I Compitino DI MATEMATICA Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università di Pisa 20 Novembre 2008

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1 1 I Compitino DI MATEMATICA Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università di Pisa 2 Novembre 28 Soluzioni Esercizio 1. (6 punti in totale) Il testo è molto lungo, e l esercizio ìn massima parte esercizio di traduzione del testo. Quindi procediamo prima a tradurre il testo, associando ad ogni soggetto o complemento oggetto un simbolo e poi traducendo i predicati verbali in relazioni matematiche (=, <, > eccetera). I simboli associati a soggetti e complementi oggetto: Deficit giornaliero: di base D G, nel caso di vita sedentaria D GS e nel caso di vita attiva D GA (tutto in KCal) Calorie assunte ogni giorno tramite cibo C G (KCal) Rapidità di metabolismo a riposo Q U per un uomo e Q D per una donna (sempre in KCal) Calorie bruciate nel caso di vita sedentaria Q US, Q UD e nel caso di vita attiva Q UA, Q UA (in KCal) Deficit necessario per perdere un chilo di peso D K (KCal) Anni di Francesco A, sua altezza H (cm), suo peso P (Kg) Numero di giorni che impiega Francesco a perdere i 3 Kg: n S nel caso di vita sedentaria e n A nel caso di vita attiva Le informazioni e i dati del problema: D G = C G K G (esempio, se C G = 2 KCal e K G = 22 KCal allora D G = 2 KCal definendolo con il segno meno per indicare che è un deficit ma è solo questione di convenzione) Q U = 1P H 5A + 5 Kcal Q D = 1P H 5A 161 Kcal Q US = 1.2Q U e Q UA = 1.7Q U, e qnche Q DS = 1.2Q D e Q DA = 1.7Q D D K = 77 KCal A = 2, H = 185 cm, P = 78 Kg a) Q U =? Q US =? Q UA =? Dunque Q U = 1P H 5A + 5 = KCal Q US = 1.2Q U = KCal b) Data la precisione di Q U è 5%: Q UA = 1.7Q U = Kcal Q U Q U =.5 si chiede la precisione su Q US e Q UA. Entrambi sono il prodotto di Q U, di cui conosciamo l errore relativo (5%) e di un fattore, 1.2 e 1.7, di cui conosciamo l errore assoluto (.1 in entrambi i casi). In un prodotto di grandezze note con una certa precisione, si sommano gli errori relativi. Dunque: e Q US Q US Q UA Q UA = Q U Q U 1.2 = Q U Q U 1.7

2 2 Le precisioni sono dunque rispettivamente il 13% e l 11%. c) D GS =? D GA =? Dunque si ha D GS = = 29.5 KCal D GA = = KCal? d) n S =? n A =? Per perdere 1 Kg serve un deficit D K, per perdere 3 Kg serve un deficit 3D K. Se ogni giorno ho un deficit D GS o D GA, il numero di giorni necessari è dato dal deficit per 3 Kg diviso per il deficit giornaliero, dunque n S = 3D K 3 77 = 11 gg D GS 29.5 d) Senza fare alcun calcolo, basta osservare che: n A = 3D K gg D GA Q D = Q U 166 Dunque Q D < Q U, la donna brucia meno ogni giorno e, a parità di tutto il resto, impiegherà di più a perdere peso. Esercizio 2. (15 punti in totale) Si tratta di una funzione composta dalla quadratica h(x) = 1 4x 2 e dal logaritmo g(y) = ln(y) con y 1 4x 2, dunque f(x) = g(h(x)). a.1) h(x) è ben definita x in R. Il logaritmo è definito solo per argomenti positivi. Dunque deve essere y = 1 4x 2 > La parabola è convessa (il coefficiente di x 2 è negativo), le sue radici si trovano risolvendo l equazione 1 4x 2 = ovvero x 1,2 = ± 1/4 = ±1/2. Dunque (si veda fig. 1), la funzione ha valori positivi per valori interni all intervallo delle radici: 1 2 < x < Il dominio è quindi: domf = ( 1 2, +1 2 ) NOTA: LA SCRITTURA DA MOLTI USATA x < ±1/2 NON HA SENSO!!!!! a.2) Si deve determinare per quali valori di x la funzione f(x) > e per quali f(x) <. Iniziamo da f(x) >). Deve essere: ln(1 4x 2 ) > ovvero ln(1 4x 2 ) > ln(1) visto che ln(1) =. Poiché la funzione logaritmo è strettamente monotona crescente, ln(a) > ln(b) implica a > b e dunque occorre risolvere in definitiva 1 4x 2 > 1 ovvero 4x 2 > che non ha soluzione per nessun valore di x in R. Perció, la funzione non è positiva per nessun valore in R. Dunque f(x) < x nel dominio. Infine, f(x) = per ln(1 4x 2 ) = = ln(1) ovvero 1 4x 2 = 1 e infine 4x 2 = cioè x =. a.3) L immagine della funzione è stata già determinata. Si è detto in a.2) che la funzione assume solo valori negativi e diventa per x =. Poiché il logaritmo è illimitato inferiormente (tende a per x + ), allora imf = R U{} a.4) Gli estremi del campo di esistenza sono ±1/2. Dunque devo calcolare: lim x 1/2 + ln(1 4x 2 ) e lim x 1/2 ln(1 4x 2 ).

3 *x** FIG. 1: Grafico di h(x) = 1 4x 2 Noto che la funzione è pari, infatti: f( x) = ln(1 4( x) 2 ) = ln(1 4x 2 ) = f(x) e dunque mi basta calcolare un solo limite, diciamo per x 1/2. Si ha: lim (1 4x 2 ) = + x +1/2 Posto y 1 4x 2, quando x +1/2 si ha y = 1 4x 2 +. D altra parte si sa che e dunque in definitiva Stessa cosa per a.5) lim y + ln(y) = lim ln(y) = lim (1 4x 2 ) = y + x +1/2 lim x 1/2 +(1 4x2 ) = f(x) è composta da h(x) = 1 4x 2 che è strettamente monotona crescente in ( 1/2, ) e strettamente monotona decrescente in (, +1/2) e dalla funzione g(y) = ln(y) che è strettamente monotona crescente in tutto il dominio. Considero dunque separatamente i due intervalli, ( 1/2, ) e (, +1/2). Nel primo ho la composizione di una funzione strettamente monotona crescente con una funzione che è strettamente monotona crescente e dunque f(x) sarà strettamente monotona crescente. Nel secondo intervallo (, +1/2) ho la composizione di una funzione strettamente monotona decrescente con una funzione che è strettamente monotona crescente e dunque f(x) sarà strettamente monotona decrescente. a.6) La funzione è strettamente monotona crescente tra /2 e e strettamente monotona decrescente tre e +1/2. Dunque in x = la funzione ha un massimo assoluto. Abbiamo già calcolato che f(x = ) =. a.7) Il grafico che si ottiene dall analisi fatta sin qui è riportato in Fig. 2. b.1) Il grafico di f(x) si ottiene da quello di f(x) ribaltando il grafico f(x) rispetto all asse x, come in fig. 3. b.2) Il grafico di f(x 3) si ottiene da quello di f(x) traslando rigidamente il grafico f(x) di 3 unità nel verso positivo delle x, come in fig. 4. NOTA: CHI HA TRASLATO RIGIDAMENTE f(x) NEL VERSO NEGATIVO DELLE y HA DISEGNATO f(x) 3!!!! Esercizio 3. (1 punti in totale) a) E una disequazione di secondo grado. Occorre innanzitutto risolvere l equazione di secondo grado associata 2x 2 3x + 5 =

4 4.5 log(1-4*x**2) FIG. 2: Grafico di f(x) 4 f(x) -f(x) FIG. 3: Grafico di f(x) (curva tratteggiata) e, per confronto, f(x) (curva continua). che non ha soluzioni in R perché = ( 3) = 9 = 31 <. Poiché il coefficiente di x 2 è positivo (a = 2), si tratta di una parabola concava nel semipiano delle y > che non interseca mai l asse delle x. Dunque i valori assunti dalla parabola sono sempre positivi e dunque la disequazione è soddisfatta x in R. b) E un equazione irrazionale. Conviene isolare la radice quadrata ad un membro dell equazione. Si ha 5x2 x 2 = 5x 6 Per risolverla, devo innanzitutto imporre che sia 5x 2 x 2. Poiché il coefficiente di x 2, 5, è positivo, la disequazione è vera per x xx 1 e x xx 2 con xx 1 e xx 2 le radici (xx 1 < xx 2 ). Si ha xx 1 = (1 1 + )/1.54 e xx 2 = ( )/1.74. Inoltre, poiché la radice quadrata assume solo valori, devo imporre che sia 5x2 x 2 = 5x 6 ovvero x 6/5. Quindi, risolvo l equazione elevando al quadrato entrambi i membri ( 5x 2 x 2) 2 = (5x 6) 2 Svolgendo i calcoli, si arriva ad una equazione di secondo grado 2x 2 59x + 38 =

5 5.5 log(1-4*x**2) log(1-4*(x)**2) FIG. 4: Grafico di f(x 3) (curva tratteggiata) e, per confronto, f(x) (curva continua). che ha soluzioni x 1 = = = 19 2 x 2 = = Delle due soluzioni, entrambe sono nel dominio x <.54 e x >.74, ma la prima x 1 = 19/2 < 1 non soddisfa la condizione x 6/5 > 1. Ce ne saremmo potuti accorgere se avessimo sostituito le due soluzioni x 1 e x 2 nell equazione di partenza data. Solo x 2 soddisfa l equazione, mentre x 1 no. c) Si tratta di una disequazione irrazionale del tipo A(x) > B(x). Dobbiamo dunque risolvere il sistema: Che significa x 2 > x 2 x 6 = 2 (x 2) 2 > ( x 2 x 6) 2 x > 2 x 2, x 3 3x < 1 dove l ultima relazione si ottiene sviluppando i calcoli (il termine di secondo grado sparisce). In definitiva, la soluzione è dunque d) Si tratta di una equazione razionale fratta. Si ha 3 x < 1 3 x 2 + x x 5 x 2 = x 2x + 2(2 + x) 2 5 2x(2 + x) 2(2 + x)x =

6 Posto x e x 2 che annullano il denominatore, proseguendo i calcoli si ottiene un equazione di secondo grado al numeratore: x 2 + 2x 8 = che ha soluzioni x 1 = 2 e x 2 = 4. Si verifica che sia così sostituendo x 1 prima e x 2 dopo nell equazione di partenza data, osservando che entrambe soddisfano l equazione. 6