Aritmetica modulare. Alessio Bernazzi 08/02/2017

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1 Aritmetica modulare Alessio Bernazzi 08/02/2017 Tutti sapete cos è la divisione euclidea, o divisione col resto (o almeno spero). In aritmetica modulare, quando si fanno operazioni con un numero, si prende in considerazione il resto della sua divisione per un altro numero. Nota importante: la divisione euclidea è definita sugli interi. Quando parliamo di qualche a, b o n parliamo di numeri interi. Non buttate dentro i moduli quando ci sono variabili non intere!. Si dice che a è congruo a b modulo n (a b(mod n)) se il resto della divisione di a e b per n è lo stesso, e si legge a congruo a b modulo n. Per esempio, 3 7(mod 4) perché 3 e 7 danno entrambi resto 3 se divisi per 4. Si può anche fare la stessa cosa con un numero negativo; 3 1(mod 4). Per brevità, invece di scrivere (mod n) scriveremo soltanto (n). Notiamo che, in quanto n modulo n è uguale a 0, posso sottrarre o aggiungere quante volte voglio n a entrambi i membri senza cambiare il risultato dell espressione: x 58(mod7) x (mod7) x 2(mod7) Quindi in modulo n due numeri sono uguali se la loro differenza è un multiplo di n: a b k n(n) a b 0(n) a b(n) Elenchiamo alcune proprietà dei moduli: Posso sommare n quanto voglio ed è come aggiungere 0; a b(n) a+kn b+jn(n) Posso sommare/sottrarre o moltiplicare per cose uguali entrambi i membri (attenzione! NON posso dividere tranquillamente! E quando si moltiplica si intende per qualcosa di diverso da 0, come nelle equazioni normali) a b(n) c d(n) a+c b+d(b);a c b d(n) La divisione posso farla liberamente se il numero per cui divido è coprimo con il modulo, ma per ora ci interessa poco questo aspetto. a b(n) a x b x (n) 1

2 Dalla prima proprietà vediamo che i numeri, in modulo n, non sono proprio così infiniti ; per dirlo meglio, posso crearmi un insieme di rappresentanti tali che ogni numero è uguale ad uno di questi. Guardiamo la seguente tabella per modulo 5: Ogni colonna è fatta da numeri che differiscono di un multiplo di 5; dunque sono tutti uguali modulo 5. Quindi, presa una riga a caso, ogni altro numero intero sarà uguale ad un elemento della riga. Di solito si prendono come rappresentanti i numeri da 0 ad n-1 (la seconda riga nella tabella) e si lavora come se esistessero solo questi (per questo ho detto che non sono così infiniti). Ok, più o meno abbiamo visto cosa sono i moduli. Ma a cosa servono? Perché guardare il resto della divisone di un numero per n (e poi, quale n?) invece che il numero stesso? Nelle gare i moduli possono servire principalmente a 2 cose: eliminare possibili soluzioni di equazioni (o simili) oppure trovare le cifre finali di un numero. Per esempio, se chiedo di trovare le ultime 2 cifre di 77 66, basta esaminare il numero modulo 100: il resto della divisione sono proprio le ultime due cifre. Se invece voglio vedere quando è che un equazione NON ha soluzione posso cercare un modulo che me lo mostri, come quando il testo mette davanti cose astruse, apparentemente irrisolvibili tramite metodi normali. Le soluzioni di 4x 2 +6xy = 42y sono praticamente ingestibili a prima vista, sia che si lavori su x e y reali che sugli interi. Ma se sappiamo che i numeri sono interi possiamo guardare l equazione modulo 2 e diventa 0x+0xy 0+13(2) 0 1(2) In modulo due l equazione non ha soluzione e dunque non ce l ha nemmeno negli interi. L ultima frase va capita bene e non bisogna abusarne: se non ci sono soluzioni modulo n, allora non ci sono soluzioni negli interi; non è necessariamente vero il viceversa. Come mai? Guardare modulo 2 significa guardare la parità; se x è pari è congruo a 0, se è dispari è congruo a 1. Il motivo per cui l equazione di prima non ha soluzione è che ho a sinistra due numeri pari e a destra un pari e un dispari; questo ragionamento è formalizzato con il modulo e si generalizza con la divisibilità per un n qualsiasi. Se l equazione non ha soluzione modulo 15, significa che c è un problema con la divisibilità per 15 dei numeri, così come ora c è con la parità. Perché non è vero il viceversa? 4x 2 +3 = 3y +2y 2 In modulo 2: 1 y(2) 2

3 Abbiamo ottenuto che c è soluzione modulo 2 se y è dispari. Allora vuol dire che qualsiasi dispari mi dà soluzione? Se y=5, 4x 2 = 50, che non ha soluzione sugli interi. Quel che mi dice il modulo è che, se c è soluzione, allora y è dispari. Se y non fosse dispari, la parità non tornerebbe; ma non qualsiasi y dispari mi dà soluzione. Esercizi: Il problema accennato prima: trovare la cifra delle unità di Qual è la cifra delle unità di 17 17? (A) 1, (B) 3, (C) 5, (D) 7, (E) 9. (Archimede 2006) Due numeri interi a,b sono tali che a+b+ab è divisibile per 10. Cosa si può dedurre sui numeri a e b? A)Che sono entrambi pari B)Che sono entrambi dispari C)Che sono uno pari e l altro dispari D)Che uno di essi è divisibile per 5 E)Che sono entrambi divisibili per 10 (Archimede 1995) 2 - Qual è la 2015 a cifra dopo la virgola della scrittura decimale di 4 7? (A) 7 (B) 1 (C) 5 (D) 2 (E) 4 (Archimede 2015) 7 - Qual è la cifra delle unità di 7 89? (A) 5 (B) 3 (C) 9 (D) 7 (E) 1 (Archimede 2015) 9 - Luca scrive sulla lavagna tutti i numeri pari consecutivi da 2 a 2010 (compresi), poi Giovanna cancella tutti quelli che sono multipli di 3. Quanti numeri rimangono? (A) 670 (B) 710 (C) 840 (D) 905 (E) 1005 (Archimede 2010) Qual è la cifra delle unità del numero ? (Provinciale 1999) Quali sono le ultime DUE cifre di 66 66? Per il problema della cifra finale, intanto notiamo che dipende soltanto dalla cifra delle unità; non importa se il numero che sto considerando è 77 o o (70+7) (10) Allora se vogliamo la cifra delle unità di possiamo studiare quella di 7 66 In questa tabella ho 3

4 messo la cifra delle unità delle potenze dei numeri da 0 a 9. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x La cifra delle unità nelle potenze è periodica, e questo periodo è al massimo 4 (per chi ne sa già qualcosa, 4 è φ(10), dunque l ordine moltiplicativo di un numero modulo 10 divide 4). Il periodo di 7 è 4; dunque (10) e anche 7 4k 7 0. Allora (10) La cosa che è importante notare qua è che le potenze di un numero x in modulo n possono essere un numero finito di valori diversi. Questo deriva dalla finitezza dei rappresentanti modulo n: se x 1 x, x 2 y, x 3 z, prima o poi arriverò ad un valore che ho già incontrato. Guardiamo 5 modulo 7: 5 1 5(7); 5 2 = 25 4(7); 5 3 = (7) 5 4 = (7) 5 5 = (7) 5 6 = (7) 5 7 = (7) Come stavamo dicendo, anche le potenze di 5 hanno un periodo in modulo 7, e questo è 6 perché , , e così via. L unico numero che non viene preso di sicuro è 0, perché se 5 k 0(7), anche 5 k+1 0(7) e tutti i successivi, distruggendo il ciclo. Definiamo quindi ordine moltiplicativo di x modulo n il più piccolo d tale che x d 1(n); ord n (x) = d. L ordine moltiplicativo di un numero è al massimo n: se prendiamo x in modulo n e lo eleviamo alla prima, poi alla seconda, poi alla terza e così via, quando arriviamo a fare x n sicuramente troveremo un valore che abbiamo già incontrato (perché ci sono n numeri nei rappresentanti e lo 0 non lo tocchiamo mai, quindi n-1 elementi possibili). Introduciamo quindi il Piccolo teorema di Fermat: a n a(p) con p primo. Nota: noi abbiamo solo dimostrato che l ordine di un numero modulo p è minore o uguale di p-1; il 4

5 teorema invece ci dice che lo divide. Possiamo dimostrarlo o per induzione oppure dando per buono che esiste un elemento di ordine p-1 (che è vero) e scrivendo tutti gli altri elementi come potenze di quel numero. Siamo tentati di dire che allora anche a n 1 1(n) (che sarebbe la forma in cui il teorema è enunciato di solito); ma abbiamo già detto che non possiamo dividere per a impunemente. Infatti 0 7 0(7) è vera ma 0 6 1(7) è falsa; la seconda forma funziona se e solo se a e p sono coprimi, cioè a è diverso da 0 modulo p. Come mai abbiamo bisogno di p primo? Se prendiamo 3 in modulo 15, (15). Il piccolo teorema di Fermat non funziona, ma perché? In modulo 15, le potenze seguono cicli diversi. Per esempio, se prendiamo un x che non divide 5 (come 3) allora 3 k diviso 15 non può dare come resto 5. Dove abbiamo sbagliato? Perché il ragionamento di prima funziona finché prendiamo un modulo primo? Se n non è primo (come 15) è ovvio che 3 k non potrà mai essere congruo a 5 (basta guardare 3 k = 15q +r, se r fosse divisibile per 5 potrei raccogliere 5 a destra e deriverebbe che 5 divide 3); le potenze di x non necessariamente incontrano tutti i numeri tranne 0 (dunque non esiste un generatore e non si può fare un ragionamento come quello che accennavo poco fa). Cerchiamo di capire cosa possiamo dire allora sull ordine di un numero in modulo n non primo; dobbiamo prima introdurre la funzione di Eulero. Funzione φ e teorema di Eulero Sia n un numero intero e sia p α 1 1 pα pαr r la sua scomposizione in fattori primi. Allora il numero di elementi minori di n coprimi con n è uguale a φ(n) = (p α 1 1 pα )(p α 2 2 pα )...(p αr r p αr 1 r ) Un esempio facile per capire come si usa la phi di Eulero: se voglio i numeri minori di 315 e coprimi con esso, per prima cosa lo scompongo: 315 = Il numero che cerco è φ(315), cioè ( )( )( ). Quindi per calcolare la phi di un numero lo scompongo in primi e tolgo ad ogni fattore sè stesso con l esponente diminuito di 1. Nota: la phi di un primo p è p 1. La dimostrazione (per chi è interessato) si fa calcolando prima la phi di p k e mostrando che phi è moltiplicativa, cioè φ(ab) = φ(a)φ(b) Da qua si può dimostrare il teorema di Eulero: Se a ed m sono coprimi, allora a φ(m) 1(m) Se m è primo, φ(m) è proprio m 1 e otteniamo il Piccolo teorema di Fermat. Ometto la dimostrazione del teorema perché richiede l utilizzo di diversi concetti di aritmetica non affrontati qua. Extra: Residui quadratici e teorema di Wilson Alcuni numeri che negli interi non sono quadrati lo sono in modulo n. Ad esempio, 3 in modulo 11 è 5 2 = Come stabilire se un numero è un quadrato o no? Quanti sono i quadrati in modulo n? 5

6 Per un modulo p primo, la risposta è che i quadrati sono p+1 2 e un numero n è un quadrato se e solo se n p 1 2 = 1(p). Sapere quando un numero è un quadrato serve soprattutto a risolvere equazioni in cui compaiono termini elevati al secondo grado; basta provare i numeri che sappiamo essere quadrati come soluzione e vedere se torna o meno. Teorema di Wilson: (p 1)! 1(p) p primo; Provate ad usarlo per risolvere questo problema: Quanto vale il resto della divisone per 53 di p(0) + p(1) + + p(2014) sapendo che p(t) = (50t + 1)(49t+2)...(2t+49)(t+50)? Un problema abbastanza difficile: Su una lavagna sono stati scritti i numeri da 1 a 30. Luca vuole riuscire ad ottenere lo 0 sulla lavagna procedendo nel seguente modo: prende due numeri a e b e sceglie una delle seguenti operazioni da effettuare: 1) a+b 2) a-6b 3) 8a-13b Successivamente cancella i due numeri dalla lavagna e aggiunge il numero ottenuto dall operazione effettuata; esiste un metodo per far vincere Luca? in che modo può riuscirci? Suggerimento: se il risultato deve essere 0, allora deve anche essere 0 modulo n, ma la somma dei numeri di partenza è , che non è 0 in tanti moduli. Cercate alloradi capire cosafanno le operazioni 1), 2) e 3) in mod n, dopo aver scelto un n giusto, e vedere se è possibile o no arrivare a 0. Risolvere l equazione: x 2 +5x+2 0(7) Risolvere l equazione: Risolvere l equazione: x 21 +2x 4 +2x 2 2x 1 0(125) x21+3x 0(27) 6