Numeri interi. Laboratorio di Calcolo Paola Gallo

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1 Numeri interi Alfabeto binario anche il segno può essere rappresentato da 0 o 1 è indispensabile indicare il numero k di bit utilizzati Modulo Modulo e segno 1 bit di segno (0 positivo, 1 negativo) k 1 bit di modulo Esempio: +6 dieci = 0110 ms 6 dieci = 1110 ms si rappresentano i valori da 2 k 1 +1 a 2 k 1 1 con 4 bit i valori vanno da 7 a +7 con 8 bit i valori vanno da 127 a +127 Attenzione: ci sono due rappresentazioni dello 0 con 4 bit sono +0 dieci = 0000 ms 0 dieci = 1000 ms

2 Numeri interi complemento a due Complemento a 2 X corrisponde al binario naturale di 2 k + X ma si elimina il bit più significativo +6 dieci = 22 [1] C2 6 dieci = 10 [0] C2 Ricetta pratica: si cambiano i bit del positivo e si aggiunge 1 si rappresentano i valori da 2 k 1 a 2 k 1 1 con 4 bit i valori vanno da 8 a +7 con 8 bit i valori vanno da 128 a +127 Con 32 bit i valori vanno da 2'147'483'648 fino a +2'147'483'647 Attenzione: c è una sola rappresentazione dello 0 con 4 bit è +0 dieci = 0000 C2 mentre 1000 C2 = 8 dieci

3 Interi nelle diverse rappresentazioni Dieci Due MS C2 Dieci Due MS C NA NA NA NA NA NA NA NA NA 8 NA NA 1000 Il complemento a due è vantaggioso perché per sommare o sottrarre non è necessario esaminare il segno dei numeri coinvolti

4 Numeri Razionali Cifre più significative: sono le cifre associate ai pesi maggiori per i numeri maggiori di 1, le cifre più significative sono quelle poste più a sinistra, per esempio, nel numero 723'456, la cifra più significativa è 7, associata al peso 10 5, seguita da 2, con peso 10 4, e così via; nel caso di numeri minori di 1, che iniziano con 0 seguito dal separatore decimale, le cifre più significative sono le prime diverse da 0 che si incontrano andando da sinistra verso destra, per esempio, nel numero la cifra più significativa è 7, con peso 10 3, seguita da 2, con peso 10 4, e così via. Quando i numeri hanno un valore molto grande o molto piccolo, si considerano solo le cifre più significative, adottando una rappresentazione che viene indicata come notazione scientifica: un numero in base B viene rappresentato come ±0.m B e, segno (+ oppure ), coefficiente m, detto mantissa, che è la parte frazionaria compresa tra 0 e 1 esponente e a cui elevare la base della numerazione, che è un intero ( 0) Esempi: -123'450'000'000 diventa , con segno negativo, mantissa 12345, ed esponente 12; , corrisponde a , con segno positivo, mantissa ed esponente 5.

5 Numeri razionali Per esempio diventa , segno positivo; mantissa (si noti che la mantissa inizia sempre con 1); esponente è C2 (si noti come l esponente sia un numero intero e per questo sia necessario adottare una rappresentazione che permetta la codifica anche di valori negativi, come, per esempio, quella in complemento a due). Standard IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers): precisione doppia: 64 bit - primo bit il segno, successivi 11 l espopnetel e i restanti 52 la mantissa. Si possono memorizzare numeri compresi tra e e tra precisione singola: 32 bit (si veda sotto) Area di overflow negativo ( ) Numeri negativi con mantissa normalizzata Area di underflow Numeri positivi con mantissa normalizzata Area di overflow positivo (+ ) Numeri negativi con mantissa non normalizzata Numeri positivi con mantissa non normalizzata

6 Da analogico a digitale: quantizzazione e campionamento Analogico vuol dire continuo (e.g. la lancetta di un orologio) mentre digitale vuol dire espresso in digit che in inglese vuol dire cifra e quindi espresso in numeri. In figura una grandezza che varia nel tempo e non può essere rappresentata da un solo valore. I valori di riferimento debbono essere rilevati in diversi istanti di tempo (frequenza di campionamento). La quantizzazione deve poi essere ripetuta per ogni valore campionato.

7 Suono digitale Formato standard per i CD audio frequenza di campionamento di 44'100 Hz quantizzazione su 65'536 livelli (un campione viene codificato su 16 bit) Un secondo di musica stereo richiede 44'100 campioni di 16 bit (2 byte) ciascuno per due canali, quindi 176'400 byte. L errore che si commette nella ricostruzione del segnale sonoro è difficilmente rilevabile da parte di un orecchio umano.

8 Foto Digitali Per la codifica digitale delle immagini le operazioni di campionamento e quantizzazione si applicano nello spazio invece che nel tempo. Il campionamento consiste nel dividere l immagine in sottoinsiemi (pixel, cioè picture element), per ognuno dei quali si dovrà prelevare un campione che si considera rappresentativo del colore di tutto il sottoinsieme. La quantizzazione è la codifica del colore associato a ogni pixel: i più recenti formati utilizzano 32 bit (4 byte) per pixel: 8 bit per ognuna delle tre componenti fondamentali (RGB: red, green, blue) e altri 8 per gestire le trasparenze. Memoria necessaria per immagini non compresse (bitmap) per un immagine di pixel servono 1'228'800 byte; per un immagine di pixel servono 1'920'000 byte; per un immagine di pixel servono 3'145'728 byte; per un immagine di pixel servono 5'242'880 byte; per un immagine di pixel servono 7'680'000 byte;

9 Compressione (riduzione del numero di bit) Può essere looseless o lossy. Le looseless possono essere statistiche o basate sulla sostituzione (run length enconding) Esempio di tecnica looseless statistica successione di un milione di caratteri, ognuno scelto dall insieme {A, C, G, T}; la frequenza dei quattro caratteri all interno della successione non è uguale: A si presenta nel 50% dei casi, C nel 25%, G e T solo nel 12.5% dei casi. Codifica digitale a lunghezza costante due bit per ciascuno dei simboli, per esempio: A = 00, C = 01, G = 10 e T = 11; la lunghezza complessiva della successione è quindi pari a 2 milioni di bit. Codifica a lunghezza variabile (che tenga conto della distribuzione) A = 0, C = 10, G = 110 e T = 111; la lunghezza complessiva della successione è di 1.75 milioni di bit (1 50% % % %) bit/carattere 1 milione di caratteri Il cambiamento di codifica permette di ridurre il numero di bit utilizzato senza perdere informazione.

10 Compressione dei dati Gli algoritmi di compressione dei dati possono essere distinti in i due categorie fondamentali Compressione lossless, se non provoca la perdita di informazione Compressione lossy, se provoca la perdita di informazione Gli algoritmi di compressione lossy sono specifici per i diversi domini applicativi. Looseless per applicazioni nelle quali non posso permettermi di perdere informazione (programmi, file di testo etc.). Ridotto rapporto di compressione. Lossy immagini (GIF, JPEG) animazioni e video (MPEG) audio (MPEG1 layer3 noto come MP3).. La compressione puo variare e dipeden dall utente.

11 Ancora grafici vari Graficare le seguenti funzioni tutte nello stesso grafico. Qual è il periodo della funzione somma di seno e coseno? Y=cos(2x)+sin(7x) Y=cos(2x) Y=sin(7x) per x compreso tra 0 e 4π

12 Iperbole e limiti: Creare un foglio di lavoro che consenta il calcolo e il grafico dei valori assunti dall iperbole equilatera y=1/x per x compreso tra -10 e 10 (attenzione alla divergenza in zero) Determinare graficamente quanto vale il limite per x che tende ad infinito di (1+1/x)^x

13 ESERCIZI CON MATRICI Vediamo come si fanno le operazioni con le matrici: in particolare determinante e moltiplicazione tra matrici. Dopo le spiegazioni svolgere i seguenti esercizi: Calcolare con excel determinante, matrice trasposta e matrice inversa della seguenti matrici: