Rappresentazione in virgola mobile. 4 ottobre 2018

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1 Rappresentazione in virgola mobile 4 ottobre 2018

2 Punto della situazione Abbiamo visto le rappresentazioni dei numeri: Sistema posizionale pesato per interi positivi (nella varie basi) Sistema posizionale pesato per numeri con la virgola positivi (frazioni proprie) Modulo e segno per interi col segno Complemento a 2 per interi col segno Adesso rappresentazione in virgola mobile per numeri reali/con virgola e segno (con troncamento)

3 Cosa rappresenta? Come fa l elaboratore a capire come interpretare una stringa binaria? Saremo noi a dirglielo: add(a,b) è un operazione in cui chiediamo di trattare le stringhe in complemento a due addu(a,b), invece deve trattarle come unsigned, cioè binario puro add.s(a,b), come virgola mobile a singola precisione

4 Numeri Reali Potrebbero essere rappresentati in binario puro = =9.625 Ma non vogliamo aggiungere il simbolo. Senza il., dove è posizionata la virgola (punto decimale)? In una posizione fissata (virgola fissa)? Soluzione con molti limiti In una posizione mobile (virgola mobile)? Come facciamo ad indicare dove si trova?

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6 Rappresentazione in Virgola Mobile (b=10) Il numero può essere scritto come: * * * * * * * * * * * * 10-5

7 Rappresentazione in Virgola Mobile (b=2) Il numero può essere scritto come: * * * * * * * * * * * * 2-5 Spostare la virgola a sinistra di n bit corrisponde ad aumentare l esponente di n. Spostare la virgola a destra di n bit corrisponde ad decrementare l esponente di n

8 Notazione scientifica La rappresentazione in virgola mobile che adotteremo si basa sulla notazione scientifica Notazione scientifica in base 2: N= (-1) s M 2 E s = segno positivo se s=0, negativo se s=1 M = Mantissa numero decimale con parte intera uguale a 1 E = esponente opportuno (intero) Esempi: +11,001 = (-1) 0 1, , s=0, M=1,1001, E=1-1100,1 = (-1) 1 1, s=1, M=1,1001, E=3 +0,0011= (-1) 0 1,1 2-3 s=0, M=1,1, E=-3

9 NOTA: il gruppo di bit nel campo per l esponente (mantissa, risp.) non ci dà direttamente l esponente E (la mantissa M, risp.), ma ci permette di ricavarlo

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11 Suddivide i 32 bit (singola precisione) in: 1 bit per il segno 8 bit per rappresentare l esponente 23 bit per rappresentare la mantissa

12 Standard IEEE 754: segno Il segno è dato da (-1) s Analogamente alla rappresentazione in complemento a 2: Il bit s=0 rappresenta numeri positivi Il bit s=1 rappresenta numeri negativi

13 singola precisione: Mantissa con d 0 = 1 La mantissa M sarà ottenuta dal contenuto m del campo dedicato alla mantissa come M = 1+m, ovvero M = 1,m.

14 Standard IEEE 754: esponente Vogliamo usare gli 8 bit per rappresentare esponenti interi negativi e positivi Se usassimo la rappresentazione in complemento a 2, con 8 bit potremmo rappresentare: [-128, +127] = = = = = = = = = = 2 7 2= = =+127 Il confronto non risulta naturale!

15 Standard IEEE 754: polarizzazione Vogliamo rappresentare esponenti interi negativi e positivi Usiamo la rappresentazione in binario; con 8 bit possiamo rappresentare: [0, +255] 0 = lo riserviamo allo zero, cioè a N=0 255 = a infinito e NaN (Not a Number) Gli altri interi da [1, +254] li usiamo per rappresentare l intervallo [-126, +127] sottraendo 127 (polarizzazione) (per averne circa metà positivi e metà negativi) L esponente E sarà ottenuta dal contenuto e del campo dedicato all esponente come E = e 127. Quindi e = E

16 Campo esponente (8bit) = 0 RISERVATO (per lo 0) = 1 rappresenta = = 2 rappresenta = = 3 rappresenta 3-127= = +253 rappresenta = = +254 rappresenta = = +255 RISERVATO (ad infinito e NaN) [1, 254] 1, 2,, 127,, 254 [ 126, 127] 126, 125,, 0,, 127

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18 : esempi = (-1) 1 (1.01) 2 (11-127) = , in binario

19 Numeri rappresentabili in FP NOTA: 2 10 = = (2 10 ) = Numeri positivi: minimo: + (1, 00.00) = = = 0, Da provare! Massimo: + (1, 11.11) = 2( ) = =( ) = Numeri negativi: intervallo simmetrico

20 Numeri Rappresentabili con 32 bit (Complemento a 2 e Virgola Mobile) numeri rappresentabili overflow numeri negativi rappresentabili underflow numeri positivi rappresentabili overflow -( ) ( )

21 Aritmetica in virgola mobile

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23 Algoritmo La somma algebrica è più complicata!

24 N 2 =

25 Somma di numeri FP (continua) N 1 = X 2 3 N 2 = X 2 3 N 1 + N 2 = ( N 1 N 2 ) X 2 3 In binario: =? In binario: =? =??? Più semplice in complemento a due (e poi rimetto la virgola): = N 1 + N 2 = ( 1) 1 ( )X 2 3 N 1 + N 2 =

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27 Troppo difficile? Esiste anche la doppia precisione su 64 bit ( ) (double in C) Non studieremo moltiplicazione e divisione Le istruzioni MIPS che studieremo tratteranno numeri rappresentati in complemento a 2. Per esempio: add, sub, Il MIPS supporta anche il formato IEEE 754 a singola (e doppia) precisione con istruzioni particolari: Per esempio: add.s, sub.s,

28 Riepilogo e riferimenti I numeri in virgola mobile e lo standard IEEE 754 a singola precisione Somma in virgola mobile: [PH] par. 3.5 (fino a La somma in virgola mobile ) Abbiamo finito le rappresentazioni dell informazione. Dalla prossima volta: algebra di Boole e circuiti combinatorici col dott. R. Zaccagnino. Domani faremo un test sul programma fin qui svolto, cioè tutte le rappresentazioni e conversioni studiate. Potete esercitarvi coi test degli scorsi anni sulla piattaforma.

29 Esercizio Esercizio 1 Si consideri l intero (decimale) N rappresentato dalle ultime 4 cifre della vostra matricola. 1. Si scriva la rappresentazione di N in esadecimale. 2. Si scriva la rappresentazione di N in binario. 3. Si scriva la rappresentazione di N in complemento a due e se ne calcoli l opposto. 4. Si scriva la rappresentazione di N in virgola mobile nello standard studiato. Esercizio 2 Qual è il risultato in esadecimale della somma ABC + 567?

30 Test n 1, a.a. 17/18 (II parte)