Corso di Informatica

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1 Corso di Informatica Modulo T1 2-Proprietà degli algoritmi 1 Prerequisiti Conoscere il concetto di M.C.D. tra due numeri interi Concetto intuitivo di funzione matematica 2 1

2 Introduzione Sappiamo scrivere algoritmi, rappresentandoli in diversi modi, ma resta da rispondere ancora ai seguenti interrogativi. Ogni sequenza logica di operazioni è un algoritmo? Quali sono le azioni elementari? Quali sono le proprietà degli algoritmi? In questa Unità rispondiamo a questi quesiti. 3 M.C.D. tra due interi Problema: si deve calcolare il massimo comun divisore tra due numeri interi (applicando la regola di calcolo consueta) ATTIVITA : scrivere l analisi del testo del problema Fase 1 Analisi del testo Il problema chiede di calcolare il M.C.D. tra due numeri interi a e b. Usiamo una variabile mcd intera per il risultato. Supponiamo di saper scomporre un numero in fattori primi, di saper individuare il minimo fra 2 numeri, di saper individuare se un elemento è comune a due insiemi e di saper svolgere la moltiplicazione. I dati espliciti sono sufficienti ed il problema è solubile. La verifica del procedimento si effettua constatando che mcd è effettivamente M.C.D.(a, b). 4 2

3 M.C.D. tra due interi ATTIVITA : scrivere la tabella delle variabili Dati Nome Tipo Significato INPUT a Intero primo numero b Intero secondo numero OUTPUT mcd Intero M.C.D.(a, b) ATTIVITA : scrivere il procedimento risolutivo Procedimento risolutivo: Immetti i valori di a e di b. Scomponi a in fattori primi e ponili nell insieme PA; scomponi b in fattori primi e ponili nell insieme PB. Seleziona negli insiemi PA e PB i fattori comuni con il minimo esponente e ponili in un insieme PAB. Calcola il prodotto mcd degli elementi di PAB ed emetti il valore di mcd 5 M.C.D. tra due interi Algoritmo MCD ATTIVITA : scrivere il corrispondente algoritmo a passi numerati (Fase 2) Inizio 1: immetti il valore di a; 2: immetti il valore di b; 3: scomponi a in fattori primi e poni i fattori primi in un insieme PA; 4: scomponi b in fattori primi e poni i fattori in un insieme PB; 5: poni in PAB l intersezione di PA e PB, selezionando i fattori comuni con il minimo esponente; 6: calcola il prodotto mcd degli elementi di PAB; 7: emetti il valore di mcd; Fine. 6 3

4 M.C.D. tra due interi L esempio descritto prevede: un esecutore colui che esegue il processo una sequenza logica di passi numerati un repertorio di azioni operative immetti, scomponi in fattori primi, emetti, ecc che l esecutore sa svolgere autonomamente una esecuzione sequenziale che NON effettua alcun salto. Sfortunatamente, nessun esecutore ha nel suo repertorio azioni come: scomponi poni in un insieme qiindi l algoritmo scritto non può essere eseguito. 7 M.C.D. tra due interi Problema: si deve calcolare il massimo comun divisore tra due numeri interi (applicando la definizione) ATTIVITA : scrivere l analisi del testo del problema Fase 1 Analisi del testo Il problema chiede di calcolare il M.C.D. tra due numeri interi a e b. Usiamo una variabile mcd intera per il risultato. Supponiamo di saper calcolare i divisori di un numero, di saper individuare se un numero è comune a due insiemi e di saper calcolare il massimo di un insieme di numeri. I dati espliciti sono sufficienti ed il problema è solubile. La verifica del procedimento si effettua constatando che mcd è effettivamente M.C.D.(a, b). 8 4

5 M.C.D. tra due interi ATTIVITA : scrivere la tabella delle variabili di I/O Dati Nome Tipo Significato INPUT a Intero primo numero b Intero secondo numero OUTPUT mcd Intero M.C.D.(a, b) ATTIVITA : scrivere il procedimento risolutivo Procedimento risolutivo: Immetti il valore di a e di b: calcola i divisori di a e ponili in un insieme DA; calcola i divisori di b e ponili in un insieme DB. Esegui l intersezione di DA con DB nell insieme DAB. Calcola il valore massimo mcd dell insieme DAB ed emettilo all esterno. 9 M.C.D. tra due interi Algoritmo MCD ATTIVITA : scrivere il corrispondente algoritmo a passi numerati (Fase 2) Inizio 1: immetti il valore di a; 2: immetti il valore di b; 3: calcola i divisori di a e ponili in un insieme DA; 4: calcola i divisori di b e ponili in un insieme DB; 5: esegui l intersezione di DA e DB che chiamiamo DAB; 6: calcola il valore massimo mcd tra gli Problema elementi di PAB; che facciamo? 7: emetti il valore di mcd; Niente paura ci viene in Fine. aiuto Euclide parliamo di Sfortunatamente, nessun esecutore 2300 ha anni nel suo fa!!! repertorio azioni come: calcola il valore massimo di un insieme poni in un insieme qiindi l algoritmo scritto non può essere eseguito. 10 5

6 M.C.D. tra due interi Problema: si deve calcolare il massimo comun divisore tra due numeri interi a e b (metodo della divisione di Euclide) Osservazione: L algoritmo di divisione di Euclide che funziona come segue: Es. a=18, b=12. a b r Note :12 resto :6 resto 0 B è l MCD 11 M.C.D. tra due interi Dati Nome Tipo Significato INPUT a Intero primo numero b Intero secondo numero OUTPUT mcd Intero M.C.D.(a, b) ATTIVITA : scrivere l analisi del testo del problema Fase 1 Analisi del testo Il problema chiede di calcolare il M.C.D. tra due numeri interi a e b. Usiamo una variabile mcd intera per il risultato. Supponiamo di saper calcolare il quoziente ed il resto di una divisione intera. I dati espliciti sono sufficienti ed il problema è solubile. La verifica del procedimento si effettua constatando che mcd è effettivamente M.C.D.(a, b). 12 6

7 M.C.D. tra due interi ATTIVITA : scrivere il procedimento risolutivo Procedimento risolutivo Immetti il valore di a e di b. Esegui ripetutamente il calcolo del resto r della divisione tra a e b ed ogni volta che si effettua la divisione, assegna b ad a e r a b. Il procedimento di divisione termina quando r risulta uguale a 0. In questo caso, assegna b ad mcd ed emetti mcd. 13 M.C.D. tra due interi ATTIVITA : scrivere il corrispondente algoritmo a passi numerati (Fase 2) Algoritmo MCD Il gruppo di istruzioni viene eseguito Inizio ciclicamente, fino al verificarsi della 1: immetti il valore di a; condizione espressa dal controllo presente al 2: immetti il valore di b; passo 4. Un ciclo è anche detto loop. 3: assegna ad r il resto della divisione tra a e b; 4: r = 0? Se SI vai al passo 8; 5: assegna b ad a; 6: assegna r a b; 7: vai al passo 3; 8: assegna b ad mcd; 9: emetti il valore di mcd; Fine. L istruzione di assegnazione consente di porre in una variabile, il valore di una qualunque espressione. Si indica con il simbolo = Salto incondizionato 14 7

8 M.C.D. tra due interi Algoritmo MCD Inizio 1: immetti il valore di a; 2: immetti il valore di b; 3: r = a % b; 4: r = 0? Se SI vai al passo 8; 5: a = b; 6: b = r; 7: vai al passo 3; 8: mcd = b; 9: emetti il valore di mcd; Fine. Assegnazioni Il simbolo % indica il resto della divisione tra gli operandi che si trovano ai suoi lati Tutti gli esecutori sanno svolgere le operazioni indicate, per cui l algoritmo scritto può essere eseguito! 15 M.C.D. tra due interi La verifica della correttezza dell algoritmo viene fatta con la tabella di traccia a b r mcd 12 Nella tabella di traccia si assegnano alle variabili di input i valori inizali e si svolge, passo passo, l algoritmo. Come si vede, al passo 8, si ottiene r=0; il corrispondente valore di b rappresenta il mcd. Passo

9 Azioni elementari Nell esempio del massimo comun divisore, abbiamo visto che il repertorio è diventato: ridotto, perché formato da poche azioni operative (immetti, emetti, calcola resto) semplice perché le istruzioni operative svolgono compiti elementari 17 Azioni elementari Riducendo al minimo le capacità dell esecutore, esso riconosce le seguenti azioni elementari: istruzioni operative quali: immetti emetti assegna il valore di un espressione ad una variabile controllo che consentono un: salto condizionato: Se...vai salto incondizionato: vai 18 9

10 Azioni elementari 19 Proprietà degli algoritmi Rispetto alla descrizione in linguaggio naturale, un algoritmo risulta: basato su un ridotto e semplice repertorio di istruzioni elementari (operative e di controllo) indipendente dal risolutore e suo modo di esprimersi privo delle ambiguità tipiche del linguaggio naturale Siamo perciò in grado di stabilire le proprietà cui devono soddisfare gli algoritmi

11 Proprietà degli algoritmi - Generalità Il processo risolutivo rappresentato dall algoritmo deve essere in grado di trattare non soltanto il problema da cui è nato, ma tutti i problemi che si risolvono nello stesso modo e che ovviamente variano soltanto per i valori degli input. I problemi che hanno lo stesso procedimento risolutivo si dice che appartengono alla stessa classe di problemi. Pertanto l algoritmo deve essere generale 21 Proprietà degli algoritmi - Operatività discreta Come abbiamo detto il processo risolutivo deve essere sequenziale nel tempo. Una istruzione non può iniziare prima che la precedente sia terminata. Poiché in un algoritmo può essere eseguita una sola istruzione alla volta, si dice che esso opera in modo discreto

12 Proprietà degli algoritmi - Finitezza della descrizione Le parole Inizio e Fine indicano che la descrizione del processo risolutivo di un problema (algoritmo) deve avere una origine ed un termine. I passi elementari che compongono un algoritmo devono essere in numero finito. L algoritmo deve cioè essere finito nella sua descrizione. 23 Proprietà degli algoritmi - Finitezza della esecuzione L inizio e la fine della descrizione di un algoritmo devono corrispondere anche all inizio e alla fine della sua esecuzione. Non è accettabile un algoritmo che non termini la sua esecuzione. Poiché l esecuzione di un algoritmo deve avvenire dopo un tempo finito rispetto al suo inizio, si dice che l algoritmo deve essere finito nella esecuzione 24 12

13 Proprietà degli algoritmi - Non ambiguità Ogni istruzione dell algoritmo deve corrispondere ad una ben precisa operazione del repertorio di istruzioni dell esecutore. Non sono ammesse nell algoritmo istruzioni che l esecutore non sia in grado di svolgere. Poiché le istruzioni presenti nell algoritmo devono avere una interpretazione univoca da parte dell esecutore, si dice che l algoritmo deve essere non ambiguo. 25 Proprietà degli algoritmi - Effettività Ogni istruzione dell algoritmo deve far evolvere il processo risolutivo verso i risultati voluti. Non sono ammesse istruzioni che non producano avanzamento del processo risolutivo. In altre parole, nella tabella di traccia ogni passo prevede il cambiamento di valore di una variabile Poiché le istruzioni presenti nell algoritmo devono di fatto far evolvere il processo e quindi produrre un effetto (calcolare i risultati) si dice che l algoritmo deve essere effettivo 26 13

14 Proprietà degli algoritmi - Sequenzialità Le operazioni previste dall algoritmo devono essere eseguite una dopo l altra nell ordine in cui compaiono Poiché le istruzioni presenti nell algoritmo devono di fatto essere eseguite nell ordine strettamente consecutivo, si dice che l algoritmo deve essere sequenziale 27 Concetto matematico di algoritmo Dati in ingresso (P) Dati in uscita (A) Un algoritmo esprime un legame tra due insiemi (insieme dei dati in input e insieme dei dati in output) e pertanto esso corrisponde al concetto matematico di funzione. Se non è possibile individuare una funzione che leghi logicamente l input e l output di un problema, il problema non è solubile e non esiste alcun algoritmo in grado di risolverlo

15 Le variabili Quando si scrive un algoritmo può essere necessario utilizzare delle variabili. Ogni variabile è identificata da un: Nome, scelto dal programmatore in modo che ricordi il suo significato Scopo, indica la finalità della variabile (ciò che indichiamo con Significato nella tabella delle variabili). Tipo, indica il tipo di dato cioè se si tratta di una variabile di tipo Intero, Reale, Logico, Carattere o Stringa (sequenza di caratteri) Contenuto, rappresenta il valore registrato nella variabile 29 Argomenti M.C.D. tra due interi Azioni elementari Area del quadrato Minimo fra tre valori Proprietà degli algoritmi Generalità Operatività discreta Finitezza della descrizione Finitezza della esecuzione Non ambiguità Effettività Sequenzialità Concetto matematico di algoritmo Le variabili 30 15

16 Altre fonti di informazione P.Gallo, F.Salerno Informatica Generale 1, ed. Minerva Italica G.Callegarin Corso di Informatica 1, ed. CEDAM M. Pellerey-Informatica: fondamenti culturali e tecnologici, ed. SEI 31 16