Rappresentazione in virgola mobile Barbara Masucci

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1 Architettura degli Elaboratori Rappresentazione in virgola mobile Barbara Masucci

2 Punto della situazione Abbiamo visto le rappresentazioni dei numeri: Ø Sistema posizionale pesato per Ø Ø Interi positivi (nelle varie basi) Numeri con la virgola positivi (frazioni proprie) Ø Modulo e segno per interi col segno Ø Complemento a 2 per interi col segno Ora vedremo la rappresentazione in virgola mobile peri numeri reali

3 Numeri Reali L insieme dei numeri reali (R) comprende Ø I numeri naturali (N) Ø I numeri interi (Z) Ø I numeri razionali (Q)

4 Numeri Reali Ø Alcuni esempi di numeri reali Ø π = 3, Ø e = 2, (numero di Nepero) Ø 0, (numero di secondi in un nanosecondo) Ø (numero di secondi in un secolo) Ø Per numeri molto piccoli o molto grandi si utilizza la notazione scientifica in base 10 Ø Ø E modo conciso di esprimere i numeri, utilizzando potenze intere (positive o negative) di 10 ll numero viene scritto con una sola cifra prima della virgola Ø 1,0 10 x 10-9 Ø 3, x 10 9

5 Notazione scientifica Ø Vantaggi Ø Permette di rappresentare in maniera compatta numeri molto grandi o molto piccoli Ø Fornisce un idea immediata sull ordine di grandezza del numero Ø Notazione scientifica normalizzata Ø Notazione scientifica in cui non ci sono zeri a sinistra della virgola Ø Esempi: Ø Ø 1,0 10 x 10-9 è in notazione normalizzata 0,1 10 x 10-8 non è in notazione normalizzata

6 Spostare la virgola Il numero può essere scritto come: x x x x x 10 4 Spostare la virgola a sinistra di n cifre decimali corrisponde ad incrementare l esponente di n

7 Spostare la virgola Il numero può essere scritto come: x x x x x 10-4 Spostare la virgola a destra di n cifre decimali corrisponde ad decrementare l esponente di n

8 Notazione scientifica Ø Anche i numeri binari possono essere espressi in notazione scientifica normalizzata Ø Esempio: Ø x 2-1 è in notazione normalizzata Ø x 2 2 non è in notazione normalizzata Ø Forma generale di un numero binario in notazione scientifica normalizzata 1.xxx 2 x 2 yyy

9 Spostare la virgola Il numero può essere scritto come: x x x x x 2 4 Spostare la virgola a sinistra di n cifre binarie corrisponde ad incrementare l esponente di n

10 Spostare la virgola Il numero può essere scritto come: x x x x x 2-4 Spostare la virgola a destra di n cifre binarie corrisponde ad decrementare l esponente di n

11 Notazione a virgola fissa Ø La rappresentazione vista la volta scorsa per i numeri con la virgola in binario viene detta a virgola fissa Ø Utilizza un numero finito (n+s) di cifre, di cui Ø n dedicate alla parte intera Ø s dedicate alla parte frazionaria Ø Fornisce una rappresentazione approssimata del numero dato

12 Notazione a virgola fissa La notazione a virgola fissa ha dei limiti quando si devono rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli Ø Per numeri molto grandi Ø Utile spostare la virgola a destra per avere un maggior numero di bit per la parte intera Ø Esempio: parte intera non rappresentabile con n=8 bit Ø Per numeri molto piccoli Ø Utile spostare la virgola a sinistra per avere un maggior numero di bit per la parte frazionaria Ø Esempio: parte frazionaria non rappresentabile con s=8 bit

13 Rappresentazione FP Ø La rappresentazione in virgola mobile, anche detta FP (Floating Point) Ø Estende l intervallo dei numeri rappresentabili a parità di cifre Ø Permette di rappresentare in maniera compatta numeri molto grandi, ma anche molto piccoli (sia positivi che negativi) Ø Utilizza la notazione scientifica normalizzata, specificando Ø Segno (+,-) Ø Mantissa (parte frazionaria) Ø Esponente (intero con segno)

14 Rappresentazione FP Ø I numeri binari in forma normalizzata sono rappresentati da una tripla <s, M, E>, dove Ø s = segno (0 per i positivi, 1 per i negativi) Ø M = mantissa Ø E = esponente Ø Il numero corrispondente è N = (-1) s x (1+M) x 2 E

15 Rappresentazione FP Fissato il numero totale di bit per la rappresentazione, bisogna stabilire: Ø Quanti bit assegnare per la mantissa M? Ø Maggiore è il numero di bit, maggiore è la precisione Ø Quanti bit assegnare per l esponente E? Ø Maggiore è il numero di bit, più ampio è l intervallo di rappresentabilità Segno Esponente Mantissa

16 Overflow e underflow Ø Overflow Ø Quando l esponente positivo è troppo grande per poter essere rappresentato con il numero di bit fissato per E Ø Underflow Ø Quando l esponente negativo è troppo grande (in valore assoluto) per poter essere rappresentato con il numero di bit fissato per E

17 Standard IEEE 754 Ø E importante definire uno standard per la rappresentazione dei numeri FP Ø Lo standard IEEE 754 (IEEE standard for binary floating arithmetic), proposto nel 1985 Ø Specifica il formato, le operazioni aritmetiche e di confronto per numeri FP Ø E utilizzato dal MIPS che studieremo in seguito Ø Propone due formati: Ø Ø Precisione Singola (32 bit: 1 parola macchina) Precisione Doppia (64 bit: 2 parole macchina)

18 Standard IEEE 754 (precisione singola) Suddivide i 32 bit in: Ø 1 bit per il segno s Ø 8 bit per rappresentare l esponente E Ø 23 bit per rappresentare la mantissa M Segno Esponente (8 bit) Mantissa (23 bit) Il numero rappresentato è N = (-1) s x (1+M) x 2 E

19 Standard IEEE 754 (precisione singola) Ø Il segno è dato da (-1) s Ø Analogamente alla rappresentazione in complemento a 2: Ø Il bit s=0 rappresenta numeri positivi Ø Il bit s=1 rappresenta numeri negativi Segno Esponente (8 bit) Mantissa (23 bit)

20 Standard IEEE 754 (precisione singola) Ø Vogliamo usare gli 8 bit per rappresentare esponenti negativi e positivi Ø Se usiamo la rappresentazione in complemento a 2, l intervallo è [-128,+127] Ø Il confronto tra numeri però non risulta naturale: Ø Vorremmo poterli confrontare come se fossero interi! Segno Esponente (8 bit) Mantissa (23 bit)

21 Standard IEEE 754 Polarizzazione Ø Vogliamo usare gli 8 bit per rappresentare esponenti negativi e positivi Ø Se usiamo la rappresentazione binaria, l intervallo è [0,+255] Ø 0= è riservato allo zero Ø 255= è riservato a e NaN (Not a Number) Ø NaN usato per definire il risultato di operazioni non valide Ø L intervallo restante ([1,+254]) è usato per rappresentare i numeri in [-126,127] Segno Esponente (8 bit) Mantissa (23 bit)

22 Standard IEEE 754 Polarizzazione Ø L esponente E sarà ottenuto come E=e-127, dove e è il contenuto del campo esponente Ø = 0 RISERVATO (per lo 0) Ø = 1 rappresenta =-126 Ø = 2 rappresenta =-125 Ø = 3 rappresenta 3-127=-124 Ø Ø = +253 rappresenta =+126 Ø = +254 rappresenta =+127 Ø = +255 RISERVATO (ad infinito e NaN) s e (8 bit) Mantissa (23 bit)

23 Standard IEEE 754 Polarizzazione Ø Il valore di un numero in notazione polarizzata è quindi (-1) s *(1+M)*2 (e-127) s e (8 bit) M (23 bit)

24 Standard IEEE 754 Esempio Ø Scrivere in notazione FP IEEE 754 il numero Ø Innanzitutto calcoliamo la frazione binaria equivalente: = Ø Poi la esprimiamo in notazione scientifica normalizzata: = x 2-2 Ø Aggiungiamo il segno ed esplicitiamo la mantissa: (-1) 1 x (1+0.0) x 2-2 Ø Infine, l esponente polarizzato -2=e-127 à e=125 Ø Quindi s = 1, e = 125= , M =

25 Standard IEEE 754 Esempio Ø Quale numero decimale è rappresentato dalla seguente sequenza di bit nello standard IEEE 754? Ø s = 1, Ø e = = 11 10, Ø M = = Ø Il numero rappresentato è (-1) 1 x (1+0.25) x 2 (11-127) = x 2 (-116)

26 Standard IEEE 754 Numeri rappresentabili con 32 bit Ø Numeri positivi: Ø minimo: + (1, 00.00) = 2 x = 0, Ø Massimo: + (1, 11.11) = ( ) x = Ø Numeri negativi: intervallo simmetrico

27 Standard IEEE 754 (precisione doppia) Suddivide i 64 bit in: Ø 1 bit per il segno s Ø 11 bit per rappresentare l esponente E Ø 52 bit per rappresentare la mantissa M Segno Esponente (11 bit) Mantissa (52 bit) Il numero rappresentato è N = (-1) s x (1+M) x 2 E

28 Standard IEEE 754 Numeri rappresentabili con 64 bit Ø Numeri positivi: Ø minimo Ø Massimo Ø Numeri negativi: intervallo simmetrico In questo formato, l intervallo di rappresentabilità è molto più ampio, e ciascun numero viene rappresentato con una maggiore accuratezza

29 IEEE 754: Confronto tra due numeri Come effettuare il confronto tra due numeri in formato IEEE 754

30 IEEE 754: Confronto tra due numeri Ø Il confronto tra due numeri in formato IEEE 754 è un operazione facilitata dal formato Ø Innanzitutto si confrontano i segni s 1 ed s 2 dei due numeri Ø Poi si confrontano gli esponenti e 1 ed e 2 Ø Numeri con esponenti più grandi sono più grandi, indipendentemente dalle mantisse Ø Infine si confrontano le mantisse M 1 ed M 2 s 1 e 1 (8 bit) M 1 (23 bit) s 2 e 2 (8 bit) M 2 (23 bit)

31 IEEE 754: Somma di due numeri Come effettuare la somma di due numeri in formato IEEE 754

32 Ø Per effettuare la somma di due numeri Ø Bisogna innanzitutto che i loro esponenti abbiano lo stesso ordine di grandezza Ø Se così non è si procede spostare la virgola a sinistra, del numero di posizioni necessario, per il numero con esponente più piccolo (allineamento delle mantisse) Ø Poi si sommano i valori ottenuti Ø Si normalizza il risultato e si controlla se c è overflow o underflow Ø IEEE 754: Somma di due numeri In tal caso si segnala l errore Ø Si arrotonda al numero di bit richiesto per la mantissa (precisione) Ø Ed eventualmente si normalizza di nuovo

33 Esempio 1 Ø Calcoliamo , (con precisione a 4 bit) Ø 5 10 = = x 2 2 Ø 3, = = x 2 1 Ø Hanno ordini di grandezza differenti! Ø Effettuiamo lo spostamento della virgola a sinistra di un posto per il numero con esponente più piccolo: 3, = x 2 1 = x 2 2 Ø Effettuiamo la somma dei valori ottenuti: " " = " x 2 2" Ø Normalizziamo il risultato: x 2 3 Ø Arrotondiamo la mantissa al numero di bit richiesto: x 2 3

34 Esempio 1 (cont.) Ø Il risultato ottenuto per , è x 2 3 che corrisponde a = 8,5 10 Ø Facendo la somma in decimale si ha che , = 8, che corrisponde a Quindi l aver utilizzato solo 4 bit per la mantissa ha comportato un errore di arrotondamento

35 Esempio 2 Ø Calcoliamo -0, ,5 10 (con precisione a 4 bit) Ø -0, = = x 2-2 Ø 0,5 10 = = x 2-1 Ø Hanno ordini di grandezza differenti! Ø Effettuiamo lo spostamento della virgola a sinistra di un posto per il numero con esponente più piccolo: -0, = x 2-2 = x 2-1 Ø Effettuiamo la somma dei valori ottenuti: " "0.111= " x 2-1" Si tratta di una sottrazione in binario (le vedremo durante l esercitazione) Ø Normalizziamo il risultato: x 2-4 Ø Il numero di bit della mantissa è già quello richiesto

36 Esempio 2 (cont.) Ø Il risultato ottenuto per -0, ,5 10 è x 2-4 che corrisponde a = 0, Ø Facendo la somma in decimale si ha che -0, ,5 10 = 0, I due valori coincidono perché non ci sono state modifiche dovute all arrotondamento

37 Per concludere Ø Non studieremo moltiplicazione e divisione di numeri FP Ø Le istruzioni MIPS che studieremo tratteranno numeri rappresentati in complemento a 2 Ø Per esempio: add, sub, Ø Il MIPS supporta anche il formato IEEE 754 a singola (e doppia) precisione con istruzioni particolari: Ø Per esempio: add.s, sub.s,

38 Riepilogo e riferimenti Ø I numeri in virgola mobile e lo standard IEEE 754 a singola e doppia precisione Ø [PH] par. 3.5 Ø Somma in virgola mobile Ø [PH] par. 3.5 (escluso La moltiplicazione in virgola mobile )