Rappresentazione delle informazioni

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1 Testo di rif.to: [Congiu] (pg. 1 17) Rappresentazione delle informazioni -1.g Informazioni numeriche Cosa vedremo 1. I sistemi di numerazione Decimale, binario, esadecimale Conversioni di base 1 2. Le informazioni numeriche Numeri naturali (senza segno o unsigned ) Numeri interi (con segno o signed ) Numeri non interi ( fixed-/floating-point) 3. Le informazioni non numeriche Testi, immagini, suoni, video

2 Il sistema posizionale 2 ( a 2 a 1 a.a -1 a -2 ) b = = + a 2 b 2 + a 1 b 1 + a b + a -1 b -1 + a -2 b -2 + = Σ i a i b i b è la base del sistema di numerazione Gli a i sono le cifre del numero Il valore di una cifra dipende dalla sua posizione Sistema decimale 3 b=1 Possibili cifre: {;1;2;3;4;5;6;7;8;9} = / / 1 2

3 Sistema binario 4 b=2 Possibili cifre: {;1} = / 2 + / / 2 3 = Sistema ottale b=8 Possibili cifre: {;1;2;3;4;5;6;7} = / 8 = Una cifra ottale può rappresentare 3 cifre binarie: =

4 Sistema esadecimale b=16 Possibili cifre: {;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F} 6 7B = / 16 = Una cifra esadecimale può rappresentare 4 cifre binarie: C E = CE9 16 Conversioni di base (1 di 4) 7 Da ottale/esadecimale a binario: espansione di ogni cifra in una terna/quaterna di cifre binarie. Da binario a ottale/esadecimale: raggruppamento in terne/quaterne di cifre e sostituzione di ciascuna terna/quaterna con l opportuna cifra ottale/esadecimale. Da qualsiasi base a decimale: applicando la definizione di notazione posizionale.

5 Conversioni di base (2 di 4) Da decimale a qualsiasi altra base b Parte intera: si prendono i resti delle divisioni successive per b 8 Esempio: 29 1 = 7D /16 = 125/16 = 7/16 = resto: 9 resto: 13=D 16 resto: 7 L ultima cifra èla più significativa Il procedimento si arresta Conversioni di base (3 di 4) Da decimale a qualsiasi altra base b Parte frazionaria: si prendono le parti intere delle moltiplicazioni successive per b 9 Esempio: = = =.75 2 =.5 2 = parte intera: 1 parte intera: parte intera: 1 parte intera: 1 La prima cifra èla più significativa Il procedimento si arresta

6 Conversioni di base (4 di 4) Da decimale a qualsiasi altra base b Parte frazionaria 1 Il procedimento può anche essere infinito! Esempio:.3 1 = =.6 2 =.2 2 =.4 2 =.8 2 =.6 2 = parte intera: parte intera: 1 parte intera: parte intera: parte intera: 1 parte intera: 1 Rappresentazione negli elaboratori 11 Negli elaboratori, l elemento base per la rappresentazione delle informazioni è il BInary digit o più semplicemente BIT (Tukey, 1947). Può essere realizzato in molti modi diversi (carica elettrica, campo magnetico, ecc.), ma in tutti i casi può assumere esattamente 2 valori e corrisponde quindi a una cifra binaria. Qualsiasi informazione in un elaboratore è rappresentata tramite un numero finito di bit.

7 Rappresentazione finita: osservazione Utilizzando un numero di cifre finito si può rappresentare solo una quantità finita di numeri. Esempio per i numeri naturali: 12 base n. di cifre quantità min max 1 M 1 M 1 M M 2 M 2 M Potenze di 2 Quando il numero di bit è elevato, si usano delle abbreviazioni analoghe a quelle delle unità di misura 13 Prefisso Nome Pot. di 2 Valore IEC 627 1Ki 1Mi 1Gi 1Ti 1Pi 1Ei 1Zi 1Yi kibi- kilo- mega- mebi- giga- gibi- tera- tebi- peta- pebi- exbi- exa- zeta- zebi- yotta- yobi ~1.1 x ~1.1 x ~1.2 x 1 18 ~1.2 x ~1.2 x 1 24

8 Numeri naturali Esempio di rappresentazione con M=4 cifre (bit): 2 = = = = = = = I numeri maggiori di 15 non sono rappresentabili. Numeri interi: ampiezza e segno Il primo bit (quello più significativo) viene utilizzato per indicare il segno: 2 rappresentazioni dello = 1 2 = = = +7 1 Si riduce il numero di interi positivi rappresentabili 15

9 Numeri interi: eccesso P Il valore rappresentato si ottiene sottraendo P al valore calcolato secondo la notazione posizionale. Esempio con M=4 e P=8 (di solito P=2 M-1 ): 16 Dissimmetria 2-8 = = = Una sola rappresentazione dello Numeri interi: complemento a 1 La rappresentazione di un intero positivo coincide con quella del corrispondente numero naturale. La rappresentazione di un intero negativo si ottiene complementando bit a bit quella del suo opposto rappresentazioni dello = 1 2 = = =

10 Numeri interi: complemento a 2 La rappresentazione di un intero positivo coincide con quella del corrispondente numero naturale. La rappresentazione di un intero negativo si ottiene aggiungendo una unità al complemento a = 1 2 = -7 1 = = Complemento a 2: proprietà È il metodo di rappresentazione più diffuso, perché è l unico tra quelli visti con tutte le seguenti proprietà. 19 Ha una sola rappresentazione dello. Ha una struttura ciclica: aggiungendo 1 al massimo numero rappresentabile si ottiene il minimo numero rappresentabile. Consente le operazioni aritmetiche con i numeri negativi usando le stesse regole valide per i numeri positivi. Esempi:

11 Complemento a 2: overflow Nell eseguire le operazioni aritmetiche, ci si deve comunque assicurare che il risultato sia rappresentabile con il numero di bit a disposizione. Se ciò non è vero (overflow), l esito dell operazione è privo di significato. 2 Come riconoscere l overflow? Tramite i riporti. Riporto nel bit di segno No No Si Si Riporto nel bit a SX del segno No Si No Si Esito dell operazione OK OVERFLOW (-) OVERFLOW (+) OK Overflow: : esempi Rip. bit segno Rip. SX bit segno Esito 1 +2 No No OK Rip. bit segno Rip. SX bit segno Esito 11-6 No Si OVERFLOW Rip. bit segno Rip. SX bit segno Esito Si No OVERFLOW Rip. bit segno Rip. SX bit segno Esito Si Si OK

12 Numeri non interi (1 di 2) FIXED-POINT R = I.F I: parte intera; F: parte frazionaria 22 Il numero di bit riservati a I e a F non dipende da R: il punto decimale è fisso. A seconda delle applicazioni, la posizione del punto decimale può essere codificata o implicita. Nota: un numero con N F cifre frazionarie può essere trattato come un intero se viene moltiplicato per 2 N F Numeri non interi (2 di 2) FLOATING-POINT (standard IEEE 754) s e m 1 8 bit 23 bit M ={s }1.m E = e -127

13 Rappresentazione floating-point Standard IEEE M (mantissa) 24 bit: 1 per il segno s (= + ) 23 per l ampiezza 1.xxx xx - in notazione fixed point normalizzata; la parte intera (sempre 1) non viene rappresentata, i 23 bit rappresentano la parte frazionaria m = xxx xx E (caratteristica) 8 bit: in notazione eccesso 127(e) Rappresentazione floating-point point: : esempio Standard IEEE Es:.3 1 =.11 2 = M = s = m = 11 E = -2 = e-127 e = = bit 23 bit In esadecimale: 3E999999

14 Numeri f.p. rappresentabili s e 1 8 bit 23 bit Intervallo dei numeri rappresentabili M ={s }1.m 1. 2 M E = e 127 e E +128 i valori estremi sono riservati per situazioni particolari: e = il numero (se m = ) (se m ) numero non normalizzato e = 255 il numero (se m = ) (se m ) numero non valido m 1 M E Numeri f.p. rappresentabili 27 1 M E 127 il numero P con modulo più piccolo ( ): P = (con mantissa normalizzata) P = (non normalizzato) il numero G con modulo più grande: G = ( )

15 Numeri f.p. rappresentabili Intervallo dei numeri rappresentabili sull asse reale: -G R d -P P G P G degli infiniti numeri reali compresi tra - Ge G sono rappresentabili con esattezza solo 2 32 ( ) numeri razionali (in realtà un po meno); in generale un numero reale R sarà rappresentato dal più vicino di questi numeri razionali; l errore di approssimazione è d/2 28 err a d/2 Numeri f.p. rappresentabili Intervallo dei numeri rappresentabili sull asse reale: -G R d -P P G P G d è la differenza tra due numeri rappresentabili consecutivi: 1.xx x1 2 E -1.xx x 2 E d=. 1 2 E = 2 E err a d/2 = 2 E-24

16 Errori nella rappresentazione f.p. Intervallo dei numeri rappresentabili sull asse reale: -G -P P G 3 err a d/2=2 E-24 P G l errore assoluto di approssimazione err a èfunzione di E: err a è piccolo vicino allo ( ) err a ègrande vicino a ± G ( ) Ma ciò che più interessa è l errore relativo err r : err a 2 E err r = = = (1 M<2) R M 2 E M err r Caratteristiche della rappresentazione f.p. Intervallo dei numeri rappresentabili sull asse reale: -G -P P G 31 err r P G precisione: 7 decimali significativi (es: h= cm) Esempi di grandezze fisiche estreme i cui valori sono gestibili con questa rappresentazione f.p.: distanza terra - quasar: 1 27 m dimensione quark: 1-18 m

17 Caratteristiche della rappresentazione f.p. FLOATING POINT (standard IEEE 754) PRECISIONE DOPPIA: 64 bit s e m 1 11 bit 52 bit 32 M ={s }1.m E = e Rappresentazione f.p. in precisione doppia -G PRECISIONE DOPPIA: 64 bit -P P G err r 1-17 P G precisione: 16 cifre decimali significative. Sono rappresentabili solo 2 64 = 16 E (EXA = 1 18 ) degli infiniti numeri reali compresi tra -G e G. Esempio di grandezza fisica estrema gestibile con questa rappresentazione f.p.: numero di particelle subatomiche nell universo: 1 8

18 Fine -1.g Rappresentazione delle informazioni