MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1

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1 MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1 1- Il volume di un corpo di qualsiasi forma è proporzionale al cubo di una qualunque delle sue dimensioni lineari. Supponiamo che una di queste dimensioni lineari abbia valore stimato 80 cm ed errore assoluto ± 2 cm. Calcola valore stimato, errore assoluto ed errore relativo ( a meno della costante di proporzionalità) del volume del corpo GUIDA ALL ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..come si definisce e come si calcola il valore stimato di una grandezza? Come si definisce e come si calcola l errore assoluto? Come si definisce e come si calcola l errore relativo? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 09 e 12/10/09) e l Esercitazione del 13/10/09). Dopo avere rivisto le lezioni e l esercitazione, prova di nuovo a svolgere! SOLUZIONE: l errore relativo della dimensione l assegnata è dato da 2/80 = 1/40 < 0.1, quindi possiamo approssimare il valore stimato di l 3 con 80 3 cm 3 ; l errore relativo di l 3 è ottenuto sommando per tre volte l errore relativo di l, dunque è 3/40 = 0.075; l errore assoluto di l 3 è ottenuto dal prodotto del suo valore stimato per il suo errore relativo dunque da 80 3 (0.075) = l 3 = ± cm 3 = 512 ± 38.4 dm 3 2- Indichiamo con P(A) la probabilità di un evento A, con P(B) la probabilità di un evento B, infine con P(A B) la probabilità della loro unione. Se P(A)=2/15, P(B)=1/5, P(A B)=4/15. Decidi quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false, GIUSTIFICANDO LE RISPOSTE: a) A, B sono incompatibili b) A, B sono indipendenti c) B è un sottoevento di A GUIDA ALL ESERCIZIO 2: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..conoscere le notazioni insiemistiche, in particolare le operazioni di unione e di intersezione tra due insiemi. Conoscere le regole di coerenza della probabilità (Quali sono?) Che cosa significa che due eventi sono incompatibili? Che cosa significa che due eventi sono indipendenti? Quando un evento è sottoevento di un altro? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 19 e 26/10/09 e la Lezione 03/11/09).

2 Dopo avere rivisto le lezioni prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: a) se A e B fossero incompatibili, si avrebbe A B = Ø, dunque, per la seconda regola di coerenza, si avrebbe P(A B)=P(A) + P(B), ma 4/15 2/15 + 1/5 = 5/15, quindi gli eventi non sono incompatibili e si ha P(A B) = 5/15 4/15 = 1/15; b) se A e B fossero indipendenti si avrebbe P(A B) = P(A) P(B), ma 1/15 (2/15) (1/5), dunque A e B non sono indipendenti; c) se B fosse un sottoevento di A si avrebbe A B = B e dunque P(A B) = P(B) ma 1/15 1/5, quindi B non è un sottoevento di A. 3- Un esperimento ti ha fornito 3 dati x 1, x 2, x 3, tutti compresi fra 11 e 13. La loro deviazione standard può essere uguale a 5? Se sì, fai un esempio, se no, spiega perchè. GUIDA ALL ESERCIZIO 3: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..come si definisce la media aritmetica? Come si definisce la varianza campionaria? Come si definisce la deviazione standard? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 30/11 e 01/12/09 e il file Esercizi da svolgere di statistica descrittiva). Dopo avere rivisto le lezioni e gli esercizi, prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: Poichè ogni dato è compreso tra 11 e 13 la loro media aritmetica x* è ancora compresa tra 11 e 13, infatti si ha x 1 + x 2 + x , e quindi 33/3=11 ( x 1 + x 2 + x 3 )/3=x* 39/3=13 Dunque per gli scarti dalla media dei dati si ha -2 ( x i -x*) 2 per i=1,2,3 dunque 0 ( x i -x*) 2 4 per i=1,2,3 e quindi anche la media aritmetica degli scarti al quadrato, cioè la varianza campionaria, è compresa tra 0 e 4; essendo la deviazione standard la radice quadrata della varianza essa è compresa tra 0 e 2 e quindi non può essere 5! 4- Determina l espressione esplicita di una funzione razionale che sia definita su tutta la retta reale e soddisfi ai seguenti requisiti: f(1) = 0, lim x - f(x)= lim x + f(x) = 0 GUIDA ALL ESERCIZIO 4: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..come si definisce una funzione razionale? Come si determina il suo insieme di definizione o dominio? Come si definisce e come si calcola il limite di una funzione, in particolare razionale, per x +? Come si definisce e come si calcola il limite per x -?

3 Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 11 e 14 e 18/12/09 e l Esercitazione 15/12/2009 e il file Esercizi vari su funzioni polinomiali e razionali. Dopo avere rivisto le lezioni e gli esercizi, prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: Si possono pensare molte funzioni che soddisfano ai requisiti richiesti. Fra i tanti esempi che si possono fornire: dovendo essere la funzione di tipo razionale e definita su tutto R, potremmo scegliere semplicemente una funzione polinomiale, ma essa non potrebbe soddisfare alla richiesta di limite nullo all infinito, quindi mettiamo al denominatore un polinomio che non abbia radici reali, ad esempio x 2 + x+1, al numeratore dobbiamo mettere un polinomio di grado inferiore a 2, dovendo essere zero i limiti all infinito, quindi stiamo definendo una funzione f(x)= (ax + b)/( x 2 + x+1), infine occorre che f(1)=0, dunque a+b=0, possiamo porre, ad esempio a=1 e quindi b=-1; f(x)=(x-1)/( x 2 + x+1) soddifa alle richieste dell esercizio. 5-Un test di screening per una certa malattia mostra un risultato positivo nel 90% dei casi in cui la malattia è effettivamente presente, e nel 5% dei casi in cui la malattia non è presente (falsi positivi). a) supponendo che l'incidenza della malattia nella popolazione sia 1/200, calcolare la probabilità che un individuo, scelto a caso nella popolazione, sia affetto da tale malattia se il test è risultato positivo; d) quale sarebbe l'incidenza della malattia se, avendo sottoposto al test un ampio numero di individui, il 20% dei risultati fosse positivo? GUIDA ALL ESERCIZIO 5: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..come si definisce e si calcola una probabilità condizionale? Che cosa significa e come si definisce la probabilità che il test risulti positivo sapendo che la persona non è malata(falsi positivi)? Che cosa significa e come si definisce la probabilità che il test risulti negativo sapendo che l individuo è malato (falsi negativi)? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 03 e 09/11/09 e le Esercitazioni 06 e 10/11/09). Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: Indichiamo con M la malattia, con T + e con T - gli eventi : il test è risultato positivo (rispettivamente negativo). E noto che P(T + M)= 0.9 inoltre P(T + M)= 0.05 a) assegnato P(M) = 1/200 = 0.005, è richiesta

4 P(M T + ) = P(M) P(T + M) / P(T + ) dobbiamo calcolare dunque P(T + ), si ha P(T + )= P(M) P(T + M) + P( M) P(T + M)=(1/200 )(0.9) + (199/200)(0.05) = , dunque P(M T + ) = P(M) P(T + M) / P(T + ) = (1/200 )(0.9)/ ; b) abbiamo P(T + )= P(M) P(T + M) + P( M) P(T + M) = 0.20, indichiamo con x= P(M), si ha P( M)=1 x, dunque 0.20 = 0.9x (1 x), da cui x=15/85 18% 6- E noto che una certa grandezza y dipende da x secondo la funzione razionale y(x) = (ax 2 +bx+c)/( dx 2 +ex+f), dove a, b, c, d, e, f sono opportune costanti. Sapendo che la funzione non è definita per x=-1 e per x=-2, inoltre la funzione vale 0 per x=1 e per x=2 ed, infine, y(0)=-1, determina le costanti a, b, c, d, e,f; Determina, inoltre, le funzioni il cui grafico è ottenuto : a) traslando il grafico di y(x) di 2 unità verso sinistra; b) moltiplicando le ascisse per 3 e poi traslando il grafico di 1 unità verso destra GUIDA ALL ESERCIZIO 6: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?. Hai chiaro l argomento equazioni di secondo grado? Come si definisce una funzione razionale? Come si determina il suo insieme di definizione o dominio? Come si determina per quali valori di x la funzione assume valore 0? Come si calcola y(x) per x assegnato? Come si ottengono altre funzioni traslando il grafico di una funzione assegnata di tot unità verso destra o verso sinistra, verso l alto o verso il basso? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 11 e 14 e 18/12/09 e l Esercitazione 15/12/2009 e il file Esercizi vari su funzioni polinomiali e razionali. Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: Ai fini di determinare le costanti a, b, c,d e,f, si deve tenere conto delle varie condizioni date, ad esempio il fatto che la funzione non è definita per x=-1 ed x=-2 ci dice che il polinomio al denominatore dx 2 +ex+f ha due radici reali per x=-1 ed x=-2, dunque la loro soma è 3=-e/d, da cui e=3d, il loro prodotto è 2=f/d, da cui f=2d, quindi il polinomio al denominatore è dx 2 +3dx+2d =d(x 2 +3x+2); analogamente per il numeratore, dovendo essere y(1)=y(2)=0, si avrà a(x 2-3x+2), infine la condizione y(0)=-1 impone y(0)= 2a/2d=-1, da cui a = -d, otteneniamo y(x)=-d(x 2-3x+2)/d(x 2 +3x+2)=( -x 2 +3x- 2)/( x 2 +3x+2);

5 a) traslando il grafico di y(x) (prova a disegnarlo!) di 2 unità verso sinistra si ottiene la funzione g(x)= y(x+2)=( -(x+2) 2 +3(x+2) 2)/( (x+2) 2 +3(x+2) +2) = =(-x 2 x)/( x 2 + 7x +12); b)moltiplicando le ascisse per 3 si ottiene h(x)=y(3x)=(-(3x) 2 +3(3x)-2)/( (3x) 2 +3(3x)+2)= (-9x 2 +9x-2)/(9x 2 + 9x + 2), ora dobbiamo traslare h(x) di 1 unità verso destra, vale a dire calcolare h(x-1), otteniamo k(x)=h(x-1)= (-9(x-1) 2 +9(x-1)-2)/(9(x-1) 2 + 9(x-1) + 2)=(-9x 2 +27x- 20)/(9x 2-9x + 2).