Informazione e Informatica

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1 L informazione e la sua codifica Informatica e Informazione La codifica dell informazione Analogico vs digitale Introduzione al concetto di informazione Informazione e Informatica Informatica Informazione e Codifica 2 1

2 Informatica e telecomunicazione Cos è l informatica? lo studio sistematico degli algoritmiche descrivono e trasformanol informazione: la loro teoria, analisi, progetto, efficienza, realizzazione e applicazione [ACM Association for Computing Machinery] la scienza della rappresentazione e dell elaborazione dell informazione Cos è la telecomunicazione? la trasmissione rapida a distanza dell informazione Attenzione: Non si parla di tecnologia dei calcolatori! Si attribuisce ruolo centrale al concetto di informazione! Informatica Informazione e Codifica 3 Descrizioni di eventi D1: lettore sta leggendo un testo D1.1: lettore sta leggendo un testo di informatica D2: lettore sta controllando i suoi movimenti oculari. D2.1: lettore sta controllando i suoi movimenti oculari focalizzando macchie di inchiostro su carta. Informatica Informazione e Codifica 4 2

3 Il concetto di informazione un foglio cosparsodi macchie Configurazione 1 Configurazione 2 Informatica Informazione e Codifica 5 Informazione e supporto L informazione è portata da, o trasmessa su, o memorizzata in, o contenuta in qualcosa; questo qualcosa però non è l informazione stessa. Ogni supporto ha le sue caratteristiche in quanto mezzo su cui può essere scritta dell informazione alcuni supporti sono particolarmente adatti alla trasmissione di informazione, ma non alla sua memorizzazione (aria), per altri supporti vale il viceversa (compact disc) Informatica Informazione e Codifica 6 3

4 Lampioni e semafori che differenza c è? Luce (energia) Energia elettrica (alimentazione) Luce (energia) Energia elettrica (alimentazione) Informazione!! Informatica Informazione e Codifica 7 Codifica e decodifica (1) il numero dieci codifica decodifica Informatica Informazione e Codifica 8 4

5 Codifica e decodifica (2) La stessa informazione può essere scritta su supporti differenti. il numero dieci Codifica 1 Codifica 2 Codifica Informatica Informazione e Codifica 9 Codifica e decodifica (3) Lo stesso supporto può portare informazione differente. il numero dieci il pronome io Decodifica 1 Decodifica 2 Informatica Informazione e Codifica 10 5

6 Codifica e decodifica (4) Lo stesso supporto può portare informazione differente. to make, to do, to build, tariffa, prezzo, mantequilla, manteca, asino, cavalletto, somaro, Decodifica 1 (italiano) Decodifica 2 (inglese) Decodifica 1 (italiano) Decodifica 2 (spagnolo) Informatica Informazione e Codifica 11 Trattare informazione (1) Informazione da trattare Trattamento Addizione Informazione 3 trattata Codifica Decodifica Supporto fisico Trasformazione Giustapposizione fisica Supporto fisico trasformato Informatica Informazione e Codifica 12 6

7 Trattare informazione (2) Esecuzione dell addizione 3 Codifica dei dati Codifica dell istruzione Decodifica giustapposizione Esecuzione della giustapposizione Informatica Informazione e Codifica 13 Trattamento dell informazione Elaborazione dell informazione si codifica l informazione disponibile scrivendo su un supporto fisico; si manipola il supporto con opportune trasformazione fisiche, ottenendo una versione modificata del supporto; si decodifica l informazione corrispondente al risultato dell elaborazione leggendo dalla versione modificata del supporto. Allo stesso modo si possono descrivere anche altre operazioni di trattamento di informazione: la trasmissione: in questo caso la trasformazione fisica, nella fase 2, consiste nel trasferimento al destinatario del supporto su cui il mittente ha scritto l informazione; la memorizzazione: in questo caso si sceglie un supporto in grado di mantenersi stabile nel tempo, in modo che al momento della lettura esso si presenti identico a come era stato scritto. Informatica Informazione e Codifica 14 7

8 Informazione e supporto Distinguere informazione e supporto fisico è distinguere tra entità logiche ed entità fisiche : l informazione richiede un supporto fisico, ma non coincide con esso; l informazione è un entità extra-fisica, non interpretabile in termini di materia-energia e sottoposta alle leggi della fisica solo perché basata su un supporto fisico. L informazione si può creare e distruggere. Informatica Informazione e Codifica 15 Le condizioni per l informazione Si ottiene informazione quando, dato un insieme di alternative possibili, la lettura del supporto ne elimina alcune e ne seleziona altre. Condizione necessaria perché un supporto possa portare informazione è che possa assumere configurazioni differenti, a ognuna delle quali venga associata una differente entità di informazione. Un supporto che possa presentarsi sempre e comunque in un unico modo non può portare alcuna informazione. Il caso più semplice è quello in cui le configurazioni possibili per il supporto sono due. Informatica Informazione e Codifica 16 8

9 Supporto fisico: 1a condizione Deve consentire di potere identificare delle differenze Es: voglio rappresentare 2 alternative Cosa rappresenta ciascuna configurazione? Informatica Informazione e Codifica 17 Configurazioni e codici A ogni configurazione del supporto deve essere associata un entità di informazione: Prima Configurazione = interruttore ON = Divina Commedia ; Seconda Configurazione = interruttore OFF = I Promessi Sposi. Per interpretare le differenti configurazioni del supporto in termini di informazione è necessario conoscere il codice (cioè la regola) che a ogni configurazione ammessa del supporto associa un entità di informazione. La definizione di un codice comporta che siano identificati in modo non ambiguo l insieme delle possibili configurazioni del supporto e l insieme delle possibili entità di informazione a cui ci si vuole riferire. Variando il codice è possibile riferirsi a entità di informazione differenti utilizzando uno stesso supporto fisico. Informatica Informazione e Codifica 18 9

10 Supporto fisico: 2a condizione Deve essere condivisauna regola per attribuire un significato a ciascuna configurazione Configurazione 1 Configurazione 2 CODICE Entità di informazione 1 Entità di informazione 2 Informatica Informazione e Codifica 19 Identificare { Configurazioni} { Entità informazione } Associare gli elementi dei 2 insiemi Definire un codice Informatica Informazione e Codifica 20 10

11 Teoria dell informazione Quando si parla di teoria dell informazione si fa riferimento al solo livello sintattico Definita formalmente a partire dal 1920 Una teoria dell informazione semantica (e a maggior ragione una teoria dell informazione pragmatica) è ancora in uno stato iniziale Ambito di applicazione: caratterizzare le condizioni per la trasmissione di segnali in termini di adeguatezza del supporto adottato per la trasmissione accuratezza della trasmissione stessa. Quali problemi si pone: un certo supporto può essere utilizzato per la memorizzazione di una certa quantità di informazione? con quale velocità una certa quantità di informazione può essere trasferita a distanza mediante un certo supporto? con quale grado di accuratezza un certo messaggio è stato trasmesso? Informatica Informazione e Codifica 21 Informazione e incertezza La presenza di informazione è condizionata dal fatto che il supporto sia in grado di assumere diverse configurazioni. Se la nostra ignoranza, o più formalmente la nostra incertezza, circa l effettiva configurazione del supporto viene ridotta dall accesso al supporto, allora sembra del tutto ragionevole assumere che si possa affermare che tale atto ci ha portato dell informazione. Se fossimo in grado di misurare il grado di incertezza in cui ci trovavamo prima della lettura e quello successivo a essa, la quantità di informazione portata dalla configurazione che abbiamo letto sul supporto potrebbe essere definita proprio dalla differenza tra tali gradi di incertezza. Informatica Informazione e Codifica 22 11

12 Informazione e incertezza Ipotesi: si conoscono a priori le configurazioni che il supporto può assumere, non si sa quale di queste sia quella effettivamente assunta. La lettura del supporto è come la selezione di un elemento da un insieme di composizione nota (e.g. estrai una pallina da un urna di cui conosci il contenuto) quanto è più numeroso l insieme, tanto maggiore sarà l informazione portata dalla lettura quanto meno è probabile che si presenti una configurazione, tanto maggiore è l informazione che essa porta. La quantità di informazione che si ottiene selezionando una configurazione da un insieme che ne contiene due è l unità elementare (bit). la risposta sì oppure no a una domanda porta 1 bit di informazione; la risposta a due domande di tal genere (che corrisponde in effetti alla selezione tra 4 alternative: sì-sì, sì-no, no-sì, no-no ) porta 2 bit;... Informatica Informazione e Codifica 23 Livelli di informazione: il telegrafo Supporto fisico: conduttore in cui transita corrente continua Entità di informazione: punti e linee, che rappresentano le lettere dell alfabeto Codice = regola che specifica la corrispondenza: passa corrente per 1 s punto passa corrente per 2 s linea non passa corrente per 1 s separazione tra punti e linee della stessa lettera non passa corrente per 2 s separazione tra due lettere passa corrente per 1 s, non passa per 1 s, passa per 2 s = punto linea. Codice Morse = relazione tra lettere e sequenze di punti linee: punto linea lettera A linea punto punto punto lettera B linea punto linea punto lettera C ecc. Abbiamo associato simboli ad altri simboli!! Informatica Informazione e Codifica 24 12

13 Messaggi in codice Morse A Codifica A Decodifica punto-linea punto-linea Codifica Decodifica passa corrente per 1s non passa corrente per 1s passa corrente per 2s trasmissione passa corrente per 1s non passa corrente per 1s passa corrente per 2s Informatica Informazione e Codifica 25 Messaggi vs configurazione del supporto Configurazione del supporto fisico (livello fisico, LF): passa corrente per 2s, non passa per 1s, passa per 1s, non passa per 2s, passa per 2s, non passa per 1s, passa per 2s, non passa per 1s, passa per 2s messaggio, al livello logico 1 (LL1): linea punto, separazione di lettera, linea linea linea messaggio, al livello Logico 2 (LL2): N O messaggio, al livello Logico 3 (LL3): NO, con il significato (per esempio) di incontro non confermato Le relazioni tra questi livelli definiscono ognuna un codice per interpretare il significato delle entità che compaiono al livello precedente in termini delle entità del livello successivo: sono relazioni di significazione. Informatica Informazione e Codifica 26 13

14 Tre diversi livelli di informazione Informazione sintattica ci si chiede se un certo supporto fisico è in grado, in base alle configurazioni che può assumere, di costituire la base su cui un certo messaggio può essere scritto; ci si pone un problema di relazioni tra segni, cioè tra configurazioni del supporto fisico. Informazione semantica ci si chiede quale significato sia da attribuire a una certa configurazione del supporto fisico; ci si pone un problema di relazioni tra segni e significati. Informazione pragmatica ci si chiede quale valore sia da attribuire a una certa configurazione del supporto fisico; ci si pone un problema di relazioni tra segni (e significati) e valori. Informatica Informazione e Codifica 27 La codifica binaria Informatica Informazione e Codifica 28 14

15 Codifica dati e istruzioni Algoritmo descrizionedella soluzione di problemascritta in modo da poter essere eseguita da un esecutore(eventualmente diverso dall autore dell algoritmo) sequenza di istruzioni che operano su dati. Programma algoritmo scritto in modo da poter essere eseguito da un calcolatore (esecutore automatico) Per scrivere un programma è necessario rappresentare istruzioni e datiin un formato tale che l esecutore automaticosia capace di memorizzare e manipolare. Informatica Informazione e Codifica 29 Codifica dei numeri in base dieci Alfabeto dei simboli cifre 0, 1,, 9, separatoredecimale(, ), separatoredellemigliaia(. ) e segni positivo( + ) o negativo( ). Regole di composizione(sintassi), che definiscono le successioni ben formate 1.234,5 è la rappresentazione di un numero; 1,23,45 non lo è. Codice(semantica) 1.234,5 = ,23,45 =?? Lo stesso alfabeto può essere utilizzato con codici diversi: 123,456 = , [IT] 123,456 = , [UK] Informatica Informazione e Codifica 30 15

16 Codifica Binaria Alfabeto binario: usiamo dispositivi con solo due stati Problema: assegnare un codice univocoa tutti gli oggetti compresi in un insieme predefinito (e.g. studenti) Quanti oggetti posso codificare con k bit: 1 bit 2 stati (0, 1) 2 oggetti (e.g. Vero/Falso) 2 bit 4 stati (00, 01, 10, 11) 4 oggetti 3 bit 8 stati (000, 001,, 111) 8 oggetti k bit 2 k stati 2 k oggetti Quanti bit mi servono per codificare N oggetti: N 2 k k log 2 N k = log 2 N (intero superiore) Attenzione: ipotesi implicita che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza Informatica Informazione e Codifica 31 Esempio di codifica binaria Problema: assegnare un codice binario univoco a tutti i giorni della settimana Giorni della settimana: N = 7 k log 2 7 k = 3 Con 3 bit possiamo ottenere 8 diverse configurazioni: Ne servono 7, quali utilizziamo? Quale configurazione associamo a quale giorno? Attenzione: ipotesi che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza Informatica Informazione e Codifica 32 16

17 I giorni della settimana in binario (1) Lunedì Lunedì Martedì Lunedì Martedì Giovedì Lunedì Martedì Domenica Mercoledì Giovedì Mercoledì Sabato Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Sabato Venerdì Mercoledì Giovedì Domenica Venerdì Venerdì Domenica Sabato Domenica 1 bit 2 gruppi 2 bit 4 gruppi 3 bit 8 gruppi Informatica Informazione e Codifica 33 I giorni della settimana in binario (2) Lunedì Giovedì Martedì Giovedì Giovedì Domenica Sabato Sabato Martedì Martedì Sabato Sabato Martedì Venerdì Domenica Domenica Domenica Mercoledì Mercoledì Mercoledì Mercoledì Giovedì Venerdì Lunedì Venerdì Lunedì Venerdì Lunedì 1 bit 2 gruppi 2 bit 4 gruppi 3 bit 8 gruppi Informatica Informazione e Codifica 34 17

18 Codifica binaria dei caratteri Quanti sono gli oggetti compresi nell insieme? 26 lettere maiuscole + 26 minuscole cifre Circa 30 segni d interpunzione Circa 30 caratteri di controllo (EOF, CR, LF, ) circa 120 oggetti complessivi k = log = 7 Codice ASCII: utilizza 7 bit e quindi può rappresentare al massimo 2 7 =128 caratteri Con 8 bit (= byte) rappresento 256 caratteri (ASCII esteso) Si stanno diffondendo codici più estesi (e.g. UNICODE) per rappresentare anche i caratteri delle lingue orientali Informatica Informazione e Codifica 35 ASCII su 7 bit sp! " # $ % & ' ( ) * +, -. / : ; < = >? A B C D E F G H I J K L M N O 101 P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ 110 ` a b c d e f g h I j k l m n o 111 p q r s t u v w x Y z { } ~ canc Informatica Informazione e Codifica 36 18

19 bit, Byte, KiloByte, MegaByte, bit= solo due stati, 0 oppure 1. Byte= 8 bit, quindi2 8 = 256 stati KiloByte[KB] = 2 10 Byte = 1024 Byte ~ 10 3 Byte MegaByte[MB]= 2 20 Byte = 1'048'576 Byte ~ 10 6 Byte GigaByte[GB] = 2 30 Byte ~ 10 9 Byte TeraByte[TB] = 2 40 Byte ~ Byte PetaByte[PB] = 2 50 Byte ~ Byte ExaByte[EB] = 2 60 Byte ~ Byte Informatica Informazione e Codifica 37 Lo standard IEC per i prefissi binari L uso dei prefissi SI per le potenze di 2 provoca alcune ambiguità: dischi fissi i produttori impiegano il sistema internazionale quindi un disco da 120GB contiene 120'000'000'000 byte, gli utenti sono invece ormai abituati a considerare le dimensioni della memoria in termini di potenze di 2 perciò si aspettano che un disco da 120GB contenga = 128'849'018'880 byte, la differenza è del 7.37%; floppy disk, dimensione comunemente indicata di 1.44 MB, in realtà la capacità è di byte, cioè di 1'474'560 byte, telecomunicazioni da sempre viene utilizzato il sistema internazionale, una velocità di trasmissione dei dati lungo una rete di 100 megabit/secondo corrisponde esattamente a bit/secondo, alcuni utenti si aspettano una velocità di bit/secondo. Informatica Informazione e Codifica 38 19

20 Lo standard IEC per i prefissi binari Grandezza Nome Simbolo Dimensione SI Diff. % Kilo binario Kibi Ki ' % Mega binario Mebi Mi (2 10 ) 2 1'048'576 (10 3 ) % Giga binario Gibi Gi (2 10 ) 3 1'073'741'824 (10 3 ) % Terabinario Tebi Ti (2 10 ) 4 1'099'511'627'776 (10 3 ) % Petabinario Pebi Pi (2 10 ) 5 1'125'899'906'842'624 (10 3 ) % Exabinario Exbi Ei (2 10 ) 6 1'152'921'504'606'846'976 (10 3 ) % Zettabinario Zebi Zi (2 10 ) 7 1'180'591'620'717'411'303'424 (10 3 ) % Yottabinario Yobi Yi (2 10 ) 8 1'208'925'819'614'629'174'706'176 (10 3 ) % Usando questi prefissi si può risolvere l ambiguità capacità di un disco fisso: 120GB =111.76GiB, capacità di un floppy: MiB = MB Informatica Informazione e Codifica 39 La codifica delle istruzioni Si segue lo schema presentato per i caratteri alfanumerici: quali e quante sono le istruzioni da codificare? qual è la lunghezzadelle successioni di bit da utilizzare? qual è la corrispondenzatra istruzioni e successioni di bit? Istruzione Codice ADD SUB AND Istruzioni aritmetico-logiche Istruzione Codice LOAD STORE Istruzioni per il trasferimento dati Istruzione Codice IF_EQ GOTO RETURN Istruzioni di controllo Informatica Informazione e Codifica 40 20

21 Oltre al codice operativo è necessario far riferimento ai dati necessari per completare l esecuzione dell istruzione, e.g. addizione: è necessarioche siaspecificato(ancheimplicitamente) dove leggere i due operandi da sommare e dove scrivere il risultato; ilnumerodeidatidaspecificareè variabile, in funzionedelle istruzioni Codice Operativo Destinazione Sorgente 1 Sorgente 2 Estensione del codice operativo Codice Operativo Destinazione Sorgente 1 Operando (immediato) Codice Operativo Operando (immediato) Informatica Informazione e Codifica 41 Numeri naturali Sistema di numerazione posizionale in base b c k c k 1 c 0 rappresenta c k b k + c k 1 b k c 0 b 0 b= dieci indica Conversione binario decimale basta scrivere il numero secondo la notazione posizionale utilizzando già il sistema decimale b= due indica = 13 dieci Conversione decimale binario Si potrebbe utilizzare lo stesso metodo indicato sopra, ma è molto complesso b= dieci indica Informatica Informazione e Codifica 42 21

22 Conversione binario decimale Informatica Informazione e Codifica 43 Numeri in base 2 e in base 10 Base 2 Base Base 2 Base Informatica Informazione e Codifica 44 22

23 Conversione decimale binario Informatica Informazione e Codifica 45 Conversione decimale binario Sistema di numerazione posizionale in base B che, in questo contesto si può ipotizzare diversa da dieci c n 1 c n 2 c 1 c 0 = c n 1 B n 1 + c n 2 B n c 1 B 1 + c 0 B 0 c n 1 c n 2 c 1 c 0 = c n 1 B n 1 + c n 2 B n c 1 B + c 0 (infatti B 1 =B e B 0 =1) Dividendo il numero per il valore della base, il risultato che si ottiene è: (c n 1 B n 1 + c n 2 B n c 1 B + c 0 )/B = = c n 1 B n 2 + c n 2 B n c 1 + c 0 /B che può essere scomposto in modo da evidenziare quoziente e resto: quoziente = c n 1 B n 2 +c n 2 B n c 1 resto = c 0 Il resto della divisione corrisponde all ultima cifra della rappresentazione in base B del numero, ma il suo valore è indipendente dalla base che si utilizza per effettuare i conti. Applicando lo stesso procedimento al quoziente si ottiene la penultimacifra della rappresentazione in base B Ripetendo la procedura è possibile ottenere tutte le altre cifre. Informatica Informazione e Codifica 46 23

24 Conversione decimale binario (cifra binaria meno significativa) 573 dieci : 2 dieci quoziente 286 dieci resto1 dieci 286 dieci : 2 dieci quoziente 143 dieci resto0 dieci 143 dieci : 2 dieci quoziente 71 dieci resto1 dieci 71 dieci : 2 dieci quoziente 35 dieci resto1 dieci 35 dieci : 2 dieci quoziente 17 dieci resto1 dieci 17 dieci : 2 dieci quoziente 8 dieci resto1 dieci 8 dieci : 2 dieci quoziente 4 dieci resto0 dieci 4 dieci : 2 dieci quoziente 2 dieci resto0 dieci 2 dieci : 2 dieci quoziente 1 dieci resto0 dieci 1 dieci : 2 dieci quoziente 0 dieci resto1 dieci due =573 dieci (cifra binaria più significativa) Informatica Informazione e Codifica 47 Conversione decimale binario Si calcolano i resti delle divisioni per due 18 : 2 = 9 resto 0 9 : 2 = 4 resto 1 4 : 2 = 2 resto 0 2 : 2= 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto : 2 = 68 resto 1 68 : 2 = 34 resto 0 34 : 2 = 17 resto 0 17 : 2 = 8 resto 1 8 : 2 = 4 resto 0 4 : 2 = 2 resto 0 2 : 2= 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto Informatica Informazione e Codifica 48 24

25 Numeri binari: operazioni Operazioni di somma di numeri binari naturali. Con gli 8 bit utilizzati negli esempi qui riportati si possono rappresentare i numeri naturali fino a 255dieci. Operazioni che producono un risultato maggiore provocano il superamento della capacità di rappresentazione (indicato in gergo dal termine inglese overflow). Informatica Informazione e Codifica 49 Numeri naturali binari nei calcolatori Per la codifica dei numeri naturali(interi positivi) si utilizzano abitualmente successioni di 32 bit (4 byte) con cui si possono rappresentare i numeri compresi tra 0 e ( ). Aumentando la lunghezza delle successioni il massimo numero rappresentabile cresce esponenzialmente: passando da 32 a 64 bit il massimo numero rappresentabile diventa ( ) A causa del minor numero di simboli dell alfabeto binario rispetto a quello decimale, un numero codificato in notazione binaria richiede più cifre rispetto a quelle impiegate in notazione decimale. Informatica Informazione e Codifica 50 25

26 Ottali ed esadecimali Utili per rappresentare sinteticamente i valori binari Ottali (base b = 8) Alfabeto ottale: cifre comprese tra 0 e otto = = = 236 dieci 1461 otto = = = 817 dieci Ogni cifra ottale corrisponde a tre cifre binarie: due = [011] [101] [100] = 354 otto due = [001] [100] [110] [001] = 1461 otto Esadecimali(base b = 16) Alfabeto esadecimale: cifre lettere A F EC sedici = = = 236 dieci 331 sedic = = = 817 dieci Ogni cifra esadecimale corrisponde a quattro cifre binarie: due = [1110] [1100] = EC sedici due = [0011] [0011] [0001] = 331 sedici Informatica Informazione e Codifica 51 Numeri interi Alfabeto binario anche il segno è rappresentato da 0 o 1 è indispensabile indicare il numero k di bit utilizzati Modulo e segno 1bit di segno (0 positivo, 1 negativo) k 1bit di modulo Esempio: +6 dieci = 0110 ms 6 dieci = 1110 ms si rappresentano i valori da 2 k 1 +1 a 2 k 1 1 con 4 bit i valori vanno da 7 a +7 con 8 bit i valori vanno da 127 a +127 Attenzione: ci sono due rappresentazioni dello 0 con 4 bit sono +0 dieci = 0000 ms 0 dieci = 1000 ms Informatica Informazione e Codifica 52 26

27 Diverse codifiche/interpretazioni Codice Nat MS Codice Nat MS Informatica Informazione e Codifica 53 Numeri interi in complemento a 2 Alfabeto binario anche il segno è rappresentato da 0 o 1 è indispensabile indicare il numero k di bit utilizzati Complemento a 2 X corrisponde al binario naturale di 2 k + X +6 dieci = 22 [1] C2 6 dieci = 10 [0] C2 si rappresentano i valori da 2 k 1 a 2 k 1 1 con 4 bit i valori vanno da 8 a +7 con 8 bit i valori vanno da 128 a +127 Con 32 bit i valori vanno da 2'147'483'648 fino a +2'147'483'647 Attenzione: c è una sola rappresentazione dello 0 con 4 bit è +0 dieci = 0000 C2 mentre 1000 C2 = 8 dieci Informatica Informazione e Codifica 54 27

28 Il complemento a 2 Metodi alternativi per calcolare la rappresentazione di Xa partire da quella di X Effettuare il complemento di ogni bit di X, poi aggiungere 1 rappresentazione di +6 dieci = 0110 C2 (NB ci vogliono 4 bit!!) complemento di tutti i bit 1001 C2 (corrisponderebbe a -7 dieci ) aggiungere C2 (che corrisponde a -6 dieci ) Partendo da destra e andando verso sinistra, lasciare invariati tutti i bit fino al primo 1 compreso, complementare tutti gli altri bit. rappresentazione di +6 dieci = 0110 C2 (NB ci vogliono 4 bit!!) gli ultimi due bit ( 10) rimangono invariati gli altri due bit vengono complementati(1010 C2 ) Informatica Informazione e Codifica 55 Complemento a 2: alcune osservazioni Se si considera la notazione posizionale, si può notare che nella rappresentazione binaria in complemento a due il valore si può ottenere anche associando alla cifra più significativa un peso negativo, mentre tutte le altre cifre mantengono il peso originario positivo. Il valore di un numero c n 1 c n 2 c 1 c 0 scritto in complemento a due è c n 1 2 n 1 +c n 2 2 n 2 + +c c Esempi: 0101 C2 = =5 dieci, 1011 C2 = = 5 dieci. Informatica Informazione e Codifica 56 28

29 Complemento a 2: alcune osservazioni I valori positivi iniziano con 0, quelli negativi con 1 Data la rappresentazione di un numero su kbit, la rappresentazione dello stesso numero su k+1bit si ottiene aggiungendo (a sinistra) un bit uguale al primo (estensione del segno ) Rappresentazione di 6 su 4 bit = 1010 Rappresentazione di 6 su 5 bit = Rappresentazione di 6 su 8 bit = la sottrazione si effettua come somma algebrica 4 6 = +4 + ( 6) = = 1110 = = +9 + ( 6) = = [1]00011 = +3 Informatica Informazione e Codifica 57 C2: rappresentazioni con diversi #bit Naturale in base dieci Complemento a due (# bit) NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA Informatica Informazione e Codifica 58 29

30 C2: operazioni Operazioni di somma di numeri binari in complemento a due. Con gli 8 bit utilizzati negli esempi qui riportati si possono rappresentare i numeri interi da 128 dieci fino a +127 dieci C dieci C2 = +6 0 dieci = C dieci C dieci C2 = dieci = C dieci C dieci C2 = 7 8 dieci = C2 3 4 dieci C dieci C2 = 6 0 dieci = C2 8 5 dieci Informatica Informazione e Codifica 59 C2: operazioni Se due operandi dello stesso segno danno un risultato di segno opposto vuol dire che è stata superata la capacità di calcolo (overflow). Informatica Informazione e Codifica 60 30

31 Diverse codifiche/interpretazioni Dieci Due MS C NA NA Dieci Due MS C NA NA NA NA NA NA NA NA NA 1000 Informatica Informazione e Codifica 61 Diverse codifiche/interpretazioni Codice Nat MS C Codice Nat MS C Informatica Informazione e Codifica 62 31

32 Numeri razionali Cifre più significative: sono le cifre associate ai pesi maggiori per i numeri maggiori di 1, le cifre più significative sono quelle poste più a sinistra, per esempio, nel numero 723'456, la cifra più significativa è 7, associata al peso 10 5, seguita da 2, con peso 10 4, e così via; nel caso di numeri minori di 1, che iniziano con 0 seguito dal separatore decimale, le cifre più significative sono le prime diverse da 0 che si incontrano andando da sinistra verso destra, per esempio, nel numero la cifra più significativa è 7, con peso 10 3, seguita da 2, con peso 10 4, e così via. Quando i numeri hanno un valore molto grande o molto piccolo, si considerano solo le cifre più significative, adottando una rappresentazione che viene indicata come notazione scientifica: un numero in base B viene rappresentato come ±0.m B e, segno (+ oppure ), coefficiente m, detto mantissa, che è la parte frazionaria compresa tra 0 e 1 esponenteea cui elevare la base della numerazione, che è un intero ( 0) Esempi: -123'450'000'000 diventa , con segno negativo, mantissa 12345, ed esponente 12; , corrisponde a , con segno positivo, mantissa ed esponente 5. Informatica Informazione e Codifica 63 Rappresentazione binaria Per esempio diventa , segno positivo; mantissa (si noti che la mantissa inizia sempre con 1); esponente è C2 (si noti come l esponente sia un numero intero e per questo sia necessario adottare una rappresentazione che permetta la codifica anche di valori negativi, come, per esempio, quella in complemento a due). Standard IEEE-754 (Institute of Electrical and Electronic Engineers): precisione doppia: 64 bit 1 per il segno, 11 per l esponente e i restanti 52 rappresentano la mantissa; numeri compresi approssimativamente tra e e tra e ; precisione di circa 17 cifre decimali significative. precisione singola: 32 bit 1 per il segno, 8 codificano il valore dell esponente, 23 rappresentano la mantissa; numeri compresi approssimativamente tra e e tra e ; precisione di circa 7 cifre decimali significative. Informatica Informazione e Codifica 64 32

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