( x) Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( x) l insieme dei valori

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1 Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( ) l insieme dei valori che la variabile può assumere affinché la funzione f ( ) abbia significato. Vediamo di individuare alcune categorie di funzioni per le quali sia possibile stabilire dei criteri di analisi per individuare il campo di esistenza Le funzioni che richiedono delle restrizione sui valori che l incognita può assumere sono: 1) funzioni razionali; ) funzioni irrazionali; 3) funzioni logaritmiche. Vediamo ora come a seconda dei casi si debbano porre delle condizioni per escludere eventuali valori per la che priverebbero di significato le funzioni assegnate. Caso 1: funzioni razionali Definizione: una funzione razionale è una funzione del tipo polinomi. f g ( ) ( ), dove ( ) f e ( ) g sono dei Il problema Il fatto che il denominatore sia un polinomio può implicare che esso potrebbe annullarsi per particolari valori della. Questo costituisce un problema, in quanto non è possibile eseguire la divisione se il divisore è zero. La soluzione Per eliminare il problema descritto per il denominatore, allora, sarà sufficiente porre la condizione: ( ) 0 g (denominatore diverso da zero) In modo tale da escludere tutti quei valori che annullano il polinomio g ( ). Esempio 4 3 Data la funzione y =, calcolarne il dominio Poiché si tratta di una funzione razionale, si deve porre:

2 cioè è sufficiente calcolare le soluzioni dell equazione, questi saranno i valori da escludere. 1, 6 ± = = = = = = = ± 196 = ± 14 = Per cui i valori da escludere dal dominio della funzione sono proprio e, in simboli: R \ ; 4 Caso : funzioni irrazionali Definizione: una funzione si definisce irrazionale quando compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Il problema per radicali con indice della radice pari Il fatto che la funzione contenga uno o più radicali potrebbe costituire un problema in quanto qualche argomento potrebbe assumere valore negativo per alcuni valori della. Questo costituisce un problema, in quanto non è possibile eseguire la radice di una quantità negativa. La soluzione Per eliminare il problema descritto per tali argomenti, allora, sarà sufficiente porre la condizione che ogni singolo argomento sia maggiore o uguale a zero, mettendo a sistema le condizioni così ottenute. Le soluzioni del sistema costituiranno il dominio della funzione assegnata, in quanto per i valori così determinati ogni argomento assumerà valore positivo. Esempio i) y = 4 Allora deve essere 4

3 4 che è il dominio cercato Osservazione: nel caso di un singolo radicale si deve risolvere un unica disequazione e non un sistema di disequazioni. ii) y = Pertanto le soluzioni sono 6. iii) y = In questo caso basta porre Allora N D > > 3 >

4 3 9 Pertanto le soluzioni sono: <. 8 4 Osservazione: è importante riconoscere che in quest ultimo caso poniamo l argomento senza fare distinzioni tra numeratore e denominatore. In realtà la quantità che si trova a denominatore andrebbe posta 0 poiché nello studio di una disequazione razionale il denominatore viene sempre posto >0, questa condizione contiene automaticamente anche il fatto che proprio il denominatore sia 0 Osservazione: nel caso di radici con indice dispari, il problema è di diversa soluzione, in quanto è Esempio i) y = 3 3 possibile calcolare tale radice sia per una quantità positiva, sia per una quantità negativa. C è da tenere presente un accorgimento però, ciò non toglie che si debba prestare attenzione, infatti: È una funzione che non ha problemi di dominio, invece ii) y = Tale funzione non ha problemi legati al segno dell argomento, in quanto si può fare la radice cubica indifferentemente sia di un numero positivo che negativo, ma non è possibile che il denominatore valga zero, cioè vale quanto osservato in precedenza non si può dividere per una quantità nulla, allora il dominio è dato dalla condizione: Il dominio della funzione è R \ { 5} Cioè, concludendo l osservazione, nel caso di radici con indice dispari, si deve comunque tener presente delle eventuali condizioni da porre per l esistenza del denominatore. Caso 3: funzioni logaritmiche Il logaritmo è una funzione il cui argomento può assumere soltanto valori positivi, per cui si può affermare che data una funzione del tipo y = log ( f ( ) ) Il dominio è dato da quei valori dell incognita per cui vale f ( ) > 0

5 Esempio i) y = log( 4 ) Allora il dominio è dato da: 4 > 0 > 4 < 4 < ± Dominio: < < 5 ii) y = log 16 La condizione per il campo di esistenza è 5 16 > 0 Esempi generali = i) y log ( 4) In questo caso si devono considerare le condizioni per l esistenza della radice e del logaritmo, che dovranno essere soddisfatte entrambe contemporaneamente, cioè: + 4 > 0 9 Il fatto di averle messe a sistema garantisce che i valori che ottengo soddisfano entrambe le disequazioni. 4 3 ii) y = + log( 6) Anche in questo caso le condizioni per il campo di esistenza sono due:

6 0 6 > 0 Osservazione 1) il denominatore di una funzione richiede soltanto di escludere la possibilità che esso si annulli. ) il numeratore può assumere qualunque valore, e quindi non ha bisogno di alcuna condizione a meno della presenza di funzioni che richiedano delle restrizioni Riguardo l osservazione ) il numeratore non ha bisogno di condizioni nell esempio precedente, nel caso in cui a numeratore ci sia una radice o un logaritmo, si procede con le condizioni solite. iii) 7 y = Osservazione: in quest ultimo esempio si deve stare attenti a non commettere l errore di porre per inerzia anche per il denominatore la condizione + 5 > 0, in quanto esso non è argomento di un radicale, pertanto va posto soltanto diverso da zero, cioè + 5 > 0. iv) y = ln Le condizioni da porre sono due, infatti la funzione è razionale: il denominatore deve essere posto diverso da zero; contiene un logaritmo: l argomento deve essere maggiore di zero. Quindi ln 0 ln ln ln e

7 v) ln ln e e y = 5 Le condizioni da porre sono due, infatti la funzione è razionale: il denominatore deve essere posto diverso da zero; contiene una radice quadrata: l argomento deve essere maggiore/uguale di zero. Quindi A questo punto si deve verificare che il valore 9 sia effettivamente un valore che annulla il denominatore e che quindi debba essere scartato. Verifichiamolo sostituendo = 9 nel denominatore 5 : 9 5 = 4 = = 0 Il valore 9 pertanto deve essere escluso dal dominio della funzione. vi) ln y = log ( + 1) 9 Le condizioni da porre sono tre, infatti la funzione è razionale: il denominatore deve essere posto diverso da zero; contiene una radice quadrata: l argomento deve essere maggiore/uguale di zero; contiene un logaritmo: l argomento deve essere maggiore di zero. Quindi le condizioni da porre sono:

8 log + 1 > 0 9 0