, n=6, tot. 4 bit: -23,2-23 = 2,2 2-23,2, 2 Come scelgo m e n? Precisione costante lungo R: R Virgola mobile (floating( point Il numero è espresso come: r = mb n m e n sono in base p m: mantissa (numero frazionario con segno b: base della notazione esponenziale (numero naturale n: caratteristica (numero intero Esempio (p=, b=: -33,6875 =, m =, n = 3 Precisione variabile lungo R. Per es. con 5 cifre per m: 322,4323 =,322 5 = 322 (ho perso,4323 7,34532 =,73453 = 7,3453 (ho perso,2 R - 3-5

16 Virgola mobile (floating( point Mantissa (m: Codifico solo la parte a destra della virgola Codifico il segno Caratteristica (n: l 2 bit l bit m con segno (l bit n (l 2 bit Virgola mobile (floating( point Quando la prima cifra a destra della virgola è diversa da zero, il numero in virgola mobile si dice normalizzato Es., è normalizzato perché la prima cifra a destra della virgola è 3 La normalizzazione permette di avere, a parità di cifre usate per la mantissa, una maggiore precisione. Es. Uso l =5 cifre per la mantissa: +45,6768 +, ,456 4 Ho perso,8 Ho perso,

17 Politecnico di Milano Caratteri Caratteri Codifica numerica ASCII (American Standard Code for Information Interchange utilizza 7 bit (estesa a 8 bit L ASCII codifica I caratteri alfanumerici (lettere maiuscole e minuscole e numeri, compreso lo spazio I simboli ecc Alcuni caratteri di controllo (TAB, LINEFEED, RETURN, BELL, ecc

18 Tabella ASCII (parziale DEC CAR DEC CAR DEC CAR DEC CAR DEC CAR A 75 K 97 a 7 k B 67 C 68 D 69 E 7 F 7 G 72 H 73 I 74 J 76 L 77 M 78 N 79 O 8 P 8 Q 82 R 83 S 84 T 85 U 86 V 87 W 88 X 89 Y 9 Z b 99 c d e 2 f 3 g 4 h 5 i 6 j 8 l 9 m n o 2 p 3 q 4 r 5 s 6 t 7 u 8 v 9 w 2 x 2 y 22 z Tabella ASCII Anche le cifre numeriche sono codificate Le lettere sono in sequenza alfabetica Per passare dal minuscolo al maiuscolo: Codice maiuscolo = Codice minuscolo 32 Alcuni caratteri sulla tastiera italiana: ALT-23= { oppure SHIFT-ALTGR-[ ALT-25= } oppure SHIFT-ALTGR-] ALT-26= ~ Sul libro a pag. 43 si trova la tabella ASCII estesa

19 Politecnico di Milano Algebra di Boole e circuiti logici Algebra di Boole E basata su tre operatori: AND, OR, NOT Ogni formula può assumere solo due valori: vero o falso. Idem per le variabili Rappresentiamo vero con e falso con AND e OR sono operatori binari (come, per esempio, l operatore somma + dell algebra NOT è un operatore unario (come, per esempio, l operatore fattoriale! dell algebra

20 Operatori booleani Tavole di verità: A B A AND B A B A OR B A NOT A Operatori booleani Gli operatori AND e OR godono delle seguenti proprietà: Commutativa: A OR B = B OR A A AND B = B AND A Distributiva di uno verso l altro: A OR (B AND C = (A OR B AND (A OR C A AND (B OR C = (A AND B OR (A AND C

21 Ancora operatori booleani: : XOR Operatore XOR (OR esclusivo: A B A XOR B A XOR B = (NOT A AND B OR (A AND NOT B Espressioni booleane Regole di precedenza: NOT ha la massima precedenza poi segue AND infine OR (e XOR Se voglio alterare queste precedenze devo usare le parentesi (a volte usate solo per maggior chiarezza Per valutare un espressione booleana si usa la tabella della verità Espressioni booleane uguali: sse le tabelle della verità sono identiche

22 Dalla formula alla tabella Vediamo un esempio, per l espressione: D = A AND NOT (B OR C A B C D = A AND NOT (B OR C Dalla tabella alla formula Se conosco la tabella della verità, posso ricostruire la formula logica. Partiamo dalla tabella: A B C NOT A AND B A AND NOT B A AND B C = (NOT A AND B OR (A AND NOT B OR (A AND B

23 Porte logiche Ogni operatore booleano (AND, OR, NOT ha un equivalente elettronico: A B A C C A C B C = A AND B C = A OR B C = NOT A Le porte AND e OR sono operatori n-ari : A B C D A B C D D=A AND B AND C Dalla formula al circuito Esempio: C = NOT (NOT A AND NOT B A C B