Rappresentazione numeri relativi e reali
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- Valentina Ippolito
- 7 anni fa
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1 Rappresentazione numeri relativi e reali Lezione 2 Rappresentazione numeri relativi Rappresentazione numeri reali Rappresentazione in Modulo e Segno Rappresentare separatamente il segno (mediante un bit di segno), ed il modulo del numero Rappresentazione in complemento alla base In questa rappresentazione le operazioni di addizione e sottrazione si possono ridurre tutte ad addizioni Risparmio sulla realizzazione dei circuiti elettronici, poiché è richiesto solo un sommatore e la trasformazione di un numero nel suo complemento può essere realizzata a basso costo
2 Ammettiamo di usare 3 cifre binarie (intervallo [0..7]) Visualizziamo l operazione 3-2 Lo stesso punto si raggiunge: Ruotando in senso antiorario di 2 posizioni Ruotando in senso orario di 6 posizioni (3+6 mod 8) N N complementi (N ) N + N = valori rappresentati (N) (2+5) mod 8 = (7 + 5) mod 8 (8)+4-4
3 Dato un intero K>1, si definisce complemento in base 2 residuo modulo 2 K di un intero N {-2 K-1,..2 K-1 1}, il valore N dato da: N = N 0 N 2 K K - N -2 K-1 N 1 Nota: L operazione di modulo si ottiene semplicemente trascurando il bit in posizione K (riporto) Regola pratica 1: Invertire tutti i bit della rappresentazione binaria di N ed aggiungere 1 Esempio: rappresentare N= 25 in complemento su k=8 bit. -25 = 25 = (25) (231) Nota =256=2 8 Regola pratica 2: Partendo da destra, lasciare invariati tutti i bit fino al primo bit 1, poi invertire gli altri
4 Il valore rappresentato da d k-1 d k-2 d 0 è -2 k-1 d k k-2 d k-2 +2 k-3 d k-3 + +d 0 Esempio: k = 4 bit Peso = 4+1 = 5 =-8+4+1= -3 = 1 più piccolo positivo =4+2+1 = 7 più grande positivo = =-1 più piccolo negativo =-8 più grande negativo K=8 bit, Pesi=<-128,64,32,16,8,4,2,1> , rappresenta = , rappresenta , rappresenta = , rappresenta 0 Osservazioni: MSB=1 valore negativo, MSB=0 valore positivo Una sola rappresentazione dello 0
5 Esprimere gli operandi in complemento alla base La rappresentazione in complemento differisce solo per i valori negativi Eseguire la somma Trascurare l eventuale riporto Se non si è verificato overflow, allora la somma rappresenta il risultato espresso in complemento Si verifica overflow quando gli operandi hanno lo stesso segno ed il risultato ha segno opposto (su K=8 bit) Troviamo la rappresentazione di -5 in complemento -5 =5= (-5) (+2) (-3) Verifica: = -3
6 !" Eseguire su k=4 bit la differenza: (riporti) (-3) 1010 = (-6) (1)0111 (7!) #$$ % Il prodotto di N per 2 k si ottiene postando di k posizioni le cifre a sinistra ed inserendo k bit pari a zero La divisione di N per 2 k si ottiene postando di k posizioni le cifre a destra ed inserendo k bit pari al valore di MSB (shift aritmetico) Esempio : -128/8 = -16 (8=2 3 ) (3 posizioni a destra) = (-16) 10
7 Numeri reali Virgola fissa: parte-intera.parte-frazionaria (la posizione del punto è fissa) Esempio (K=8 bit, 6 parte intera, 2 frazionaria) dddddd.dd Virgola mobile Si basa sulla notazione scientifica In tale notazione un numero N è espresso nella forma N = +/- m 10 E m è la mantissa ed E l esponente Tale forma può essere adottata per qualunque base B
8 !! Esistono vari modi con cui scegliere la coppia (mantissa, esponente) Per evitare ambiguità si adotta la forma normalizzata 1/B m<1 Esempio x x 10 1 forma NORMALIZZATA (non ci sono 0 dopo la virgola) x 10-1 Per B=2 la forma normalizzata impone che il primo bit dopo la virgola sia sempre pari ad 1. La mantissa è cioè pari a 0.1ddd d N può essere rappresentato quindi mediante <segno della mantissa, mantissa, esponente> & OVERFLOW UNDERFLOW OVERFLOW VALORI RAPPRESENTABILI
9 '(#)*+,-* Institute of Electrical and Electronics Engineers ( IEEE standard for Binary Floating Point Arithmetic IEEE Standard 754 Introdotto nel 1985 come standard per aritmetica in virgola mobile per consentire portabilità dei programmi Praticamente supportato da tutte le CPU Necessità per calcoli numerici Standard per rounding, overflow, underflow Formato base Precisione singola (32 bit) Precisione doppia (64 bit) Formato esteso Precisione singola estesa ( 44 bit) Precisione doppia estesa ( 80 bit) '(#)*+ Esistono due forme: forma normalizzata e forma denormalizzata La forma normalizzata assume che il numero sia espresso nella forma (-1) S (1+f)2 E s è il bit di segno f è la parte frazionaria della mantissa (0 f<1) E è l esponente L esponente è rappresentato in forma polarizzata (EXP=E+Bias) oppure (-1) S (1+f)2 EXP-Bias (-1) S (1.f)2 EXP-Bias Nella forma denormalizzata il numero è rappresentato nella forma (-1) S (0.f) 2 Emin Un numero è quindi espresso mediante la tripla di valori <s,f,exp>
10 # $$$ Singola Singola estesa Doppia Doppia estesa mantissa E max E min Bias ( Singola Precisione (32 bit) S EXP MANTISSA Doppia Precisione (64 bit) Lunghezza campi: 1,8, S EXP MANTISSA MANTISSA Lunghezza campi: 1,11,52 Viene memorizzata la sola parte frazionaria f della mantissa
11 Esponente Parte frazionaria Valore E=E min -1 f=0 ± 0 E=E min -1 f 0 0.f x 2 Emin E min -1 E E max -1 qualunque 1.f x 2 E E=E max +1 f=0 ± E=E max +1 f 0 NaN (Not a Number) Singola precisione (Bias = 127, 8 bit per l esponente EXP) EXP= E=EXP-127=-127=E min -1; f=0 Valore 0 (due rappresentazioni +/-) EXP= = (255) 10 E= =128= E min +1; f=0 valore ± EXP= = (255) 10 E= =128= E min +1; f 0 valore NaN
12 Calcolare il valore X massimo per la mantissa in singola e doppia precisione (2 -k ) 10 k bit (X) 10 X+ 2 -k =1, da cui: X= 1-2 -k SP, k=23, X= DP, k=52, X= $ Singola precisione 32 bit (S, E= 8 bit, f=23 bit) Doppia precisione 64 bit (S, E= 11 bit, f=52 bit)
13 .$!/ # 23 bit mantissa (parta frazionaria, f), 1 segno (s) 8 esponente (exp) Forma normale: => s=0, f=0, EXP-127=0 (EXP=127) s=0, EXP=127=( ) 2, f=0 = (000..0) 2, s EXP M F (1) 10 0x 3F La stringa esadecimale 0x e un numero in formato IEEE.754. Calcolarne il valore Bit segno = 0 numero positivo Esponente = bit (30:23)-127=( ) = = 45 Mantissa = 1.bit(22:0) = (1.111) 2 = Risultato = x 2 45
14 La stringa esadecimale 0x e un numero in formato IEEE.754. Calcolarne il valore. Segno = bit 31 = 1 = - Esponente= bit(30:23) -127 = = = -126 Mantissa = 1. bit(22:0) = Risultato = x = x L insieme F dei valori rappresentabili in FP è un sottoinsieme dei numeri razionali. In generale, i valori che non appartengono ad F, ma sono compresi fra i valori massimo e minimo dell insieme, sono rappresentati in modo approssimato Sia x il valore esatto, ed x la sua approssimazione Errore assoluto, EA=x -x Errore relativo, ER=EA/x
15 L errore relativo massimo dei numeri normalizzati è costante su tutto l insieme dei valori rappresentati e dipende solo dal numero dei bit della mantissa Se p è il numero di bit della parte frazionaria della mantissa (la parte f), allora ER 2 -p (nel caso di approssimazione per trocamento) Singola: Doppia: Per i numeri demormalizzati l errore massimo non è costante: è maggiore man mano che ci si avvicina allo zero. $ $ 1 # 2 $ 1 # $ ! 1 # 2 3 ( # (# 1!
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