Teoria dei Numeri. Lezione del 31/01/2011. Stage di Massa Progetto Olimpiadi

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1 Teoria dei Numeri Lezione del 31/01/2011 Stage di Massa Progetto Olimpiadi

2 Criteri di Divisibilità 2: ultima cifra pari 3: somma (o somma della somma) delle cifre divisibile per 3 4: ultime due cifre divisibili per 4 2 n : ultime n cifre divisibili per 2 n 5: ultima cifra divisibile per 5 9: somma (o somma delle somma) delle cifre divisibile per 9 11: somma delle cifre in posizione pari uguale alla somma delle cifre in posizione dispari o differenti per multipli di 11

3 Divisibilità Se p è primo p ab implica che p a o p b Se m non è primo, p ab non implica che m a o m b Th. Fondamentale: ogni numero intero positivo è univocamente esprimibile come prodotto dei suoi fattori primi

4 MCD e mcm Due numeri a e b sono detti primi fra loro o relativamente primi se MCD(a,b)=(a,b)=1 a*b=mcd(a,b)*mcm(a,b) (a,b)=(a,b-a)=(a,b-m*a), e se b=m*a+r allora (a,b)=(a,r)

5 Fattorizzazione Alcuni prodotti notevoli a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)*b+ +b^(n-1)) Per n dispari, posso sostituire b->-b e ottengo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)*b+ +b^(n-1)) Esercizio: fattorizzare a^4+4*b^4

6 Congruenze Dati due numeri naturali n ed m, sono univocamente identificati altri due numeri detti quoziente e resto delle divisione intera di n per m: n=q*m+r con 0 r<m Una relazione è detta di equivalenza se valgono le proprietà: Riflessiva Simmetrica Transitiva

7 La relazione ha lo stesso resto di..nella divisione per m con m naturale è di equivalenza perché a ha lo stesso di a nella divisione per m Se a ha lo stesso resto di b, b ha lo stesso resto di a (sempre nella divisione per m) Se a ha lo stesso resto di b e b ha lo stesso resto di c allora a ha lo stesso resto di c (nella divisione per m)

8 I numeri naturali vengono così ad essere suddivisi in classi di equivalenza. Per esempio per congruenza modulo 4 le classi saranno 0,4,8,12,16, 1,5,9,13,17, 2,6,10,14,18, 3,7,11,15,19,

9 Proprietà delle congruenze Se a=m*q 1 +r 1 allora a r 1 (m) Somma: se b=m*q 2 +r 2 e quindi b r 2 (m) allora a+b=m*(q 1 +q 2 )+(r 1 +r 2 ) r 1 +r 2 (m) Si comportano bene rispetto alla somma Differenza: come la somma solo che poiché la sottrazione non è un operazione interna ad N è necessario estendere le congruenze in Z Ricordiamoci che in questo caso il resto deve essere sempre positivo, quindi per esempio: -3:5=-1 con resto +2 quindi -3 2 (5)

10 Prodotto: a*b=m(mq 1 q 2 +q 1 r 2 +q 2 r 1 )+(r 1 r 2 ) r 1 r 2 (m) Si comportano bene rispetto al prodotto

11 Residui quadratici Nello studiare la divisibilità per qualche numero di una certa quantità funzione di alcuni numeri naturali dovremo andare a provare tutte le possibili classi di resto per ognuno dei naturali Una semplificazione può nascere se compaiono dei quadrati o altre potenze di numeri naturali. Infatti per alcuni moduli (per esempio modulo 3) i quadrati non possono appartenere a qualsiasi classe di resto Infatti se n 0 (3) n 2 0 (3) Se n 1 (3) n 2 1*1=1 (3) Se n 2 (3) n 2 2*2=4 1 (3) Quindi un quadrato non è mai congruo a 2 modulo 3!

12 Altri residui quadratici sono: 0 e 1 per modulo 4 (0 per i numeri pari e 1 per i numeri dispari) 0,1,-1 per modulo 5 0,1,4 per modulo 8

13 Esercizio di esempio Dimostrate che n 3 +11n è divisibile per 3 qualsiasi sia n Naturale Soluzione: Calcoliamo la congruenza modulo 3 di tale quantità nei 3 casi possibili per n: n 0 (3) n 3 +11n 0 (3) è divisibile n 1 (3) n 3 +11n 1+11=12 0 (3) è divisibile n 2 (3) n 3 +11n 8+22=30 0 (3) è divisibile

14 Altro svolgimento possibile (uso i residui quadratici) n 3 +11n=n(n 2 +11) Se n 0 (3) n(n 2 +11) 0*11=0 (3) Sennò n 2 1 (3) e quindi n(n 2 +11) n*12 0 (3) Altro metodo di risoluzione possibile: per induzione Altri esercizi: n^3+11n sempre multiplo di 6 n^4-n^2 sempre multiplo di 12 n^5-n sempre multiplo di 30

15 Calcolo dell MCM con il metodo di Euclide 1. Vogliamo calcolare MCD(a,b) con a>b 2. Allora potremo scrivere a=m*b+r 3. Se r=0 MCD(m*b,b)=b e ho finito, altrimenti 4. MCD(a,b)=MCD(r,b)=MCD(b,r) con r<b 5. Riparto dal punto 1 dato che sono in una situazione equivalente a quella iniziale 6. L algoritmo termina quando mi ritrovo nella situazione 3 (prima o poi capita sempre).

16 Teorema di Bezout Data l equazione in due variabili n*a+m*b=c con a, b e c interi. Questa equazione ha infinite soluzioni intere (n,m) se e solo se MCD(a,b) c. Consideriamo il caso MCD(a,b)=c Dividendo tutto per c si ottiene una nuova equazione: n*h+m*k=1 con MCD(h,k)=1 A questo punto cosa posso fare, per dimostrare l esistenza di una coppia (n,m)?

17 Come si trovano in pratica gli n,m? Si usa il metodo delle divisioni euclidee successive: Esempio h=44 k=17 44=17* =10*1+7 10=7*1+3 7=3*2+1 Il resto dell ultima riga è l MCD Ora si prosegue dal basso verso l alto ricavando i resti da ogni riga:

18 1=7-3*2 3=10-7 => 1=7-(10-7)*2=7*3-10*2 7=17-10=> 1=(17-10)*3-10*2=17*3-10*5 10=44-17*2 =>17*3-(44-17*2)*5=17*13-44*5 n=-5 m=13 Come faccio se MCD(a,b) c ma non è uguale a c?

19 Picolo Teorema di Fermat Dato un numero primo p e un numero intero a non multiplo di p a^(p-1) 1 (p) Corollario Dato un numero primo p e un intero a a^p a (p)