MATEMATICA CORSO A III APPELLO 23 Settembre 2013

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1 MATEMATICA CORSO A III APPELLO 23 Settembre 2013 Soluzioni 1. Un microrganismo ha il corpo che si avvicina ad un cilindro con raggio di base r b = 1 ± 0.03 µm e volume V = 8 ± 0.20 µm 3. Determina il valore stimato, l errore relativo e quello assoluto della lunghezza del microrganismo. La lunghezza del microorganismo è data da l = V A b dove A b = π rb 2 ; quindi il suo valore stimato è Per gli errori relativi si ha ɛ r r b = l s = V s A s b da cui (gli errori relativi sono piccoli) L errore assoluto della lunghezza è allora = 8 π 2.55 µm = 0.03 ɛ r V = ɛ r l = ɛ r V + 2 ɛ r r b = ɛ a l = l s ɛ r l 0.22 µm = Calcola l insieme di definizione della seguente funzione reale di variabile reale: ( ) 1 x f(x) = log 23 x + 9 Il logaritmo è definito se e solo se il suo argomento è positivo, quindi per trovare l insieme di definizione della funzione dobbiamo risolvere la seguente disequazione: 1 x x + 9 > 0 Studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore si ottiene: 1 x > 0 x < 1 1 < x < 1 x + 9 > 0 x > 9 La disequazione ammette soluzione quando numeratore e denominatore sono concordi di segno, quindi x < 9 1 < x < 1 1

2 3. Siano A e B due eventi e si conoscano le seguenti probabilità: P (A) = 2 P (B) = a) Calcola la probabilità P (A B). b) Calcola la probabilità P (A B). P (A B) = 1 14 a) b) P (A B) = P (A B) P (B) = 1/14 1/5 = 5 14 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = Il colore del manto di una specie di gnu è determinata geneticamente da un gene con due possibili alleli: l allele N dominante del manto nero, e l allele m recessivo del manto marrone. La popolazione che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy- Weinberg, e sai che il 75% degli gnu ha manto nero. a) Calcola le frequenze alleliche, le probabilità di tutti i genotipi e di tutti i fenotipi. b) Qual è la probabilità che uno gnu preso a caso nella popolazione abbia il manto nero sapendo che il padre ha il manto marrone e la madre nero? c) Qual è la probabilità che uno gnu preso a caso nella popolazione abbia il manto marrone sapendo che suo figlio ha il manto nero? Indichiamo con p la frequenza dell allele dominante N e con q la frequenza dell allele recessivo m. a) Conosciamo già le frequenze fenotipiche: b) c) Si ha P (MA) = 25% P (NE) = 75% 25% = q 2 q = 0.5 quindi p = 0.5. Le probabilità dei genotipi sono: P (NN) = p 2 = 0.25 P (Nm) = 2 p q = 0.50 P (mm) = q 2 = 0.25 P (F NE P MA M NE ) = q2 (p p q (1/2)) q 2 (p p q) P (P MA F NE ) = q2 2 p q (1/2) + q 2 p 2 p p q = p + q p + 2q = q = 2 3 = q2 1 + q = = = E noto che la quantità A di anidride carbonica (misurata in g/l) contenuta in una bottiglia di una data acqua frizzante è distribuita secondo una gaussiana di media µ = 6.2 g/l e deviazione standard s = 0.6 g/l. 2

3 a) Determinare i valori x e y, simmetrici rispetto al valor medio, tali che P (x A y) = 0.95 b) Calcolare la probabilità che, prelevando 10 bottiglie di quell acqua frizzante, si ottenga una media campionaria di anidride carbonica compresa tra 5.8 g/l e 6.4 g/l. c) Quante bottiglie dovremmo prelevare affinchè la probabilità che la media campionaria superi il valore 6.4 g/l sia non superiore a 0.02? a) Analizzando le tavole della curva normale standardizzata si ha che l area sottesa a tale curva è 0.95 quando l intervallo di integrazione è [ 1.96, 1.96], quindi a = = b = = Ricorda che la variabile aleatoria standardizzata Z (quella usata nelle tavole) è data da Z = X µ s b) La media campionaria di X ( X 10 ) è una nuova variabile aleatoria avente stessa media di X (µ = 6.2) e deviazione standard pari a s X10 = s X / 10. Standardizzando i valori 5.8 e 6.4 otteniamo quindi la probabilità cercata è / / P ( 2.10 < Z < 1.05) = 0.83, dove Z è la media campionaria standardizzata. c) Indichiamo con ( X n ) la media campionaria relativa a n campionamenti. La condizione che vogliamo si verifichi è P ( X n 6.4) 0.02 P ( X n < 6.4) > 0.98 ; Standardizzando la media campionaria ed il valore si ottiene P ( st X n < 0.6/ n ) > n > 2.06 n 39 ; 3 sono quindi necessari almeno 39 campionamenti. 6. Assegnata la funzione a) determina l insieme di definizione; f(x) = 2 ex + 1 e x 2 b) determina il segno ed eventuali zeri, limiti ed asintoti; c) trova intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o minimo; 3

4 d) disegna il grafico. a) L espressione della funzione è data dal rapporto tra due funzioni definite e continue su tutto R (funzioni esponenziali) quindi è definita se e solo se il denominatore è diverso da 0: e x 2 0 x ln 2 b) La funzione a numeratore è sempre positiva (f(x) non ha zeri), quindi il segno dell intera funzione coincide con quello del denominatore: Calcoliamo i limiti: f(x) > 0 e x 2 > 0 x > ln 2 f(x) < 0 e x 2 < 0 x < ln 2 lim f(x) = lim x ln 2 f(x) = + x ln 2 + lim f(x) = 1/2 lim x f(x) = 2 x + La funzione presenta un asintoto verticale, x = 1, e due asintoti orizzontali, y = 1/2 a e y = 2 a +. c) La derivata prima vale 5 ex f (x) = (e x 2) 2 ed è negativa per ogni x dell insieme di definizione: la funzione è quindi descrescente a tratti. d) Il grafico della funzione è il seguente. 4

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