MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI I PROVA IN ITINERE RECUPERO 8 gennaio 2009 TEMI 1 E 3 ESERCIZI SVOLTI

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1 MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI I PROVA IN ITINERE RECUPERO 8 gennaio 2009 TEMI 1 E 3 ESERCIZI SVOLTI OSSERVAZIONE PRELIMINARE: Premesso che per il corretto svolgimento di questo compito di recupero sarebbe stata sufficiente una revisione accurata e critica della I Prova in itinere svolta a novembre, segnaliamo in particolare per ogni esercizio il materiale didattico in rete (home page docente) dove si sarebbero potuti trovare la parte teorica necessaria e gli esercizi svolti della stessa tipologia. 1.(4 punti) Indichiamo con IMC= m/h 2 l indice biometrico di massa corporea, dove m indica la massa misurata in kg (chilogrammi), ed h indica l altezza misurata in m (metri). VERSIONE TEMA 1 : E noto che Maria ha IMC=22 ± 2, ed h=1.60 ± 0.02 m, determina valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della sua massa. SOLUZIONE: Dalla relazione IMC= m/h 2 si ricava m=imc h 2 =IMC h h Gli errori relativi di IMC e di h sono < 1/10, dunque possiamo procedere con le approssimazioni consuete ( vedi il materiale didattico in rete Lez2, Esercitaz2, Esercizio 1 della I prova in itinere, EsRECSOL ): il valore stimato VS di m è dato dal prodotto dei valori stimati VS = 22(1.60) 2 = kg L errore relativo ER di m è dato dalla somma degli errori relativi dei fattori IMC, h, e ancora h ER= 2/ / /1.60 = 51/ L errore assoluto EA di m è dato dal prodotto di VS per ER EA= VS ER= 56.32(51/440)=6.528 kg VERSIONE TEMA 3: E noto che Maria ha IMC=21 ± 3, ed h=1.60 ± 0.02 m, determina valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della sua massa. SOLUZIONE: Si procede come per TEMA 1, ottenendo: VS= 21(1.60) 2 = kg ER= 3/ / /1.60 =47/ EA= 56.76(47/280) kg

2 Per gli esercizi 2, 3 e 5, Vedi tra gli altri: Lez7, Esercitaz4 e Esercitaz6, Prova1Sol, Prova2Sol. Per la binomiale, in particolare, vedi Lez (4 punti)versione TEMA 1: In un sacchetto ci sono 3 biglie verdi, 2 gialle e 5 blu. Calcolare la probabilità di estrarre esattamente 3 blu, in: a) cinque estrazioni senza rimessa; b) cinque estrazioni con rimessa SOLUZIONE: a) utilizzando il calcolo combinatorio, otteniamo oppure utilizzando la regola del prodotto 5 3 (5/10)(4/9)(3/8)(5/7)(4/6) b)per le estrazioni con rimessa dobbiamo utilizzare la legge binomiale 5 3 (5/10)3 (5/10) 2 2. (4 punti)versione TEMA 3: In un sacchetto ci sono 3 biglie verdi, 4 gialle e 2 blu. Calcolare la probabilità di estrarre esattamente 3 gialle, in: c) cinque estrazioni senza rimessa; d) cinque estrazioni con rimessa SOLUZIONE: a) utilizzando il calcolo combinatorio, otteniamo oppure utilizzando la regola del prodotto 5 3 (4/9)(3/8)(2/7)(5/6)(4/5) b) 5 3 (4/9)3 (5/9) 2

3 3. (4 punti)versione TEMA 1: Considerate due eventi A e B tali che P(A)=1/4, P(B A)=1/2, P(A B)=1/2. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali invece sono false (giustificare le risposte!): a) A e B sono eventi indipendenti; b) P(A) = P(B) SOLUZIONE: a) Se A e B fossero indipendenti si dovrebbe avere P(A)= P(A B), ma P(A)= 1/4, mentre P(A B)=1/2, quindi A e B sono dipendenti b)ricaviamo P(B) dalla relazione P(A)P(B A)= P(B)P(A B), dunque P(B)=[P(A)P(B A)]/P(A B)=(1/4)(1/2)/(1/2) = 1/4, dunque P(A)=P(B) 3. (4 punti)versione TEMA 3: Considerate due eventi A e B tali che P(A)=1/2, P(B A)=1/3, P(A B)=1/3. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali invece sono false (giustificare le risposte!): a) A e B sono eventi indipendenti; b) P(A) = P(B) SOLUZIONE: a) Se A e B fossero indipendenti si dovrebbe avere P(A)= P(A B), ma P(A)= 1/2, mentre P(A B)=1/3, quindi A e B sono dipendenti b)ricaviamo P(B) dalla relazione P(A)P(B A)= P(B)P(A B), dunque P(B)=[P(A)P(B A)]/P(A B)=(1/2)(1/3)/(1/3) = 1/2, dunque P(A)=P(B) Per l esercizio 4 vedi Lez3, Prova1Sol, Prova2Sol, EsVari27-11, EsRECSOL 4. (4 punti)versione TEMA 1: Se la popolazione di una data città è diminuita del 10% nel 2007, in quale percentuale sarebbe dovuta aumentare nel 2008 per tornare alla numerosità di partenza? SOLUZIONE: Indichiamo con N il numero iniziale di individui se la popolazione nel 2007 è diminuita del 10%, il numero di individui della popolazione è diventato N- 10/100N = 90/100N; quest ultimo numero deve essere aumentato di un certo p% affinchè il numero totale di individui della popolazione torni ad essere N, dunque (90/100)N + (p/100)(90/100) N = N moltiplichiamo per 100 e dividiamo per N la precedente uguaglianza, si ha p/100 = 100, da cui p=100/9 11.1% 4. (4 punti)versione TEMA 3: Se la popolazione di una data città è diminuita del 6% nel 2007, in quale percentuale sarebbe dovuta aumentare nel 2008 per tornare alla numerosità di partenza?

4 SOLUZIONE: Si procede come nella versione Tema 1 e si ottiene la relazione p/100= 100, da cui p=600/ % 5. (6 punti)versione TEMA 1: Un lucchetto è formato da un cilindro di cinque anelli rotanti. Ogni anello è marcato con le 26 lettere dell alfabeto latino. a) Quante combinazioni si possono avere? b) Quante combinazioni contengono la sequenza abc? (Per esempio, la combinazione cabcf contiene la sequenza abc) c) Calcolare la probabilità che, scegliendo a caso una combinazione qualsiasi, la lettera b compaia esattamente tre volte. SOLUZIONE: a) 26 5 b) la sequenza abc si può inserire in 3 modi nella combinazione e per ognuno di questi ci sono 26 2 possibili completamenti del codice per quanto riguarda i due posti rimanenti, in tutto quindi sono c)possiamo utilizzare la legge binomiale considerando che in tutto si devono sorteggiare 5 lettere, la probabilità di sorteggiare la lettera b è 1/26, dunque la probabilità richiesta è 5 3 (1/26)3 (25/26) 2 5. (6 punti)versione TEMA 3: Un lucchetto è formato da un cilindro di cinque anelli rotanti. Ogni anello è marcato con le 26 lettere dell alfabeto latino. a) Quante combinazioni si possono avere? b) Quante combinazioni contengono la sequenza bac? (Per esempio, la combinazione cbacf contiene la sequenza bac) c) Calcolare la probabilità che, scegliendo a caso una combinazione qualsiasi, la lettera b compaia esattamente due volte. SOLUZIONE: a) 26 5 ; b) ; c) 5 2 (1/26)2 (25/26) 3

5 Per l esercizio 6 Vedi in particolare Lez8 ed Esercitaz5 6. (6 punti)versione TEMA 1: In una popolazione, che soddisfa le ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, una certa caratteristica C è determinata geneticamente da un gene con due possibili alleli: l allele A dominante e l allele a recessivo. Si presenta la caratteristica C se si è del genotipo aa. Sapendo che l allele a ha frequenza 0.2 nella popolazione, calcola: a) la probabilità che, prendendo un individuo a caso nella popolazione, l individuo sia C ( vale a dire NON presenti C); b) la probabilità che nasca un figlio C, sapendo che la madre è C ed il padre è C; c) la probabilità che almeno uno dei due genitori sia C, sapendo che il figlio è C. SOLUZIONE: a) Indichiamo con P(a)=0.2 la frequenza dell allele a nella popolazione, dunque la frequenza dell allele A è P(A)=0.8. Si è C se si è AA oppure Aa, in una popolazione che soddisfa alla legge di H-W si ha P(AA)= P(A)P(A)=0.8 2 =0.64 P(Aa)= 2P(A)P(a)= 2(0.8)(0.2)=0.32 Dunque la probabilità richiesta è =0.96 b)si tratta di calcolarep(f C M C P C ), dove F sta per figlio, M sta per madre, P sta per padre. Poiche la madre presenta la caratteristica C, ella è certamente aa, mentre il padre può essere AA, ed in tal caso il figlio non potrà presentare C, oppure il padre può essere Aa ed in tal caso il figlio potrà risultare C con probabilità 1/2, dunque avremo P(F C M C P C )= P(F C M C P C )/ P(M C P C )= [0.32(1/2)]/0.96 = 1/6 c)conviene calcolare la probabilità dell evento contrario, vale a dire la probabilità che entrambi i genitori presentino C sapendo che il figlio presenta C, che indicheremo con P(G C F C ). Poiché si ha la caratteristica C solo se si è aa, i genitori per presentare C devono essere entrambi aa, quindi P(G C F C )= [(0.2) 2 ] 2 /(0.2) 2 =0.04, dunque la probabilità richiesta è =0.96 VERSIONE TEMA 3: Basta sostituire nella precedente soluzione P(a)=0.4 e, dunque, P(A)= 0.6, ottenendo a) 0.84; b) P(F C M C P C )= 2/7; c) 1- P(G C F C )=1 0.16=0.84

6 Per l esrcizio 7, vedi in particolare Lez11 ed Esercitaz7 7. (6 punti)versione TEMA 1: In una data popolazione il numero di individui N(t) dipende con continuità dal tempo nel modo seguente: per t<10 la popolazione è costantemente formata da 100 individui per 10 t 30 la popolazione decresce linearmente per t>30 la popolazione è costantemente formata da 50 individui a) determina l espressione analitica di N(t) disegna il grafico di N(t) SOLUZIONE: a) N(t) deve essere lineare per 10 t 30, dovendo passare, per la continuità, per i punti (10, 100) e per (30,50), otteniamo dunque N(t)= -2.5 t per 10 t 30, quindi 100 per t<10 N(t)= -2.5 t per 10 t per t>30 7. (6 punti)versione TEMA 3: In una data popolazione il numero di individui N(t) dipende con continuità dal tempo nel modo seguente: per t<10 la popolazione è costantemente formata da 200 individui per 10 t 40 la popolazione decresce linearmente per t>40 la popolazione è costantemente formata da 100 individui

7 a)determina l espressione analitica di N(t) disegna il grafico di N(t) SOLUZIONE: a)n(t) deve essere lineare per 10 t 40, dovendo passare, per la continuità, per i punti (10, 200) e per (40,100), otteniamo dunque N(t)= -10/3 t + 700/3 per 10 t 40, quindi 200 per t<10 N(t)= -10/3 t + 700/3 per 10 t per t>40