Analogico vs. Digitale. LEZIONE II La codifica binaria. Analogico vs digitale. Analogico. Digitale

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1 Analogico vs. Digitale LEZIONE II La codifica binaria Analogico Segnale che può assumere infiniti valori con continuità Digitale Segnale che può assumere solo valori discreti Analogico vs digitale Il computer può lavorare soltanto con grandezze di tipo digitale e finite. Non tutte le grandezze che vorremmo rappresentare sono digitali (es: il colore, il suono, le forme. È pertanto necessario trasformare le informazioni da analogico a digitale, e codificarle prima di poterle trasmettere al computer. 4 Bit e byte L unità minima di informazione che il computer può trattare è binaria (/, il bit: Binary digit Dati e programmi sono memorizzati in unità chiamate Byte Un byte è a sua volta costituito da 8 bit la scelta del byte ha ragioni storiche

2 5 6 Bit e byte La memoria centrale Nella memoria del computer è possibile memorizzare esclusivamente sequenze di bit e il processore può elaborare soltanto dati espressi come sequenze di bit. Qualsiasi tipo di informazione deve quindi essere codificata in formato binario la specifica codifica associazione tra i dati e le stringhe binarie- dipende dalle applicazioni (parleremo della rappresentazione dei vari tipi di informazione nelle prossime lezioni 7 Rappresentazione posizionale Sistema di numerazione arabico: introdotto in Europa nel Medio Evo in base dieci: utilizza le dieci cifre,,, 9 in base b: utilizza b cifre Esempio: in base 6, utilizza 6 cifre:,,9,a,b,,f Esempio: in base, utilizza cifre:, è una notazione posizionale: il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione nella successione di simboli che rappresenta il numero. 8 Rappresentazione posizionale Esempi in base : 4= x + x + x + 4x 4 = 4x + x + x + x

3 9 Rappresentazione posizionale In generale, dato un numero composto di n cifre, si ha che: c n c n...c c = c n n + c n n + + c + c Si chiamano cifre piú significative quelle associate ai pesi maggiori. La cifra c n è la piú significativa e c è la cifra meno significativa. Es. 4 = x + x + x + 4x Es. 4 = 4x + x + x + x Rappresentazione posizionale Base : quella in cui lavora il calcolatore cifre, Base : quella dell utente umano cifre,,,,4,5,6,7,8,9 Base 8: per abbreviare i numeri binari cifre,,,,4,5,6,7 Base 6: per abbreviare i numeri binari cifre,,,,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f Rappresentazione posizionale Se la base della numerazione è B, si hanno a disposizione B cifre, comprese tra e B. Tramite n cifre in base B è possibile rappresentare B n numeri naturali, da a B n -. c n c n...c c = = c n. B n + c n. B n + + c. B + c. B =! i:...n c i. B i Esempio: 75 8 = 7x8 + x8 + 5x8 = 45 Rappresentazione posizionale: proprietà notevoli seguito da n rappresenta B n ; ad es: base : = 5 base : = 5 base 8: = 8 5 base 6: = 6 5 n cifre massime rappresentano B n -; ad es: base : = 5 - base : = 5 - base 8: = base 6: FFFFF = 6 5 -

4 4 Cambio di base: da base B a base Si applica la definizione c n c n...c c = c n. B n + c n. B n + + c. B + c. B Cambio di base: da base a base Esercizi: due = (x 5 + x 4 + x + x + x + x dieci = ( dieci = 44 dieci Esempi base : base 8: due = ( dieci = 9 dieci 75 otto = ( dieci = 477 dieci due = (x 5 + x 4 + x + x + x + x dieci = ( + + dieci = 5 dieci base 6: F sedici = ( dieci = 69 dieci 5 Cambio di base: da base a base B 6 Algoritmo: conversione da decimale a binario Dato il numero n in base : Si usano divisione intera div e resto mod nel modo seguente: n mod B è rappresentato dalla cifra c meno significativa della rappresentazione di n in base B n div B è rappresentato dalle cifre precedenti Ad es., nella base : 57 mod = 7 è rappresentato da 7 57 div = 5 è rappresentato da 5 La rappresentazione emerge attraverso divisioni intere successive finché si ottiene il quoziente. Si raccolgono man mano i resti, che corrispondono alle cifre del numero nella nuova base, partendo da quella meno significativa Dividere per e memorizzare il resto Finché il quoziente non è, continuare a dividere per e memorizzare il resto Alla fine (quoziente disporre i resti da destra a sinistra nell ordine in cui sono stati ottenuti

5 Codifica dell algoritmo: costruiremo un foglio excel che esegue la conversione 7 8 Cambio di base: esempio (base 8 Rappresentare 75 dieci in base 8 Passo Dividiamo per 8, e il resto della divisione costituisce la cifra meno significativa della rappresentazione in base 8 che stiamo costruendo: 75 div 8 =8 (è il quoziente della divisione 75 mod 8= (è il resto della divisione 9 Cambio di base: esempio (base 8 Passo Dividiamo per 8 il quoziente ottenuto al passo (cioè 8, e il resto della divisione costituisce la seconda cifra meno significativa della rappresentazione in base 8 che stiamo costruendo: 8 div 8 =4 8 mod 8= Passo Dividiamo per 8 il quoziente ottenuto al passo (cioè 4, e il resto della divisione costituisce la seconda cifra meno significativa della rappresentazione in base 8 che stiamo costruendo: 4 div 8 =5 4 mod 8= Cambio di base: esempio (base 8 Passo 4 Dividiamo per 8 il quoziente ottenuto al passo (cioè 5, e il resto della divisione costituisce la seconda cifra meno significativa della rappresentazione in base 8 che stiamo costruendo: 5 div 8 = 5 mod 8=5 5 Per sicurezza facciamo la prova: 5 8 = =75

6 Cambio di base: esempio (base Rappresentare 9 dieci in base Passo Dividiamo per, e il resto della divisione costituisce la cifra meno significativa della rappresentazione in base che stiamo costruendo: Cambio di base: esempio (base Passo Dividiamo per il quoziente ottenuto al passo (cioè, e il resto della divisione costituisce la seconda cifra meno significativa della rappresentazione in base che stiamo costruendo: 9 div =4 (è il quoziente della divisione 9 mod = (è il resto della divisione div = mod = Passo Dividiamo per il quoziente ottenuto al passo (cioè 4, e il resto della divisione costituisce la seconda cifra meno significativa della rappresentazione in base 8 che stiamo costruendo: 4 div = 4 mod = Passo 4 Dividiamo per il quoziente ottenuto al passo (cioè, e il resto della divisione costituisce la seconda cifra meno significativa della rappresentazione in base 8 che stiamo costruendo: div = mod = Cambio di base: ultimi esempi da base a base Rappresentare 4 dieci in base 4 Cambio di base: ultimi esempi da base a base Rappresentare dieci in base numero divisore quoziente resto 4 cifra bin. meno significativa 5 5 cifra bin. più significativa 4dieci = due riprova: =+8+=4 numero divisore quoziente resto 5 cifra bin. meno significativa 5 cifra bin. più significativa dieci = due riprova: + =8+=

7 5 6 Rappresentazione binaria Da ora in poi consideriamo la rappresentazione binaria e in particolare: Numeri naturali Numeri interi relativi Rappresentazione in modulo e segno Rappresentazione in complemento Numeri reali Accenno al floating point N: numeri naturali Tramite n cifre in base è possibile rappresentare n numeri naturali, da a n -. Per i numeri naturali si usano di solito bit = " 4x 9 Raddoppiando la lunghezza, il massimo numero rappresentabile aumenta esponenzialmente. Se si utilizzano 64 bit 64 ",6x I primi 6 numeri binari Aritmetica finita =. = =. = =. +. = =. +. = = = 4 = = 5 = = 6 = = 7 = 8 = 9 = = = = = 4 = 5 I calcoli numerici vengono eseguiti dal processore, e sono memorizzati nei registri del processore. Siccome i registri hanno lunghezza prefissata L, numeri la cui rappresentazione binaria richiede più di L cifre non sono rappresentabili. È possibile che la somma di due numeri rappresentabili con L bit sia un numero la cui rappresentazione richiede più di L bit, e quindi non è rappresentabile. In questi casi si parla di errore di overflow. Nell aritmetica finita dei calcolatori i numeri relativi sono rappresentati in complemento, come vedremo i numeri reali sono rappresentati in virgola mobile, come vedremo

8 9 Z: numeri interi relativi Z: rappresentazione con modulo e segno Codifica con modulo e segno: consiste nell indicare il segno seguito dal valore assoluto, come succede normalmente nella codifica decimale. Se si dedicano n bit alla rappresentazione del numero: Il primo bit indica il segno per positivo per negativo Gli altri n bit rappresentano il valore assoluto Esempi = = = = Ha il difetto di duplicare la rappresentazione del numero, cosa che può complicare l esecuzione ed il controllo delle operazioni aritmetiche. Z: rappresentazione in complemento La rappresentazione grafica dei numeri sulla retta permette di comprenderne alcune proprietà Per comprendere le proprietà dell aritmetica finita occorre passare alla rappresentazione su circonferenza Z: rappresentazione in complemento In complemento a 6, si ha l aritmetica dell orologio senza la lancetta delle ore (segna sempre l ora zero 45 da a 59 5 Interi assoluti -5-5 da a 9 non negativi da - a - negativi negativi: quanto manca all ora Per passare dal numero assoluto al suo corrispondente negativo: si sottrae al numero il valore 6 (es: 45-6= -5. Viceversa, per passare dal numero negativo al suo corrispondente assoluto, si sottrae da 6 il valore assoluto del numero (es: 6-5=45

9 Z: complemento a con bit In complemento a con bit significa in complemento a =8 4 Z: Rappresentazione in complemento a due Valori assoluti da a non negativi da -4 a - negativi Valori in complemento; per i blu: quanto manca a 8 Range di rappresentabilità con n bit Con n bit possono essere rappresentati gli interi compresi tra n- e +( n-. Esempio: con 4 bit possono essere rappresentati gli interi compresi tra 4- e +( 4- cioè tra -8 e +7 Con bit possono essere rappresentati gli interi compresi tra -4 e + 5 Z: Rappresentazione in complemento a due Dati n bit, un numero negativo x si rappresenta con il valore binario corrispondente a n x. Si ottiene comunque che: se il numero è negativo, la cifra più significativa nella rappresentazione è se il numero è positivo, la cifra più significativa nella rappresentazione è. Viceversa: dato un numero x negativo rappresentato con n bit in complemento a, il numero in base corrispondente si ottiene sottraendo n dal valore assoluto di x. 6 Z: Rappresentazione in complemento a due Esempio: dati bit, un numero negativo x si rappresenta con il valore binario corrispondente a -x. n assoluto n in compl. a bit : bit detto bit del segno bit : - -4=4 = -=5 = -=6 = -=7 =

10 7 Z: Rappresentazione in complemento a due Viceversa: dalla rappresentazione in complemento due alla base. n assoluto n in compl. a bit : + bit bit del segno bit : = = - 6- = - 7- = - X (assoluto- X (assoluto- n 8 Z: Rappresentazione in complemento a due Esempio: rappresentazione dei numeri relativi avendo a disposizione celle di memoria di 4 bit 8 ( 4-8=8 dieci = due 7 ( 4-7=9 dieci = due 6 ( 4-6= dieci = due 5 ( 4-5= dieci = due 4 4 ( 4-4= dieci = due 5 ( 4 -= dieci = due 6 ( 4 -=4 dieci = due 7 ( 4 -=5 dieci = due 9 Esercizio: Interi assoluti e interi relativi Esercizio: date celle di memoria di un byte (cioè di 8 bit Quanti e quali numeri interi assoluti posso rappresentare posso rappresentare 8 =56 numeri interi assoluti: da a 55 Quanti e quali numeri interi relativi posso rappresentare posso rappresentare 8 =56 numeri interi relativi: da -8 a +7 4 Gli errori di overflow L intervallo dei numeri interi (assoluto o relativi rappresentabili con un fissato numero di bit è limitato Eseguendo un operazione su numeri rappresentabili, può accadere che il risultato esca dall intervallo rappresentabile; in tal caso si dice che si ha un errore di overflow ESEMPIO con 8 bit: 8 =56 Caso di valori assoluti: massimo rappresentabile = 55 Overflow = perché > 55 Caso complemento a : intervallo rappr.: Overflow - - = - perché < -8

11 4 R: numeri reali 4 R: rappresentazione in virgola mobile Nella notazione scientifica: un numero reale viene rappresentato come ± m x p Es... =,x 8 Se, piú in generale, la base è B, ± m x B p Il coefficiente m è detto mantissa (la convenzione è di inserire implicitamente la virgola decimale subito dopo la prima cifra p, detto caratteristica, è l esponente a cui elevare la base B La rappresentazione binaria dei numeri reali che usa la notazione scientifica è detta rappresentazione in virgola mobile (floating point. due =,x due Cambiando il numero di cifre dedicato alla rappresentazione di mantissa ed esponente cambia la precisione dei risultati che si ottengono. L interesse a uniformare la precisione di calcolo ha condotto alla definizione di uno standard internazionale proposto dall Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE. 4 R: rappresentazione in virgola mobile Virgola mobile: m E e con mantissa m per numeri diversi da :! m < B e esponente significato m E e = m. B e 44 R: rappresentazione in virgola mobile precisione singola, bit s z F Esempio decimale: 44, in virgola mobile si scrive:,44 E =,44. bit segno 8 bit per l esponente bit per la parte frazionaria F della mantissa Esempio binario:, in virgola mobile si scrive:, E = (

12 45 R: errori di arrotondamento 46 R: errori di arrotondamento La rappresentazione esatta di alcuni numeri richiederebbe un numero infinito di cifre Es. / =, # =,459.. Un problema analogo sorge per numeri con valore assoluto molto grande o molto piccolo, in cui il numero di cifre richiesto non sarebbe infinito, ma molto elevato In questi casi possiamo considerare solo le cifre piú significative. Qualunque sia la codifica scelta, la rappresentazione dei numeri nel calcolatore è soggetta ad approssimazioni. Il limitato numero di cifre disponibili nella mantissa porta ad errori di arrotondamento quando si debbano rappresentare numeri con una mantissa più lunga. Tali approssimazioni si propagano nel corso della esecuzione delle operazioni causando errori numerici anche importanti. Il calcolo numerico è la disciplina che studia le proprietà dell esecuzione delle operazioni tramite calcolatore e valuta l entità degli errori introdotti durante l esecuzione.