Il nano sulle spalle del gigante

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1 Il nano sulle spalle del gigante il sottile legame che separa matematica e informatica Miriam Di Ianni Università di Roma Tor Vergata

2 Cosa è un problema? Dal dizionario: In matematica e in altre scienze, domanda con cui si chiede di trovare, sulla base di dati noti ed enunciati, dati non noti, o impliciti, che sono logicamente deducibili dai primi

3 Cosa è risolvere un problema? Esplicitare i dati impliciti! Sequenza di deduzioni logiche che, a partire dai dati espliciti ed utilizzando i teoremi noti, arriva ad esplicitare i dati impliciti Esempio: calcolo dell area di un rettangolo dati base e altezza

4 Un problema: primalità Siano dati due numeri a e b Ci chiediamo: a e b sono primi fra loro? Cioè: hanno divisori in comune? Cioè: esiste un numero c > 1 tale che a è multiplo di c e b è multiplo di c?

5 Primalità: soluzione Facile: calcoliamo il Massimo Comune Divisore fra a e b Se MCD(a,b)=1 allora a e b sono primi fra loro Se MCD(a,b)>1 allora a e b non sono primi fra loro Facile! il MCD lo sappiamo calcolare dalle medie!

6 MCD: facile! Definizione: MCD(a,b) = prodotto dei fattori comuni ad a e b presi con il minimo esponente Scomponiamo a in fattori primi Scomponiamo b in fattori primi Prendiamo i fattori comuni con il minimo esponente Facile!

7 MCD: facile! Davvero!!!! davvero... davvero?

8 Allora, scommettiamo! Io vi dico due numeri: a e b E vi garantisco che MCD(a,b) > 1 Voi mi dovete dire un divisore comune non banale di a e di b Ossia, un numero c > 1 che divide a e b Anche usando la calcolatrice ma senza computer Se trovate c, allora vi pago di euro! Ci state?

9 Cerchiamo di capirci! Il vostro c, io lo verifico! Verifico che a sia divisibile per c Verifico che b sia divisibile per c Mi basta fare le divisioni! Se volete il milione di euro, dovete cercare un vero divisore di a e di b! Ad esempio, potete calcolare MCD(a,b) Facile!

10 Facciamo qualche prova a = 8 e b = 6 a = 72 e b = 12 Ok, siamo pronti? Ah, però il vostro numero dovete dirmelo prima della fine del mio intervento... Diciamo che avete 15 minuti di tempo, ok? Pronti...

11 ... VIA! a = b =

12 In 15 minuti?! a = (10007) 3 x 9151 Per trovare il fattore dovete provare all incirca 2500 numeri Anche se per verificare che un certo numero n è fattore di a (ossia, per eseguire la divisione di a per n) impiegate 3 secondi (...!) Per trovare la fattorizzazione di a impiegate secondi = 250 minuti!

13 In 15 minuti?! b = (10007 x 9887) 2 Allora, anche per fattorizzare b impiegate non meno di 250 minuti Allora, potete tranquillamente comunicarmi il vostro risultato in comodissime 8/9 ore... ARGH!

14 Ma c è un altro modo... In realtà, il MCD fra due numeri si può trovare anche senza fattorizzare i due numeri E se ne era accorto, già da qualche tempo, il signor Euclide Mai sentito nominare?

15 ... Un modo costruttivo Euclide ha individuato un gruppo di operazioni da eseguire a partire dai due numeri a e b che se eseguite in sequenza Ripetutamente Senza neanche pensare a cosa si sta facendo Come ultimo risultato danno MCD(a,b) Cioè, Euclide ha trovato un algoritmo

16 Algoritmo di Euclide (1) L'algoritmo originale di Euclide è basato su divisioni successive si basa sulla seguente proprietà: Se due numeri, a e b, sono divisibili per un terzo numero, d, allora anche il resto del loro quoziente è divisibile per d.

17 Algoritmo di Euclide (2) Infatti: supponiamo a = q b + r se d divide sia a che b, allora esistono h e k tali che a=hd e b=kd Quindi, (a=) qb+r=hd ossia qkd+r=hd Ossia, r=qkd-hd=d(kp-h), cioè Dunque si può dire che: d divide anche r MCD(a,b) = MCD(r,b)

18 Algoritmo di Euclide (3) Questa regola permette di passare, per mezzo di una sequenza di divisioni e calcoli di resti a MCD di numeri fino ad ottenere: sempre più piccoli, MCD(a,0)=a

19 Algoritmo di Euclide (4) L'algoritmo può essere scritto così: Sia a > b; finché b > 0 - calcola il resto r della divisione di a per b e assegna ad a il valore b e a b il valore r a è il MCD cercato!

20 a = 180 e b = 96 Proviamo calcoliamo a mod b= 84, e poniamo a=96 e b = 84 Ripetiamo. Calcoliamo a mod b= 12, poniamo a=84 e b=12 Ripetiamo. Calcoliamo a mod b= 0

21 ... continua Siamo giunti a a = 12 e b = 0 con 5 operazioni Ora b = 0: abbiamo finito! E MCD(180,96)=12 Con sole 5 operazioni!

22 Il MCD della scommessa Dovevamo calcolare MCD( , ) Utilizziamo l algoritmo di Euclide e calcoliamo mod E ripetiamo = à 15 cifre

23 La scommessa & Euclide mod = à 15 cifre mod = à 15 cifre mod = à 14 cifre

24 ... Continua mod = à 14 cifre mod = à 14 cifre mod = à 13 cifre

25 ... Continua mod = à 11 cifre mod = à 11 cifre mod = à 11 cifre mod = à 11 cifre

26 ... E infine: mod = à 10 cifre mod = à 10 cifre mod = à 9 cifre mod = 0 il MCD è

27 Algoritmo di Euclide: fa presto! L'algoritmo ci ha permesso di calcolare il MCD di due numeri di 16 cifre con 15 divisioni! Contro le (circa) 5000 richieste dal metodo basato sulla fattorizzazione!

28 Questione di fortuna? Magari ho scelto i due numeri in modo tale che l algoritmo di Euclide si comportasse bene... Ma non è così! Chiariamoci le idee...

29 Un po di conti Quando fattorizziamo un numero a Dobbiamo cercare i suoi fattori Dobbiamo provare tutti i numeri compresi fra 2 e a Ok, magari una loro frazione Diciamo 1/4? Impieghiamo un numero di operazioni proporzionale a a

30 Un po di conti Quando calcoliamo MCD(a,b) con l algoritmo di Euclide, ad ogni passo calcoliamo un resto Che è minore o uguale di entrambi gli operandi Questo fa sì che il numero di cifre dei due operandi diminuisca velocemente - ma quanto velocemente?

31 Un po di conti Diciamo: a ha c a cifre e b ha c b cifre Se c a > c b allora in un passo il massimo numero di cifre diminuisce Per esempio, se a=782 e b=57 a mod b = 41 Al passo successivo non avrò più numeri di tre cifre

32 Un po di conti Diciamo: a ha c a cifre e b ha c b cifre Se c a = c b allora in al massimo 9 passi il massimo numero di cifre diminuisce a=9xxxx, b=5xxxx, a mod b=3xxxx a=5xxxx, b=3xxxx, a mod b=2xxxx a=3xxxx, b=2xxxx, a mod b=1xxxx a=2xxxx, b=1xxxx, a mod b=1xxxx a=1xxxx, b=1xxxx, a mod b=9xxx

33 Un po di conti Diciamo: a ha c a cifre e b ha c b cifre Allora, nel caso peggiore, mi servono 10 passi per far diminuire entrambi gli operandi di una cifra Il caso peggiore è quando hanno lo stesso numero di cifre 9 passi per far diminuire uno dei due operandi ma si fa molto prima! Un passo per far diminuire l altro

34 Quanto costa? L algoritmo di Euclide richiede un numero di operazioni proporzionale al numero di cifre Ossia, proporzionale a log 10 a La fattorizzazione richiede un numero di operazioni proporzionale a a E quando a diventa grande, la differenza si sente!

35 Quanto costa?

36 I due punti di vista Il matematico cerca la soluzione di un problema Studia la struttura del problema Dimostra l esistenza di una soluzione Studia le proprietà della soluzione Generalizza il problema: studia tutti i casi i cui l esistenza della soluzione è garantita... E tante altre belle cose

37 Pensare informatico L informatico A partire dal lavoro del matematico Cerca un metodo di soluzione applicabile praticamente Ossia, che la soluzione permetta di trovarla davvero! O, come dice l informatico, permetta di calcolarla

38 Trovare davvero la soluzione Avere un metodo risolutivo che impiega troppo tempo Tipo, cinque secoli è come non avere affatto un metodo risolutivo... la torre di Hanoi

39 Pensare informatico (2) Dopo aver trovato un algoritmo, l informatico lo analizza Utilizzando gli strumenti del matematico Per capire quanto costa trovare la soluzione Quanto tempo l algoritmo impiega E se ci sono tanti algoritmi, l informatico sceglie quello migliore

40 Riassumendo La matematica è interessata all esistenza di una entità Non si chiede quanto tempo occorre a trovarla! Potrebbe volerci più di una vita... L informatica è interessata a procedimenti che costruiscano l entità E che lo facciano in tempi ragionevoli!