3. (Da Medicina 2006) Quale delle seguenti equazioni rappresenta una funzione y = f(x) tale che f(2) = -1 e f(-1) = 5?

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1 QUESITI 1

2 FUNZIONI 1. (Da Medicina e Odontoiatria 201) Data la funzione f ( x ) = x 6, quale delle seguenti risposte rappresenta la sua funzione inversa? 1 x a) f ( x ) = x b) f ( x ) = 2 1 x c) f ( x ) = x d) f ( x ) = 6 1 x e) f ( x ) = 2 2. (Da Medicina 2009) Sia f(x) = 5 x. Allora f(x+1) - f(x) è uguale a: a) 1 b) 5 c) 5 x d) 4 5 x e) 5 5 x. (Da Medicina 2006) Quale delle seguenti equazioni rappresenta una funzione y = f(x) tale che f(2) = -1 e f(-1) = 5? a) y = x 2 - x + 1 b) y = - 2x 2 + x + 8 c) y = - x 2 + 2x - 1 d) y = 2x 2 - x - 7 e) y = x 2-2x 4. (Da Veterinaria 2005) Una fabbrica di bulloni sostiene una spesa fissa mensile media di (il mese commerciale è inteso di 0 giorni) e un costo di produzione di,15 per ogni bullone prodotto. Indicata con y la spesa giornaliera complessiva e con x il numero di bulloni prodotti in un giorno, individuare la relazione tra le variabili x e y. 2

3 a) b) c) d) e) 5. (Da Medicina 2004) Data la funzione, f(2x) vale: a) b) c) d) e) 6. (Da Veterinaria 2004) La funzione inversa di a) b) c) d) e) è espressa dall equazione:

4 7. (Da Medicina 200) Il grafico rappresentato in figura corrisponde alla funzione: a) y = e x b) y = e x - 2 c) y = e x d) y = e x + 1 e) y = e x (Da Veterinaria 200) La funzione y = a -x con a > 0 : a) è sempre positiva b) può essere sia positiva che negativa c) è sempre negativa d) interseca l'asse delle ascisse e) non interseca l'asse delle ordinate 9. (Da Medicina 2002) Data una funzione y=f(x) è sempre vero che: a) la funzione reciproca ha lo stesso dominio della funzione f(x) b) la funzione inversa ha lo stesso dominio della funzione f(x) c) la funzione inversa è data da d) la funzione inversa è data da y = - f(x) e) la funzione reciproca è data da 4

5 10. (Da Odontoiatria 2002) Quale fra gli insiemi seguenti rappresenta il dominio della funzione? a) insieme dei numeri reali b) insieme dei numeri razionali c) (0, 1) (1, + ) d) (-, 0) e) insieme vuoto 11. (Da Veterinaria 2002) L'espressione matematica b = f(a) è la traduzione in simboli della frase: a) il valore di b è uguale a quello di a b) il valore di b è ottenuto moltiplicando f per a c) il valore di a è ottenuto moltiplicando b per l'inverso di f d) il valore di a è in funzione di quello di b e) il valore di b è in funzione di quello di a 5

6 SOLUZIONI 1. c) Per determinare l espressione analitica della funzione inversa di f(x) occorre isolare l incognita x, esprimendola in funzione dell incognita y: Infine si scambiano tra loro le due variabili, cioè x viene rinominata y e, viceversa, y viene rinominata x: 2. d) Se f(x) = 5 x, f(x+1) si ottiene dall espressione di f(x) sostituendo x con x+1, cioè: Allora l espressione cercata è: dove abbiamo applicato la proprietà delle potenze: e, successivamente, abbiamo raccolto il fattore 5 x comune a entrambi i termini della differenza.. a) Per ciascuna opzione calcoliamo f(2) sostituendo x = 2 e, allo stesso modo, f(-1) sostituendo x = -1. La funzione cercata sarà quella che soddisfa le due condizioni: 6

7 Per l opzione a) vale: La prima funzione proposta, allora, è quella richiesta. 4. c) Poiché y rappresenta la spesa giornaliera complessiva sostenuta dalla fabbrica di bulloni, essa sarà data dalla somma della spesa fissa giornaliera media e della spesa giornaliera di produzione. Se la spesa fissa mensile media vale , e il mese si intende composto da 0 giorni, la spesa fissa giornaliera media sarà pari a La spesa giornaliera di produzione sarà data dalla spesa di produzione di un singolo bullone moltiplicata per il numero di bulloni prodotti in un giorno, cioè: Allora, la spesa giornaliera complessiva è: 5. b) Come nell esercizio 2), se sostituendo x con 2x, cioè:, f(2x) si ottiene dall espressione di f(x) 7

8 6. c) Per determinare l espressione analitica della funzione inversa di f(x) isoliamo l incognita x, esprimendola in funzione di y: 7. d) Ricordiamo che il grafico della funzione y = e x è: (N.B.: il grafico di ogni esponenziale y = a x, con a > 0 e a 1, passa per il punto (0, 1) ). Osservando il grafico proposto nel quesito, si vede che risulta traslato verticalmente verso l alto di 1 rispetto al grafico di y = e x. Infatti, l esponenziale e x interseca l asse y nel punto (0, 1), mentre la funzione del grafico proposto interseca l asse y nel punto (0, 2). Deduciamo, allora, che la funzione rappresentata nel grafico del quesito corrisponde a: y = e x + 1 dove il termine noto + 1 rappresenta la traslazione verso l alto. 8

9 In alternativa, poiché il grafico proposto dal quesito passa per il punto (0, 2), possiamo sostituire nelle cinque possibili funzioni le coordinate del punto. La funzione cercata sarà quella che fornisce un uguaglianza verificata. 8. a) La funzione rappresenta una funzione esponenziale. Qualunque sia la base a (con a > 0) e qualunque sia il valore dell esponente, una funzione esponenziale è sempre positiva (il suo grafico giace sempre nel semipiano superiore del piano cartesiano). 9. e) La funzione reciproca rappresenta, per definizione, il reciproco della funzione f(x), quindi: La funzione inversa, invece, è data da: In generale, la funzione inversa e la funzione reciproca possono avere dominio diverso da quello della funzione di partenza. 9

10 10. e) Calcoliamo il dominio della funzione assegnata. (1) - Condizione di esistenza della frazione: Poiché è una funzione fratta, occorre richiedere che il denominatore sia diverso da zero: Ricordando che un logaritmo, qualunque sia la sua base, si annulla quando il suo argomento vale 1, la richiesta lnx 0 equivale a: (2) - Condizione di esistenza del logaritmo: Al denominatore compare un logaritmo. Affinché il logaritmo sia definito, il suo argomento deve essere maggiore di zero. Allora occorre richiedere che: () - Condizione di esistenza della radice: Al numeratore compare una radice quadrata. Essendo una radice di indice pari, occorre richiedere che il radicando sia maggiore o uguale a zero: dove, per comodità, abbiamo riscritto 1 come e 0. Da qui si ottiene: Per determinare il dominio della funzione complessiva, rappresentiamo le tre condizioni di esistenza trovate in un unico grafico: il domino finale della funzione sarà dato dagli intervalli di x in cui i grafici di ciascuna condizione di esistenza si sovrappongono. 10

11 Infatti, in questi intervalli risulterebbero soddisfatte contemporaneamente tutte le tre condizioni si esistenza (frazione, logaritmo e radice) e la funzione complessiva sarebbe ben definita. Si ottiene: 0 1 (Ricordiamo che il pallino pieno significa che bisogna considerare quel particolare valore numerico, il pallino vuoto che bisogna escluderlo). Osserviamo che non ci sono intervalli in cui le due linee si sovrappongono: questo significa che non ci sono valori di x che soddisfino contemporaneamente tutte le tre condizioni di esistenza necessarie affinché la funzione esista. Allora la funzione proposta non è mai definita, cioè il suo dominio è l insieme vuoto. N.B.: Anche se le due soluzioni si congiungono nel punto x = 0, osserviamo che per questo valore la radice risulta definita (pallino pieno viola) ma il logaritmo no (pallino vuoto verde). Allora anche x = 0 deve essere escluso dal dominio della funzione. 11. e) L espressione significa che il valore di b è dato da un espressione (che indichiamo genericamente col nome f ) contenente il parametro a. A seconda del valore di a, si ottengono valori diversi per b. Questo significa che il valore di b è funzione del valore di a. 11