1 Multipli e sottomultipli. Divisibilità

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1 Multipli e sottomultipli. Divisibilità LA TEORIA Se la divisione fra due numeri naturali è propria (cioè il resto è uguale a 0) i due numeri si dicono divisibili. Per esempio, nella divisione 8 : diciamo che 8 è divisibile per. Se due numeri naturali a e b sono divisibili, si definisce il numero a multiplo di b e il numero b sottomultiplo o divisore di a. I multipli di un numero si ottengono moltiplicandolo per ogni numero della successione dei numeri naturali 0,,,, 4, Ogni numero naturale diverso da zero ha infiniti multipli. Per esempio l insieme M (7) dei multipli di 7 è: M ( 7 ) = { 7 0; 7 ; 7 ; 7 ; 7 4; 7 } = { 0; 7; 4; ; 8; } L insieme dei divisori di un numero è un insieme finito formato da tutti i numeri, compreso il numero stesso e il numero, per i quali è divisibile il numero di partenza. Per esempio, l insieme D {6} dei divisori di 6 è: D ( 6 ) = { ; ; 4; 8; 6 } Un numero naturale maggiore di, divisibile solo per e per se stesso, si dice numero primo: 7,, 9 sono numeri primi Un numero naturale che non è primo si dice numero composto: 6,, 8 sono numeri composti Due numeri naturali che hanno come divisore comune soltanto il numero si dicono primi fra loro: e 8 sono primi fra loro GLI ESERCIZI Sostituisci ai puntini le espressioni è divisore di o è divisibile per : 4 è divisore di è divisore di è divisore di è divisibile per è divisibile per è divisore di Scrivi l insieme dei primi multipli dei seguenti numeri: M () = {0,, 4, 6, 48} M (7) = {0, 7, 4,, 8}... M () = {0,,,, 44} 4... M (4) = {0, 4, 8,, 6} 9... M (9) = {0, 9, 8, 7, 6} 8

2 Indica con una crocetta il completamento corretto: D (4) = {; ; ; 4; 6; 8; ; 4} {; 4; 6; 8; ; 4} {; 6; 8; } D () = {; } {; ; ; 4; 6; } {; 4; 6; 8; 0; } D () = {; ; } {; ; ; } {; ; ; ; 9; 8} Unità MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI M.C.D. e m.c.m. 4 Scrivi l insieme dei divisori dei seguenti numeri: {,, 4, 8, 6, } D () =... 4 D (4) = {,,, 6, 7, 4,, 4} D (8) = {,,, 6, 9, 8}... D () = {,,, 4, 6, } 6... D (6) = {,,, 6} 6... D (6) = {,,, 6} Scrivi tutti i multipli di 9 compresi tra 0 e 0: Scrivi tutti i numeri primi minori di 44:,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, Indica tra i seguenti numeri quali sono primi e quali composti:... composto composto primo... 9 primo... 6 composto... 4 primo... 8 Indica quali fra le seguenti coppie sono costituite da numeri primi fra loro: ; 0 0; 00 4; 0 8; 64 7; 6 ; ; 0 88; 66 9

3 Criteri di divisibilità LA TEORIA I criteri di divisibilità sono regole che ci permettono di stabilire, senza effettuare la divisione, se un numero è divisibile per un altro. Criterio di divisibilità per Un numero è divisibile per se la sua ultima cifra a destra è zero oppure una cifra pari. Criterio di divisibilità per Un numero è divisibile per se la somma delle sue cifre è oppure un multiplo di. Criterio di divisibilità per Un numero è divisibile per se la sua ultima cifra a destra è zero oppure. Criterio di divisibilità per Un numero è divisibile per se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle sue cifre di posto pari è 0 o o un multiplo di. 4 Somma cifre posto pari Somma cifre posto dispari = = - = (è multiplo di ) GLI ESERCIZI Indica con una crocetta quali fra i seguenti numeri sono divisibili per : Indica con una crocetta quali fra i seguenti numeri sono divisibili per : Indica con una crocetta quali fra i seguenti numeri sono divisibili per : Scrivi tre numeri divisibili per, tre numeri divisibili per, tre numeri divisibili per e tre numeri divisibili per : divisibili per : divisibili per : divisibili per : divisibili per :

4 Scomposizione Unità in fattori primi LA TEORIA MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI M.C.D. e m.c.m. L operazione che trasforma un numero composto nel prodotto di fattori primi è detta scomposizione in fattori primi. Per esempio: 8 = Per scomporre un numero in fattori primi occorre procedere come segue: Scriviamo il numero 6 e alla sua destra tracciamo una riga verticale. Scriviamo a destra della riga il più piccolo numero primo che sia divisore di 6 (in questo caso ) e il quoto (78) sotto il numero 6. Scriviamo a destra di 78 il più piccolo numero primo che sia un suo divisore (ancora ) e il quoto 9 sotto il numero 78. Scriviamo a destra di 9 il più piccolo numero che sia un suo divisore () e il quoto sotto il numero 9. Il numero è un numero primo, quindi il più piccolo numero primo che sia un suo divisore è proprio. Scriviamo nella colonna di destra e il quoto nella colonna di sinistra. Quando si arriva al numero il processo di scomposizione si arresta. A questo punto è possibile scrivere il numero come prodotto di tutti i numeri primi scritti a destra della riga: 6 = = GLI ESERCIZI Scomponi in fattori primi i seguenti numeri: = = = =

5 4 Massimo Comune Divisore (M.C.D.) e minimo comune multiplo (m.c.m.) LA TEORIA Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori comuni. Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri è il minore dei loro multipli comuni, escluso lo zero. Ricerca del M.C.D. Consideriamo i numeri 9 e. Per calcolare il M.C.D. scriviamo tutti i divisori dei due numeri: D (9) = { ; ; 9 } D () = { ; ; ; 4; 6; } Il M.C.D. è il divisore comune più grande: M.C.D. (9, ) = Ricerca del m.c.m. Per calcolare il m.c.m. scriviamo tutti i multipli dei due numeri escluso lo zero: M (9) = { 9; 8; 7; 6 } M () = { ; 4; 6 } Il m.c.m. è il multiplo comune più piccolo: m.c.m. (9, ) = 6 Consideriamo i numeri 80 e. Scomponiamoli in fattori primi: = = 9 Per calcolare il M.C.D. consideriamo i fattori primi comuni presi una sola volta con il minimo esponente. Nel nostro caso: M.C.D. (80, ) = 4 Per calcolare il m.c.m. prendiamo i fattori primi comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente: 9 = m.c.m. (80, ) = GLI ESERCIZI Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri e : D () =... {,, } D () =... {,, 7, } M.C.D. =... M () =... {, 0, 7, 00,, 0, 7, } M () = {, 70, 0, 40, 7, }... m.c.m. =

6 Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri 6, e 6: D (6) = {,,, 6}... D () = {,,, 4, 6, }... Unità MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI M.C.D. e m.c.m. D (6) = {,, 4, 8, 6}... M.C.D. =... M (6) = {6,, 8, 4, 0, 6, 4, 48, }... M () = {, 4, 6, 48, }... M (6) = {6,, 48, }... m.c.m. = Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri 0, 60, 90 con il metodo della scomposizione in fattori primi: m.c.d. =... = 0 m.c.m. =... = 80 4 Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri 6, 4, 86 con il metodo della scomposizione in fattori primi: m.c.d. =... m.c.m. = 7 4 = Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri 46, 8, 6 con il metodo della scomposizione in fattori primi: m.c.d. =... m.c.m. =... 9 = 44 6

7 4 Massimo Comune Divisore (M.C.D.) e minimo comune multiplo (m.c.m.) 6 Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri 40, 0, 6: m.c.d. =... m.c.m. =... 7 = 0 7 Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri, 4, 8: m.c.d. =... m.c.m. = = Inserisci al posto dei puntini un numero in modo da rendere vera l uguaglianza: M.C.D. (9;...; 7) = M.C.D. (...; 8) = 7 M.C.D. (...; ) = M.C.D. (;...; 0) = M.C.D. (;...; 0 ) = M.C.D. (6;...; 0 ) = 9 Inserisci al posto dei puntini un numero in modo da rendere vera l uguaglianza: m.c.m. (8;...) = 4 m.c.m. (;...) 6 = 0 m.c.m. (...; 4 6; ) = m.c.m. (6; 8;...) 6 = 48 m.c.m. (4;...; 6 6) = 48 m.c.m. (;...; 8 ) = 88 64

8 Unità L'angolo del problema Un editore pubblica a dispense settimanali tre romanzi che avranno rispettivamente 9, 60 e 00 pagine. L editore vuole che le pagine delle dispense dei tre volumi siano di uguale numero e che questo sia il massimo possibile. Da quante pagine deve essere formata ogni dispensa e da quanti fascicoli sarà composto ciascun romanzo? Ti do una mano... Per determinare il numero delle pagine che dovrà avere ogni dispensa occorre calcolare il M.C.D. tra le pagine complessive dei tre romanzi: Il M.C.D. è... 8 che corrisponde al numero delle pagine che dovrà avere ogni dispensa. Per sapere da quanti fascicoli sarà composto ogni romanzo occorre dividere... 9 : 8 = 4 60 : 8 = 0 00 : 8 = [8; 4; 0; ] Tre percorsi stradali sono lunghi rispettivamente km, 88 km e km. Si vogliono disporre dei cartelli pubblicitari alla massima distanza possibile l uno dall altro, ma a distanze uguali in ciascuno dei percorsi. A che distanza l uno dall altro verranno posti i cartelli? Quanti ne occorreranno se ne verrà messo uno all inizio di ogni percorso? Prova da solo! M.C.D. (, 88, ) = = 9 [ km; 9] 6