Informatica. Ottali ed esadecimali. Numeri naturali binari nei calcolatori 02/03/2007. Introduzione ai sistemi informatici 1

Transcript

1 Informatica Pietro Storniolo Numeri naturali binari nei calcolatori Per la codifica dei numeri naturali (interi positivi) si utilizzano abitualmente successioni di 32 bit (4 byte) con cui si possono rappresentare i numeri compresi tra e 2 32 = 4'294'967' Aumentando la lunghezza delle successioni il massimo numero rappresentabile cresce esponenzialmente: passando da 32 a 64 bit il massimo numero rappresentabile diventa =.6 9. A causa del minor numero di simboli dell alfabeto binario rispetto a quello decimale, un numero codificato in notazione binaria richiede più cifre rispetto a quelle impiegate in notazione decimale. Ottali ed esadecimali Utili per rappresentare sinteticamente i valori binari Ottali (base b = 8) Alfabeto ottale: cifre comprese tra e 7 34 otto = = = 236 dieci 46 otto = = = 87 dieci Ogni cifra ottale corrisponde a tre cifre binarie: due = [] [] [] = 34 otto due = [] [] [] [] = 46 otto Esadecimali (base b = 6) Alfabeto esadecimale: cifre 9 + lettere A F EC sedici = = = 236 dieci 33 sedic = = = 87 dieci Ogni cifra esadecimale corrisponde a quattro cifre binarie: due = [] [] = EC sedici due = [] [] [] = 33 sedici Introduzione ai sistemi informatici

2 Numeri interi Alfabeto binario anche il segno è rappresentato da o è indispensabile indicare il numero k di bit utilizzati Modulo e segno bit di segno ( positivo, negativo) k bit di modulo Esempio: +6 dieci = ms 6 dieci = ms si rappresentano i valori da 2 k + a 2 k con 4 bit i valori vanno da 7 a +7 con 8 bit i valori vanno da 27 a +27 Attenzione: ci sono due rappresentazioni dello con 4 bit sono + dieci = ms dieci = ms Diverse codifiche/interpretazioni Codice Nat Codice Nat Numeri interi in complemento a 2 Alfabeto binario anche il segno è rappresentato da o è indispensabile indicare il numero k di bit utilizzati Complemento a 2 X corrisponde al binario naturale di 2 k + X +6 dieci = 22 [] C2 6 dieci = [] C2 si rappresentano i valori da 2 k a 2 k con 4 bit i valori vanno da 8 a +7 con 8 bit i valori vanno da 28 a +27 Con 32 bit i valori vanno da 2'47'483'648 fino a +2'47'483'647 Attenzione: c è una sola rappresentazione dello con 4 bit è+ dieci = C2 mentre C2 = 8 dieci Introduzione ai sistemi informatici 2

3 Il complemento a 2 Metodi alternativi per calcolare la rappresentazione di X X a partire da quella di X Effettuare il complemento di ogni bit di X, poi aggiungere rappresentazione di +6 dieci = C2 (NB ci vogliono 4 bit!!) complemento di tutti i bit C2 (corrisponderebbe a -7 dieci ) aggiungere C2 (che corrisponde a -6 dieci ) Partendo da destra e andando verso sinistra, lasciare invariati tutti i bit fino al primo compreso, complementare tutti gli altri bit. rappresentazione di +6 dieci = C2 (NB ci vogliono 4 bit!!) gli ultimi due bit ( ) rimangono invariati gli altri due bit vengono complementati ( C2 ) Complemento a 2: alcune osservazioni Se si considera la notazione posizionale, si può notare che nella rappresentazione binaria in complemento a due il valore si può ottenere anche associando alla cifra più significativa un peso negativo,, mentre tutte le altre cifre mantengono il peso originario positivo. Il valore di un numero c n c n 2 c c scritto in complemento a due è c n 2 n + c n 2 2 n c 2 + c 2 Esempi: C2 = = dieci, C2 = = dieci. Complemento a 2: alcune osservazioni I valori positivi iniziano con,, quelli negativi con Data la rappresentazione di un numero su k bit, la rappresentazione dello stesso numero su k+ bit si ottiene aggiungendo (a sinistra) un bit uguale al primo (estensione( del segno ) Rappresentazione di 6 su 4 bit = Rappresentazione di 6 su bit = Rappresentazione di 6 su 8 bit = la sottrazione si effettua come somma algebrica 4 6 = +4 + ( 6) = + = = = +9 + ( 6) = + = [] = +3 Introduzione ai sistemi informatici 3

4 C2: rappresentazioni con diversi #bit Naturale in Complemento a due (# bit) base dieci C2: operazioni Operazioni di somma di numeri binari in complemento a due. Con gli 8 bit utilizzati negli esempi qui riportati si possono rappresentare i numeri interi da 28 dieci fino a +27 dieci C dieci + C dieci + C2 = +6 dieci = C2 = 7 8dieci = C2 +8 dieci C2-3 4dieci C2 + 2 dieci + C dieci + C2 = 6 dieci = C2 = + 7 8dieci = C2 8 dieci C dieci C2: operazioni C dieci + C2 + 6 dieci + C2 = + 6 dieci = C2 = 7 8dieci = C2 8dieci C2 + 8dieci Se due operandi dello stesso segno danno un risultato di segno opposto vuol dire che è stata superata la capacità di calcolo (overflow( overflow). Introduzione ai sistemi informatici 4

5 Diverse codifiche/interpretazioni Dieci Due C2 Dieci Due C2 Diverse codifiche/interpretazioni Codice Nat C Codice Nat C Numeri razionali Cifre più significative: : sono le cifre associate ai pesi maggiori per i numeri maggiori di, le cifre più significative sono quelle poste più a sinistra, per esempio, nel numero 723'46, la cifra più significativa è 7, associata al peso, seguita da 2, con peso 4, e così via; nel caso di numeri minori di, che iniziano con seguito dal separatore decimale, le cifre più significative sono le prime diverse da che si incontrano andando da sinistra verso destra, per esempio, nel numero.7234 la cifra più significativa è 7, con peso 3, seguita da 2, con peso 4, e così via. Quando i numeri hanno un valore molto grande o molto piccolo, si considerano solo le cifre più significative, adottando una rappresentazione che viene indicata come notazione scientifica: un numero in base B viene rappresentato come ±.m B e, segno (+ oppure ), coefficiente m, detto mantissa, che è la parte frazionaria compresa tra e esponente e a cui elevare la base della numerazione, che è un intero ( ) Esempi: -23'4'' diventa.234 2, con segno negativo, mantissa 234, ed esponente 2; +.234, corrisponde a.234, con segno positivo, mantissa 234 ed esponente. Introduzione ai sistemi informatici

6 Rappresentazione binaria Per esempio + diventa +., segno positivo; mantissa (si noti che la mantissa inizia sempre con ); esponente è C2 (si noti come l esponente sia un numero intero e per questo sia necessario adottare una rappresentazione che permetta la codifica anche di valori negativi, come, per esempio, quella in complemento a due). Standard IEEE-74 (Institute of Electrical and Electronic Engineers): precisione doppia: 64 bit precisione singola: 32 bit Area di overflow negativo ( ) Numeri negativi con mantissa normalizzata Area di underflow Numeri positivi con mantissa normalizzata Area di overflow positivo (+ ) Numeri negativi con mantissa non normalizzata Numeri positivi con mantissa non normalizzata Analogico vs digitale Informazione classificatoria e più che classificatoria Informazione classificatoria: è questo, ma avrebbe potuto essere quest altro altro. Informazione più che classificatoria: riconoscere distinzioni; stabilire una relazione d ordine ( questo è maggiore di quest altro ); stabilire una metrica ( questo è distante un certo valore da quest altro ). L insieme delle entità di informazione ha una struttura. La struttura dice cosa si può fare con le entità di informazione dell insieme, in termini di operazioni di combinazione e di confronto. Si tratta di informazione su informazione (meta-informazione) in presenza della quale l insieme delle entità di informazione diventa un sistema, cioè appunto un insieme con struttura. Introduzione ai sistemi informatici 6

7 Due alternative Meta-informazione esplicita nel supporto: il supporto ha una struttura corrispondente a quella presente tra entità di informazione. Meta-informazione implicita nella regola di codifica: al supporto si richiede solo di avere configurazioni molteplici e distinguibili l una dall altra, la meta-informazione è definita in modo estensionale nella regola di codifica. Cosa succede nei due casi se si aggiungono i mezzi punti? Analogico e digitale Meta-informazione esplicita nel supporto Codifica ALOGICA Meta-informazione implicita nella codifica Codifica DIGITALE Analogico vs digitale Analogico Digitale Definizione della codifica Ridefinizione codifica vs variazione entità informazione Applicabilità vs cardinalità entità informazione Applicabilità vs struttura entità informazione Condizioni sul supporto Intensionale Nessuna ridefinizione Estensionale Estendere il processo definito in precedenza OK anche per Solo per cardinalità finita cardinalità non finita e con entità note a priori Solo se c èc una struttura Solo se il supporto ha una struttura OK in ogni caso OK in ogni caso Introduzione ai sistemi informatici 7

8 Da analogico a digitale:. la quantizzazione Ampiezza della grandezza fisica Codificheassegnateaivalorisceltiper rappresentare gli insiemi Valori rappresentativi dei diversi insiemi Demarcazione degli insiemi individuati Da analogico a digitale: 2. il campionamento La grandezza varia nel tempo e non può essere rappresentata da un solo valore. I valori di riferimento debbono essere rilevati in diversi istanti di tempo (frequenza di campionamento). La quantizzazione deve poi essere ripetuta per ogni valore campionato. Ampiezza della grandezza fisica Tempo Campionamento e quantizzazione Ampiezza della grandezza fisica Valori rappresentativi Tempo Introduzione ai sistemi informatici 8

9 Campionamento e quantizzazione Ampiezza A3 A2 A A Tempo t t2 t3 t4 t t6 t7 T T2 T3 T4 T T6 T7 Ricostruzione Ampiezza A3 a3 A2 a2 Andamento originario della grandezza A a Andamento della grandezza ricostruito dai valori campionati A a Tempo t t2 t3 t4 t t6 t7 T T2 T3 T4 T T6 T7 Quantizzazione su più livelli Ampiezza A7 A6 a7 a6 Andamento della grandezza ricostruito dai valori campionati con otto livelli di quantizzazione A A4 a a4 Andamento originario della grandezza A3 a3 A2 A a2 a Andamento della grandezza ricostruito dai valori campionati con quattro livelli di quantizzazione A a Tempo t t2 t3 t4 t t6 t7 T T2 T3 T4 T T6 T7 Introduzione ai sistemi informatici 9

10 Suono digitale Formato standard per i CD audio frequenza di campionamento di 44' Hz quantizzazione su 6'36 livelli (un campione viene codificato su 6 bit) Un secondo di musica stereo richiede 44' campioni di 6 bit (2( 2 byte) ciascuno per due canali, quindi 76'4 byte. L errore che si commette nella ricostruzione del segnale sonoro è difficilmente rilevabile da parte di un orecchio umano. Foto digitali Per la codifica digitale delle immagini le operazioni di campionamento amento e quantizzazione si applicano nello spazio invece che nel tempo. Il campionamento consiste nel dividere l immagine l in sottoinsiemi (pixel,, cioè picture element), per ognuno dei quali si dovrà prelevare un campione che si considera rappresentativo del colore di tutto il sottoinsieme. La quantizzazione è la codifica del colore associato a ogni pixel: i più recenti formati utilizzano 32 bit (4 byte) per pixel: 8 bit per ognuna delle tre componenti fondamentali (RGB:( red, green, blue) ) e altri 8 per gestire le trasparenze. Memoria necessaria per immagini non compresse (bitmap( bitmap) per un immagine di pixel servono '228'8 byte; per un immagine di 8 6 pixel servono '92' byte; per un immagine di pixel servono 3'4'728 byte; per un immagine di pixel servono '242'88 byte; per un immagine di 6 2 pixel servono 7'68' byte; Il successo del digitale Rumore: : effetto dell ambiente sul supporto. Tensione (V) Quanto un supporto è immune al rumore? Codifica analogica: ogni configurazione è 4 lecita dal punto di vista informazionale e quindi risulta impossibile distinguere il 3 rumore dal segnale. Non Codifica digitale: un valore binario è 2 lecito associato a un insieme di configurazioni valide quindi si può riconoscere il rumore che porta in configurazioni non lecite trascurare il rumore che non fa uscire il segnale dall insieme associato alla stessa configurazione binario binario Introduzione ai sistemi informatici

11 Come ridurre il numero di bit Esempio successione di un milione di caratteri, ognuno scelto dall insieme {A, C, G, T}; la frequenza dei quattro caratteri all interno della successione non è uguale: A si presenta nel % dei casi, C nel 2%, G e T solo nel 2.% dei casi. Codifica digitale a lunghezza costante due bit per ciascuno dei simboli, per esempio: A =, C =, G = e T = ; la lunghezza complessiva della successione è quindi pari a 2 milioni di bit. Codifica a lunghezza variabile (che tenga conto della distribuzione) A =, C =, G = e T = ; la lunghezza complessiva della successione è di.7 milioni di bit ( % + 2 2% % %) bit/carattere milione di caratteri Il cambiamento di codifica permette di ridurre il numero di bit utilizzato senza perdere informazione. La compressione dei dati Gli algoritmi di compressione dei dati possono essere distinti in due categorie fondamentali Compressione lossless, se non provoca la perdita di informazione Compressione lossy, se provoca la perdita di informazione Gli algoritmi di compressione lossy sono specifici per i diversi domini applicativi. Introduzione ai sistemi informatici