Corso di Architettura degli Elaboratori

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1 Corso di Architettura degli Elaboratori Codifica dell'informazione: Numeri Binari (lucidi originali della Prof.ssa Zacchi e del Prof. Balossino) Dipartimento di Informatica Università degli Studi di Torino C.so Svizzera, 85 I-49 Torino baldoni@di.unito.it ~baldoni Codifica dell'informazione L entità minima di informazione all interno di un elaboratore prende il nome di bit (binary digit - cifra binaria). Mediante un bit possiamo distinguere due informazioni. Tutte le informazioni, anche le più complesse, sono rappresentate mediante sequenze di due soli simboli ( e ), ossia in forma binaria (o digitale). Si ha perciò bisogno di associare biunivocamente ad ogni informazione elementare : caratteri, numeri, immagini,... una sequenza binaria che la rappresenti Codifica dell'informazione

2 Byte Con bit si possono distinguere due diverse informazioni; Per distinguere più informazioni bisogna usare sequenze di bit. Le diverse configurazioni di n bit permettono di individuare n informazioni diverse. una sequenza di 8 bit viene chiamata byte Misure Byte 8 bit Kilobit (Kbit o Kb) (.4) bit Megabit (Megabit o Mb) ( ) bit Gigabit (Gigabit o Gb) ( ) bit Terabit (Terabit o Tb) 4 ( ) bit Kilobyte (Kbyte o KB) byte Megabyte (Mbyte o MB) byte Gigabyte (Gbyte o GB) byte Terabyte (Tbyte o TB) 4 byte 4

3 Codifica dei numeri Esigenza di rappresentare l insieme infinito dei numeri mediante un numero limitato di segni grafici Sistemi di numerazione: Cifre: un insieme finito di simboli distinti Codice: insieme di regole che permette di associare ad una sequenza di cifre uno ed un solo numero Algoritmi: per l'esecuzione delle operazioni fondamentali 5 Codifica dei numeri Esigenza di rappresentare l insieme infinito dei numeri mediante un numero limitato di segni grafici Sistemi di numerazione: Cifre: un insieme finito di simboli distinti Codice: insieme di regole che permette di associare ad una sequenza di cifre uno ed un solo numero Algoritmi: per l'esecuzione delle operazioni fondamentali 6

4 Sistemi di numerazione Cifre ordinate in modo che ognuna è maggiore della precedente di un'unità, a partire da zero: &(zero), %(uno), # (due), *(tre) Il numero di cifre fornisce la base (quattro nell esempio) Le cifre hanno un valore posizionale lajloin notazione decimale: x x 4 + x 4 + x 4 + x 4 =.7 se la somma di due cifre è maggiore del numero di cifre si crea un riporto # + + * = = %% 5 7 Notazione posizionale Forma generale di un numero decimale Centinaia Decine Unita decimi centesimi Dn d d d. d - d - d n -k numero = Σ d x i i = -k i Forma generale di un numero in base b c n c c c. c - c - c -k numero = n Σ c x i b i = -k i 8

5 Esempi Base cifre usate e (bit). = = = 6.5 Base 8 cifre usate,,,, 4, 5, 6, 7.5 = x x 8 + x 8 + x 8 + x x 8 - = = 5.65 Base 6 cifre usate,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F E A. = x x 6 + x 6 + x 6 + x 6 - = = Il numero mille in Binario: Ottale: 7 5 x 8 + 7x 8 + 5x 8 + x Decimale: x + x + x + x Esadecimale: E 8 x 6 + 4x 6 + 8x

6 Conversione tra basi: dec bin resto resto resto resto resto = 7 Massima potenza di <= 7.5 = 5 Massima potenza di <= 4.5 = Massima potenza di <=.5 = Massima potenza di <=.5 = Massima potenza di <=.5 = - Massima potenza di <= = Conversione tra basi: dec bin Per la parte intera di un numero

7 Conversione tra basi: dec bin Per la parte decimale di un numero Un altro esempio 5, Per la parte intera

8 Parte intera: perche`? 5 = a a + a + a 7 + = a a + a + a 7 + = (a5 4 + a + a ) + a = a 7 = a a + a 8 + = (a5 + a ) + a = a 8 = a 5 + a 4 + = (a5 ) + a... = a 5 Parte decimale: perche`?.5975 = a - + a a = (a - + a a ).875 = a + a a = a + a x - + a x - + a x a x = a.875 = a a = (a a ) +.75 = a a = a.75 = a a

9 Conversione tra basi: bin dec. (6.5) (6.5) per gli interi: x + = x = 6 x 6 + = x = 6 7 Conversione tra basi: bin ott Binario Ottale. (6.5). 4 (6.5) Ottale Binario 5. (7.5). (7.5) 8

10 Conversione tra basi: bin esa Binario Esadecimale. (6.5) A. 8 (6.5) Esadecimale Binario A B. 4 (7.5). (7.5) 9 Numeri a precisione finita Per i calcolatori la quantità di memoria per memorizzare un numero è fissata. Si possono rappresentare numeri con una quantità fissa di cifre: numeri a precisione finita conseguenza: non chiusura rispetto alle operazioni elementari Esempio: numeri interi con tre cifre decimali: Si possono rappresentare i numeri compresi tra e 999; il numero successivo () richiede una quarta cifra. Non si può rappresentare il risultato della somma perchè il numero di cifre destinato alla rappresentazione è insufficiente: si ha un overflow.

11 Numeri a precisione finita Osservazione: il numero 999 può essere scritto come - (-) Con N cifre decimali si possono rappresentare i numeri interi da a N - I calcolatori usano basi o radici diverse da, di solito, 8 e 6. I sistemi di numerazione basati su queste radici si chiamano rispettivamente: binari, ottali, esadecimali. Esempi: con N cifre binarie si possono rappresentare i numeri interi da a N - con N cifre ottali si possono rappresentare i numeri interi da a 8 N - con N cifre esadecimali si possono rappresentare i numeri interi da a 6 N - Numeri a precisione finita Consideriamo la base due: con tre cifre binarie si possono rappresentare i numeri compresi tra e - (ossia 8 ). numero rappresentazione

12 Numeri negativi Una semplice codifica binaria come quella presentata non è sufficiente, perchè non rappresenta i numeri negativi, razionali, reali Numeri negativi: Un byte consente 8 = 56 configurazioni diverse. Anziché usarle per rappresentare solo numeri positivi, si possono usare per rappresentare un po di numeri negativi e un po di numeri positivi.. Grandezza e segno Segno ( = +, = -) Numeri negativi Valore assoluto Decimale binario = - =. Complemento a uno la rappresentazione di un numero negativo si ottiene scambiando gli e gli nella rappresentazione del corrispondente numero positivo Decimale binario = - = 4

13 Numeri negativi. Complemento a due la rappresentazione di un numero Decimale negativo si ottiene sommando uno al complemento a uno della rappresentazione del corrispondente numero positivo Ad esempio, usando tre cifre binarie, si ottiene la seguente codifica binario = - = 5 Complemento a due Sfrutta in fenomeno del riporto E`basato sulla rappresentazione finita dei numeri (il riporto e` quindi scartato) Diversi algoritmi per calcolarlo velocemente X + comp = X + comp = n comp = n X comp = = = 6

14 Numeri negativi 4. Eccesso m- (per numeri rappresentati con m bit) la rappresentazione di un numero è quella del numero positivo ottenuto sommando ad esso m- Ad esempio, usando otto cifre binarie, si ha la rappresentazione eccessso 8: -8 ( = ) -7 ( = ). - (- + 8 = 6). 5 (5 + 8 = 5). 7 (7 + 8 = 55) 7 Numeri negativi: problemi rappresentazioni dello zero quantità di numeri positivi e di numeri negativi 8

15 Aritmetica binaria Tavola di addizione addendo + addendo somma riporto + 9 Aritmetica binaria: compl. a due scartato scartato Errore: il risultato è - 55 overflow