Lezione 4. Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti. Gianluca Rossi

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Lezione 4. Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti. Gianluca Rossi"

Transcript

1 Lezione 4 Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti Gianluca Rossi Trattabile o intrattabile? Consideriamo ora il problema, ben noto a tutti gli studenti a partire dalla scuola media, di calcolare il massimo comun divisore (MCD) di due interi. Il metodo insegnato a scuola presuppone la scomposizione in fattori primi dei due interi. Una prima soluzione Il metodo più semplice consiste nel verificare se il numero intero n in questione è divisibile per 2, 3,..., n 1. Se ad esempio n è divisibile per 2, allora si ha che esistono s, q > 0 tali che n = 2 s q, con q non divisibile per 2. Si pone allora 2 tra i fattori primi di n (con esponente s) ed al posto di n si considera, nel seguito, il valore q. Si passa quindi a considerare allo stesso modo la divisibilità per 3, e così via. Il metodo può essere riassunto come: r = n for i in 1... n 1 : i f i d i v i d e r : r = i s q prendi i con r = q potenza s Evidentemente, il metodo verifica la divisibilità per al più n 1 valori (perché?). Questo non fornisce però un algoritmo polinomiale, in quanto si assume che la relazione polinomiale debba valere tra il numero di passi eseguiti (nel caso peggiore) e la descrizione dei dati di input: dato che la descrizione dell intero n richiede d = log 10 n cifre in notazione decimale (o b = log 2 n cifre in binario), abbiamo che il numero di verifiche è esponenziale in tale descrizione, in quanto n = 10 d o n = 2 b. In generale, non è noto nessun algoritmo polinomiale per fattorizzare un intero (su questa difficoltà poggia buona parte della moderna crittografia e dei 1

2 relativi protocolli su Internet). Tuttavia, questo non significa che il problema del calcolo del massimo comun divisore sia intrattabile in quanto esistono algoritmi che non richiedono la fattorizzazione e che effettuano un numero di passi polinomiale rispetto alla lunghezza della descrizione dei due interi. Uno di questi algoritmi è quello di Euclide che ora andremo a descrivere. Algoritmo di Euclide L algoritmo di Euclide prende il nome dal suo scopritore il matematico greco vissuto nel terzo secolo prima di Cristo. Si basa sull osservazione che se d è il massimo comun divisore tra n ed m allora d è anche il massimo comun divisore tra n m ed m (d ora in poi assumeremo sempre che n sia più grande di m). Dando per vero questo fatto ed osservando che MCD(n, 0) = n possiamo ridurre il problema di calcolare il massimo comun divisore tra n ed m al problema di calcolarlo tra n m ed m. Questo semplifica le cose perché prima o poi, ripetendo il procedimento, uno dei due interi diventa nullo. Per esempio se n = 128 e m = 72 allora MCD(128, 72) = MCD(56, 72) = MCD(56, 16) = MCD(40, 16) = MCD(24, 16) = MCD(8, 16) = MCD(8, 8) = MCD(8, 0) = 8. Si osservi che per calcolare il MCD(56, 16) abbiamo sottratto 16 da 56 per un numero di volte tale da consentire al risultato della sottrazione di divenire minore di 16 (in questo caso 3 volte). Dopo la terza sottrazione abbiamo ottenuto come risultato 8 e 56 = ovvero, dopo 3 passi ci siamo ridotti a calcolare il massimo comun divisore tra 16 ed il resto della divisione di 56 per 16 (che indicheremo 56 mod 16). In verità questo fatto è vero in tutti i passaggi infatti 128 = e 16 = Questa osservazione ci permette di introdurre una regola alternativa per passare da un passo a quello successivo nella procedura: il massimo comun divisore tra n ed m (n m) è il massimo comun divisore tra m ed il resto della divisione di n per m (ovvero n mod m). Usando questa regola il numero di passi necessario per ottenere il massimo comun divisore tra due numeri si riduce sensibilmente. Per esempio MCD(128, 72) = MCD(56, 72) = MCD(56, 16) = MCD(8, 16) = MCD(0, 8) = 8. Da quanto detto possiamo descrivere formalmente l algoritmo di Euclide ricorsivamente. Per rendere l algoritmo più compatto assumiamo che il primo intero in input è maggiore o uguale del secondo. 2

3 def e u c l i d e (n, m) : i f m == 0 : return n return e u c l i d e (m, n mod m) Per convincerci che l algoritmo è corretto manca da dimostrare che il massimo comun divisore di n ed m è anche il massimo comun divisore di m e n m. È quello che ci accingeremo a fare ora. La dimostrazione si articolerà in due passi: 1. Se d = MCD(n, m) allora d è un divisore anche di n m; 2. Non esiste un divisore di m ed n m più grande di d. Se d = MCD(n, m) allora n = d a e m = d b per due interi a e b; quindi n m = d(a b) ovvero d divide n m (e, ovviamente m) e d MCD(m, n m). (1) Questo dimostra il primo punto, per dimostrare il secondo assumeremo che MCD(m, n m) = q > d e faremo vedere che la cosa non è possibile quindi, per forza di cose, deve essere d MCD(m, n m). (2) Poiché q divide m si ha m = q x dove x è un intero opportuno. Ma q divide anche n m allora deve esistere un intero y tale che n q x = q y. Quindi n = q (x + y) ovvero q divide n ma sappiamo anche che q divide m e che q è più grande di d, questo non è possibile in quanto, per ipotesi, d è il massimo comun divisore tra n ed m. Riassumendo abbiamo dimostrato che le l Equazione 1 e l Equazione 2 valgono contemporaneamente quindi vale il seguente risultato. Teorema. MCD(n, m) = MCD(m, n m) = MCD(m, n mod m). Ora dimostriamo che l algoritmo di Euclide è esponenzialmente più efficiente di quello basato su fattorizzazione. Guardando l algoritmo di Euclide dovrebbe essere evidente che il numero di passi eseguito dall algoritmo è all incirca il numero di volte che viene calcolato il resto di una divisione tra due numeri. Infatti sia T (n, m) il numero di passi eseguito dall algoritmo su 3

4 input n ed m (con n m) allora T (n, 0) = 1 altrimenti T (n, m) = 1+T (m, n mod m). Assumendo che l algoritmo calcoli k resti (r 1, r 2,..., r k ) allora T (n, m) = 1 + T (m, r 1 ) = 2 + T (r 1, r 2 ) =... = k + T (r k 1, r k ) = k + 1. Adesso occorre trovare un modo per legare k ad n ed m. In particolare qual è la coppia di numeri n ed m per il quali k è massimo? O, equivalentemente, fissato k, qual è la coppia n ed m con n minimo che richiede il calcolo di k resti? La risposta a questa domanda è fortemente legata ad una successione numerica introdotta dal matematico pisano Leonardo Fibonacci vissuto a cavallo del dodicesimo e tredicesimo secolo. I primi due numeri della successione di Fibonacci sono 0 ed 1, ogni numero che segue è dato dalla somma dei due numeri che lo precedono quindi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... Più formalmente, sia f i l i-esimo numero della successione di Fibonacci (o numero di Fibonacci) allora f 0 = 0, f 1 = 1 e per ogni altro i, f i = f i 1 +f i 2. Guardando la sequenza si ha la sensazione che i numeri della successione di Fibonacci crescano molto velocemente. A quanto pare Fibonacci arrivò a questa successione cercando una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di animali parecchio prolifici, i conigli. Questa intuizione è supportata dalla matematica infatti si può dimostrare che f i = ϕi (1 ϕ) i 5 dove ϕ = (1 + 5)/ è detta sezione aurea. Quindi per i grande (1 ϕ) i è un numero molto vicino allo zero per questo si assume f i ϕ i. In che modo i numeri di Fibonacci sono legati al nostro problema? Dimostreremo che la coppia di numeri minima che nell algoritmo di Euclide richiede il calcolo di k resti è data da f k+1 e f k. La tecnica di dimostrazione utilizza il così detto principio di induzione che si basa su un idea piuttosto intuitiva. Vogliamo dimostrare che la proposizione P, che dipende da un intero k, sia vera per tutti i k. Se si riuscisse a dimostrasse che P (k) è vera se è vera P (k 1), poiché k è un qualsiasi numero da 0 in poi, si avrebbe che P (k 1) è vera se lo è P (k 2) e così via. Se il risultato fosse vero per 0 allora la catena terminerebbe positivamente e tutte le proposizioni fin qui costruite sarebbero vere; in altre parole la proposizione P (k) per ogni k. Quindi una dimostrazione basata sul principio di induzione prevede due fasi: nella prima fase si dimostra che P (0) è vera; nella seconda si assume che P (k 1) è vero (ipotesi induttiva) e si dimostra che lo è P (k). 4

5 Applichiamo il principio di induzione per dimostrare la nostra proposizione P (k) che afferma la coppia di numeri minima che nell algoritmo di Euclide richiede il calcolo di k resti è data da f k+1 e f k. Se k = 0 allora m deve essere 0 e n il più piccolo intero maggiore di 0 ovvero m = 0 = f 0 e n = 1 = f 1. Ora assumiamo che P (k 1) sia vero. Dall algoritmo si ha euclide(n, m) = euclide(m, r) dove r = n mod m. Se l esecuzione di euclide(n, m) richiede il calcolo di k resti allora l esecuzione di euclide(m, r) ne richiede k 1. Quindi, se m ed r è la coppia più piccola che richiede il calcolo di k 1 resti allora m = f k 1+1 = f k e r = f k 1. Inoltre n = q m + r = q f k + f k 1 per qualche q, poiché vogliamo che questo sia minimo allora q deve essere 1 (non può essere zero, perché?) ovvero n = f k + f k 1 = f k+1. Riassumendo, se T (n, m) = k + 1 allora n f k+1 ϕ k+1, quindi log 10 n (k + 1) log 10 ϕ 0.21(k + 1) = 0.21T (n, m). che dimostra il teorema che segue. Teorema. Siano n ed m due interi con n m, allora il numero di passi che esegue l algoritmo di Euclide nel caso peggiore è proporzionale a log 10 n. 5

Piccolo teorema di Fermat

Piccolo teorema di Fermat Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod

Dettagli

Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n

Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica

Dettagli

Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e Strutture Dati Algoritmi Ricorsivi e Maria Rita Di Berardini, Emanuela Merelli 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Camerino A.A. 2006/07 I conigli di Fibonacci Ricerca Binaria L isola dei conigli

Dettagli

Il nano sulle spalle del gigante

Il nano sulle spalle del gigante Il nano sulle spalle del gigante il sottile legame che separa matematica e informatica Miriam Di Ianni Università di Roma Tor Vergata Cosa è un problema? Dal dizionario: In matematica e in altre scienze,

Dettagli

Lezione 3 - Teoria dei Numeri

Lezione 3 - Teoria dei Numeri Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Trovare il più piccolo multiplo di 15 formato dalle sole cifre 0 e 8 (in base 10). Il numero cercato dev'essere divisibile per 3 e per 5 quindi l'ultima cifra deve

Dettagli

04 - Numeri Complessi

04 - Numeri Complessi Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore

3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore MCD in N e Polinomi 3/10/2013 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore di due numeri naturali

Dettagli

Metodo di Euclide delle sottrazioni successive per il calcolo del M.C.D.

Metodo di Euclide delle sottrazioni successive per il calcolo del M.C.D. Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di 2 o più numeri è il più grande numero che sia contemporaneamente divisore di tutti i numeri dati. Ci sono diverse procedure che ci permettono di calcolare questo valore.

Dettagli

Giovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore

Giovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore MCD in N e Polinomi Giovanna Carnovale October 18, 2011 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

Tempo e spazio di calcolo (continua)

Tempo e spazio di calcolo (continua) Tempo e spazio di calcolo (continua) I numeri di Fibonacci come case study (applichiamo ad un esempio completo le tecniche illustrate nei lucidi precedenti) Abbiamo introdotto tecniche per la correttezza

Dettagli

Università del Piemonte Orientale

Università del Piemonte Orientale Compito di Algebra del 13 Gennaio 2009 1) Trovare l ordine di [11] 112 in Z 112. Si dica poi per quali valori di k si ha [11] k 112 [34] 112 = [31] 112. Soluzione. L ordine di [11] 112 è 12. k 12 8. 2)

Dettagli

Tempo e spazio di calcolo (continua)

Tempo e spazio di calcolo (continua) Tempo e spazio di calcolo (continua) I numeri di Fibonacci come case study (applichiamo ad un esempio completo le tecniche illustrate nei lucidi precedenti) Abbiamo introdotto tecniche per la correttezza

Dettagli

MATEMATICA DI BASE 1

MATEMATICA DI BASE 1 MATEMATICA DI BASE 1 Francesco Oliveri Dipartimento di Matematica, Università di Messina 30 Agosto 2010 MATEMATICA DI BASE MODULO 1 Insiemi Logica Numeri Insiemi Intuitivamente, con il termine insieme

Dettagli

PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE

PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE Liceo Scientifico Gullace PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE Aritmetica 014-15 1 Lezione 1 DIVISIBILITÀ, PRIMI E FATTORIZZAZIONE Definizioni DIVISIBILITÀ': dati due interi a e b, diciamo

Dettagli

04 - Logica delle dimostrazioni

04 - Logica delle dimostrazioni Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 04 - Logica delle dimostrazioni Anno Accademico 013/014 D. Provenzano,

Dettagli

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)

Dettagli

623 = , 413 = , 210 = , 203 =

623 = , 413 = , 210 = , 203 = Elementi di Algebra e Logica 2008. 3. Aritmetica dei numeri interi. 1. Determinare tutti i numeri primi 100 p 120. Sol. :) :) :) 2. (i) Dimostrare che se n 2 non è primo, allora esiste un primo p che divide

Dettagli

= < < < < < Matematica 1

= < < < < < Matematica  1 NUMERI NATURALI N I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... L insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera. Si ha cioè: N= 0,1,2,3,4,5,6,7,.... L insieme dei naturali privato

Dettagli

Argomenti della lezione. Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni

Argomenti della lezione. Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni Argomenti della lezione Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 2? Un numero

Dettagli

una possibile funzione unidirezionale

una possibile funzione unidirezionale una possibile funzione unidirezionale moltiplicare due interi a n bit è facile (in O(n 2 ) con l algoritmo usuale) trovare un primo a n bit, e verificare che è primo, è facile (vedremo poi) fattorizzare

Dettagli

La codifica digitale

La codifica digitale La codifica digitale Codifica digitale Il computer e il sistema binario Il computer elabora esclusivamente numeri. Ogni immagine, ogni suono, ogni informazione per essere compresa e rielaborata dal calcolatore

Dettagli

1 Relazione di congruenza in Z

1 Relazione di congruenza in Z 1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo

Dettagli

Appunti di informatica. Lezione 7 anno accademico Mario Verdicchio

Appunti di informatica. Lezione 7 anno accademico Mario Verdicchio Appunti di informatica Lezione 7 anno accademico 2016-2017 Mario Verdicchio L algoritmo di Euclide per l MCD Dati due numeri A e B, per trovare il loro MCD procedere nel seguente modo: 1. dividere il maggiore

Dettagli

Due numeri naturali non nulli a, b tali che MCD(a,b) = 1 si dicono coprimi o relativamente primi.

Due numeri naturali non nulli a, b tali che MCD(a,b) = 1 si dicono coprimi o relativamente primi. MASSIMO COMUNE DIVISORE E ALGORITMO DI EUCLIDE L algoritmo di Euclide permette di calcolare il massimo comun divisore tra due numeri, anche se questi sono molto grandi, senza aver bisogno di fattorizzarli

Dettagli

Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e Strutture Dati Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 1 Un introduzione informale agli algoritmi Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Definizione informale di algoritmo Insieme di istruzioni, definite

Dettagli

CONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità

CONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità CONGRUENZE I) Definizione: due numeri naturali a e b si dicono congrui modulo un numero naturale p se hanno lo stesso resto nella divisione intera per p. Si scrive a b mod p oppure a b (p) proprietà delle

Dettagli

Moltiplicazione. Divisione. Multipli e divisori

Moltiplicazione. Divisione. Multipli e divisori Addizione Sottrazione Potenze Moltiplicazione Divisione Multipli e divisori LE QUATTRO OPERAZIONI Una operazione aritmetica è quel procedimento che fa corrispondere ad una coppia ordinata di numeri (termini

Dettagli

TEORIA DEI NUMERI. Progetto Giochi matematici. Mail:

TEORIA DEI NUMERI. Progetto Giochi matematici. Mail: TEORIA DEI NUMERI Progetto Giochi matematici Referente: prof. Antonio Fanelli Mail: fanelli.xy@gmail.com TEORIA DEI NUMERI Parte della Matematica che studia i numeri naturali ed interi e le relative proprietà.

Dettagli

Problemi e algoritmi. Il che cosa ed il come. Il che cosa ed il come. Il che cosa e il come

Problemi e algoritmi. Il che cosa ed il come. Il che cosa ed il come. Il che cosa e il come Problemi e algoritmi Il che cosa e il come Problema: descrive che cosa si deve calcolare Specifica (di un algoritmo): descrive che cosa calcola un algoritmo Algoritmo: descrive come effettuare un calcolo

Dettagli

Aritmetica modulare, numeri primi e crittografia

Aritmetica modulare, numeri primi e crittografia Università di Pavia 14 Giugno 2016 Numeri primi Definizione Un intero n > 1 è un numero primo se non esistono due interi a, b > 1 tali che n = ab. Sono dunque numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

Dettagli

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente

Dettagli

Temi di Aritmetica Modulare

Temi di Aritmetica Modulare Temi di Aritmetica Modulare Incontri Olimpici 013 SALVATORE DAMANTINO I.S.I.S. MALIGNANI 000 - CERVIGNANO DEL FRIULI (UD) 15 Ottobre 013 1 Relazione di congruenza modulo un intero Definizione 1.1. Sia

Dettagli

Tutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.

Tutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato. LICEO B. RUSSELL A.S. 2010/2011 DALLA TEORIA DEI NUMERI ALLE CONGRUENZE Tutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.

Dettagli

Fattorizzazione di interi e crittografia

Fattorizzazione di interi e crittografia Fattorizzazione di interi e crittografia Anna Barbieri Università degli Studi di Udine Corso di Laurea in Matematica (Fattorizzazione e crittografia) 14 Maggio 2012 1 / 46 Il teorema fondamentale dell

Dettagli

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Stage di preparazione olimpica - Lucca

Stage di preparazione olimpica - Lucca Stage di preparazione olimpica - Lucca Esercizi di Aritmetica - docente Luca Ghidelli - luca.ghidelli@sns.it 18 gennaio 2013 1 Diofantea risolubile Trovare tutti gli interi (relativi) x e y tali che xy

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Principio di induzione matematica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Principio di induzione matematica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Principio di induzione matematica Il Principio di induzione matematica è una tecnica di dimostrazione che permette la dimostrazione simultanea di infinite affermazioni.

Dettagli

Parte Seconda. Prova di selezione culturale

Parte Seconda. Prova di selezione culturale Parte Seconda Prova di selezione culturale TEORIA DEGLI INSIEMI MATEMATICA ARITMETICA Insieme = gruppo di elementi di cui si può stabilire inequivocabilmente almeno una caratteristica in comune. Esempi:

Dettagli

ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI

ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI ALGEBRA I: ASSIOMI DI PEANO E PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI 1. GLI ASSIOMI DI PEANO Come puro esercizio di stile voglio offrire una derivazione delle proprietà elementari dei numeri naturali e delle operazioni

Dettagli

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,

Dettagli

z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10

z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10 Esercizio 1. Sia z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10 un numero intero (la notazione significa che le cifre con cui rappresento z in base 10 sono a 4,..., a 0 {0, 1,..., 9}, ecioè z = a 4 10 4 + a 3 10 3 + a 2

Dettagli

Un tipico esempio è la definizione del fattoriale n! di un numero n, la cui definizione è la seguente:

Un tipico esempio è la definizione del fattoriale n! di un numero n, la cui definizione è la seguente: Pag 29 4) La ricorsione 4.1 Funzioni matematiche ricorsive Partiamo da un concetto ben noto, quello delle funzioni matematiche ricorsive. Una funzione matematica è detta ricorsiva quando la sua definizione

Dettagli

PON Liceo Scientifico Leonardo da Vinci Vallo della Lucania Nuovi percorsi matematici: Osservare, descrivere, costruire.

PON Liceo Scientifico Leonardo da Vinci Vallo della Lucania Nuovi percorsi matematici: Osservare, descrivere, costruire. PON 2007 2013 Liceo Scientifico Leonardo da Vinci Vallo della Lucania Nuovi percorsi matematici: Osservare, descrivere, costruire. Derive - 2 ESPRESSIONI E POLINOMI Vallo della Lucania 26 settembre 2008

Dettagli

NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se

NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se ( a, b Z) (p ab = (p a p b). Teorema 1. Sia p Z, p ±1. Allora p è primo se e solo se ( a, b Z)

Dettagli

MAPPA MULTIPLI E DIVISORI

MAPPA MULTIPLI E DIVISORI MAPPA MULTIPLI E DIVISORI 1 MULTIPLI E DIVISORI divisibilità definizione di multiplo criteri di divisibilità definizione di divisore numeri primi e numeri composti scomposizione in fattori primi calcolo

Dettagli

Esercizi sugli Algoritmi numerici

Esercizi sugli Algoritmi numerici Università di Udine, Facoltà di Scienze della Formazione Corso di Informatica Applicata alla Didattica (Giorgio T. Bagni) Esercizi sugli Algoritmi numerici 1. Esercizio risolto. Descrivere, attraverso

Dettagli

Dal messaggio a sequenze di numeri

Dal messaggio a sequenze di numeri Dal messaggio a sequenze di numeri Le classi resto modulo n := Z n Due numeri interi a, b, si dicono congrui modulo n (con n intero >1) se divisi per n hanno lo stesso resto: a=bmodn a= kn+b a-b = kn con

Dettagli

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo

Dettagli

Richiami di aritmetica (1)

Richiami di aritmetica (1) Richiami di aritmetica (1) Operazioni fondamentali e loro proprietà Elevamento a potenza e proprietà potenze Espressioni aritmetiche Scomposizione: M.C.D. e m.c.m Materia: Matematica Autore: Mario De Leo

Dettagli

Massimo comun divisore

Massimo comun divisore Massimo comun divisore Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica, il massimo comun divisore (M.C.D.) di due numeri interi, che non siano entrambi uguali a zero, è il numero naturale più grande

Dettagli

Teoria dei Numeri. Lezione del 31/01/2011. Stage di Massa Progetto Olimpiadi

Teoria dei Numeri. Lezione del 31/01/2011. Stage di Massa Progetto Olimpiadi Teoria dei Numeri Lezione del 31/01/2011 Stage di Massa Progetto Olimpiadi Criteri di Divisibilità 2: ultima cifra pari 3: somma (o somma della somma) delle cifre divisibile per 3 4: ultime due cifre divisibili

Dettagli

RISOLUZIONE IN LOGICA PROPOSIZIONALE. Giovanna D Agostino Dipartimento di Matemaica e Informatica, Università di Udine

RISOLUZIONE IN LOGICA PROPOSIZIONALE. Giovanna D Agostino Dipartimento di Matemaica e Informatica, Università di Udine RISOLUZIONE IN LOGICA PROPOSIZIONALE Giovanna D Agostino Dipartimento di Matemaica e Informatica, Università di Udine 1. Risoluzione Definitione 1.1. Un letterale l è una variabile proposizionale (letterale

Dettagli

Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli

Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Strutture algebriche: anelli Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica Discreta 1 / 29 index

Dettagli

Liceo scientifico Pascal Manerbio Esercizi di matematica per le vacanze estive

Liceo scientifico Pascal Manerbio Esercizi di matematica per le vacanze estive Di alcuni esercizi non verranno riportati i risultati perché renderebbero inutile lo svolgimento degli stessi. Gli esercizi seguenti risulteranno utili se i calcoli saranno eseguiti mentalmente applicando

Dettagli

1.5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI

1.5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale.5 Divisione tra due polinomi..5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI Introduzione Ricordiamo la divisione tra due numeri, per esempio 47:4. Si tratta di trovare

Dettagli

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite Lezioni del 22 e 24 settembre. Numeri razionali. 1. Operazioni, ordinamento. Indichiamo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, e razionali: N = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...}

Dettagli

Numeri di Fibonacci, Autovalori ed Autovettori.

Numeri di Fibonacci, Autovalori ed Autovettori. Numeri di Fibonacci, Autovalori ed Autovettori. I numeri sulla Mole Antonelliana. Ecco i numeri sulla Mole:,,, 3,, 8, 3,, 34,, 89, 44, 33, 377, 6, 987, dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due

Dettagli

Ancora sui criteri di divisibilità di Marco Bono

Ancora sui criteri di divisibilità di Marco Bono Ancora sui criteri di divisibilità di Talvolta può essere utile conoscere i divisori di un numero senza effettuare le divisioni, anche se la diffusione delle calcolatrici elettroniche, sotto varie forme,

Dettagli

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h. LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente

Dettagli

1 Multipli di un numero

1 Multipli di un numero Multipli di un numero DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. I multipli del numero 4 costituiscono

Dettagli

DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA. (41 ore complessive di lezione)

DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA. (41 ore complessive di lezione) DIARIO DEL CORSO DI TEORIA DEI NUMERI E CRITTOGRAFIA DOCENTE: SANDRO MATTAREI (41 ore complessive di lezione) Prima settimana. Lezione di martedí 22 febbraio 2011 (due ore) Rappresentazione di numeri interi

Dettagli

La fattorizzazione e la phi di Eulero

La fattorizzazione e la phi di Eulero La fattorizzazione e la phi di Eulero Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.it Supponiamo di voler trovare i fattori p, q del numero intero n (anche molto grande). Dalla Teoria dei numeri sappiamo

Dettagli

Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi.

Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. 1 I polinomi 1.1 Terminologia sui polinomi Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi nel polinomio. Il termine

Dettagli

Polinomi. Corso di accompagnamento in matematica. Lezione 1

Polinomi. Corso di accompagnamento in matematica. Lezione 1 Polinomi Corso di accompagnamento in matematica Lezione 1 Sommario 1 Insiemi numerici 2 Definizione di polinomio 3 Operazioni tra polinomi 4 Fattorizzazione Corso di accompagnamento Polinomi Lezione 1

Dettagli

LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g

LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere

Dettagli

TEORIA DEI NUMERI. 1. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione

TEORIA DEI NUMERI. 1. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione TEORIA DEI NUMERI. Numeri naturali, interi relativi e principi d induzione Le proprietà dell insieme N = {0,, 2, } dei numeri naturali possono essere dedotte dai seguenti assiomi di Peano:. C è un applicazione

Dettagli

INSIEME N. L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi.

INSIEME N. L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi. INSIEME N L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi. N = {0;1;2;3... Su tale insieme sono definite le 4 operazioni di base: l'addizione (o somma), la sottrazione, la moltiplicazione

Dettagli

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 Esercizio 1. Usando l algoritmo euclideo delle divisioni successive, calcolare massimo comune divisore e identità di Bézout per le seguenti coppie

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE.

IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE. IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE. PH. ELLIA Indice Introduzione 1 1. Divisori di un numero. 1 2. Il Teorema Fondamentale dell Aritmetica. 2 3. L insieme dei numeri primi è

Dettagli

Calcolatori: Sistemi di Numerazione

Calcolatori: Sistemi di Numerazione Calcolatori: Sistemi di Numerazione Sistemi di Numerazione: introduzione In un Calcolatore, i Dati e le Istruzioni di un Programma sono codificate in forma inaria, ossia in una sequenza finita di e. Un

Dettagli

Monomi L insieme dei monomi

Monomi L insieme dei monomi Monomi 10 10.1 L insieme dei monomi Definizione 10.1. Un espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio. Esempio 10.1. L espressione nelle due variabili

Dettagli

Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica)

Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Docente: Alessandro Berarducci Anno accademico 2016-2017, versione 14 Marzo 2017 Tipiche domande d esame La seguente lista di domande non intende

Dettagli

Congruenze. Alberto Abbondandolo Forte dei Marmi, 17 Novembre 2006

Congruenze. Alberto Abbondandolo Forte dei Marmi, 17 Novembre 2006 Congruenze Alberto Abbondandolo Forte dei Marmi, 17 Novembre 2006 1 Il resto nella divisione tra interi Consideriamo i numeri naturali 0, 1, 2, 3,... ed effettuiamone la divisione per 3, indicando il resto:

Dettagli

Laboratorio di Python

Laboratorio di Python Problem solving, Ricorsione, Università di Bologna 13 e 15 marzo 2013 Sommario 1 2 3 4 Errore di semantica Esercizio def vocali(s): voc='' for c in s: if c in 'aeiou': voc=voc+c return voc Cerchiamo di

Dettagli

INFORMATICA GENERALE Prof. Alberto Postiglione Dipartimento Scienze della Comunicazione Università degli Studi di Salerno

INFORMATICA GENERALE Prof. Alberto Postiglione Dipartimento Scienze della Comunicazione Università degli Studi di Salerno INFORMATICA GENERALE Prof. Alberto Postiglione Dipartimento Scienze della Comunicazione Università degli Studi di Salerno : Gli Algoritmi INFORMATICA GENERALE Prof. Alberto Postiglione Dipartimento Scienze

Dettagli

Introduzione agli Algoritmi 4. Problemi. Dal Problema alla Soluzione

Introduzione agli Algoritmi 4. Problemi. Dal Problema alla Soluzione Sommario Problemi e soluzioni Definizione informale di algoritmo e esempi Proprietà degli algoritmi Input/Output, Variabili Algoritmi senza input o output 1 2 Problema Definizione (dal De Mauro Paravia):

Dettagli

L'algoritmo di Euclide

L'algoritmo di Euclide L'algoritmo di Euclide The Euclidean algorithm for finding the greatest common divisor of two integers La divisione di un numero intero a per un altro intero b può essere prolungata finché il resto è più

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

Congruenze. Classi resto

Congruenze. Classi resto Congruenze. Classi resto Congruenze modulo un intero DEFINIZIONE Siano a e b due numeri interi relativi; fissato un intero m si dice che a è congruo a b modulo m se la differenza a b è multipla di m, e

Dettagli

CONGRUENZE. 2 La formula risulta vera anche per n+1. Per induzione è allora vera per ogni n.

CONGRUENZE. 2 La formula risulta vera anche per n+1. Per induzione è allora vera per ogni n. CONGRUENZE 1. Cosa afferma il principio di induzione? Sia P(n) una proposizione definita per ogni n n 0 (n 0 =naturale) e siano dimostrate le seguenti proposizioni: a) P(n 0 ) è vera b) Se P(n) è vera

Dettagli

Analogico vs. Digitale. LEZIONE II La codifica binaria. Analogico vs digitale. Analogico. Digitale

Analogico vs. Digitale. LEZIONE II La codifica binaria. Analogico vs digitale. Analogico. Digitale Analogico vs. Digitale LEZIONE II La codifica binaria Analogico Segnale che può assumere infiniti valori con continuità Digitale Segnale che può assumere solo valori discreti Analogico vs digitale Il computer

Dettagli

Complementi ed Esercizi di Informatica Teorica II

Complementi ed Esercizi di Informatica Teorica II Complementi ed Esercizi di Informatica Teorica II Vincenzo Bonifaci 21 maggio 2008 4 Problemi di ottimizzazione: il Bin Packing Il problema bin packing è il seguente: dato un insieme di n oggetti di dimensioni

Dettagli

La scomposizione in fattori primi

La scomposizione in fattori primi La scomposizione in fattori primi In matematica la fattorizzazione è la riduzione in fattori: fattorizzare un numero n significa trovare un insieme di numeri {a0, a1, a2, a3 } tali che il loro prodotto

Dettagli

Insiemistica. Capitolo 1. Prerequisiti. Obiettivi. Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi

Insiemistica. Capitolo 1. Prerequisiti. Obiettivi. Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi Capitolo 1 Insiemistica Prerequisiti Gli insiemi numerici di base Divisibilità e fattorizzazione nei numeri interi Obiettivi Sapere utilizzare opportunamente le diverse rappresentazioni insiemistiche Sapere

Dettagli

1 Multipli e sottomultipli. Divisibilità

1 Multipli e sottomultipli. Divisibilità Multipli e sottomultipli. Divisibilità LA TEORIA Se la divisione fra due numeri naturali è propria (cioè il resto è uguale a 0) i due numeri si dicono divisibili. Per esempio, nella divisione 8 : diciamo

Dettagli

LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA

LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π 2 3 11

Dettagli

Esercizi riguardanti limiti di successioni e di funzioni

Esercizi riguardanti limiti di successioni e di funzioni Esercizi riguardanti iti di successioni e di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Novembre 20. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori,

Dettagli

A lezione sono stati presentati i seguenti passi per risolvere un problema:

A lezione sono stati presentati i seguenti passi per risolvere un problema: Calcolo delle radici di un polinomio Problema: Dati i coefficienti a,b,c di un polinomio di 2 grado della forma: ax^2 + bx + c = 0, calcolare le radici. A lezione sono stati presentati i seguenti passi

Dettagli

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo.

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo. Capitolo 3 Il campo Z n 31 Introduzione Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo 32 Le classi resto Definizione

Dettagli

E necessaria la chiave segreta? RSA. Funzioni One-way con Trapdoor. Un secondo protocollo

E necessaria la chiave segreta? RSA. Funzioni One-way con Trapdoor. Un secondo protocollo E necessaria la chiave segreta? RSA Rivest, Shamir, Adelman A manda a B lo scrigno chiuso con il suo lucchetto. B chiude lo scrigno con un secondo lucchetto e lo rimanda ad A A toglie il suo lucchetto

Dettagli

Scritto da Maria Rispoli Sabato 08 Gennaio :44 - Ultimo aggiornamento Domenica 13 Marzo :24

Scritto da Maria Rispoli Sabato 08 Gennaio :44 - Ultimo aggiornamento Domenica 13 Marzo :24 I numeri di Fibonacci sono una sequenza matematica, i cui elementi e i cui rapporti si riscontrano in una straordinaria varietà di fenomeni naturali e artistici. Alla sequenza: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

Dettagli

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA, INFORMAZIONE E BIOINGEGNERIA. INFORMATICA B Ingegneria Elettrica. La ricorsione

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA, INFORMAZIONE E BIOINGEGNERIA. INFORMATICA B Ingegneria Elettrica. La ricorsione INFORMATICA B Ingegneria Elettrica La ricorsione Ricorsione Che cos è la ricorsione? Un sottoprogramma P richiama se stesso (ricorsione diretta) Un sottoprogramma P richiama un altro sottoprogramma Q che

Dettagli

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali

Gli insiemi N, Z e Q. I numeri naturali Università Roma Tre L. Chierchia 1 Gli insiemi N, Z e Q Il sistema dei numeri reali (R, +,, ) può essere definito tramite sedici assiomi: quindici assiomi algebrici (si veda ad esempio 2.3 in [Giusti,

Dettagli

nota 1. Aritmetica sui numeri interi.

nota 1. Aritmetica sui numeri interi. nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri

Dettagli

INFORMATICA GENERALE Prof. Alberto Postiglione. Università degli Studi di Salerno. UD 3.1a: Gli Algoritmi

INFORMATICA GENERALE Prof. Alberto Postiglione. Università degli Studi di Salerno. UD 3.1a: Gli Algoritmi INFORMATICA GENERALE Prof. Alberto Postiglione Scienze della Comunicazione Università degli Studi di Salerno : Gli Algoritmi INFORMATICA GENERALE Prof. Alberto Postiglione Scienze della Comunicazione Università

Dettagli

Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1

Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Esercizio 1.12 Per dimostrare che per ogni funzione esiste una formula in cui compaiono le variabili tale che la corrispondente

Dettagli

Risposte non motivate non verranno giudicate

Risposte non motivate non verranno giudicate Istituzioni di Matematiche 12/01/2016 Ver.1 SECONDO PARZIALE Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4 1. 2. 3.

Dettagli

Esercizi sul Principio d Induzione

Esercizi sul Principio d Induzione AM110 - ESERCITAZIONI I - II - 4 OTTOBRE 01 Esercizi sul Principio d Induzione Esercizio svolto 1. Dimostrare che per ogni n 1, il numero α(n) := n 3 + 5n è divisibile per 6. Soluzione. Dimostriamolo usando

Dettagli