MATEMATICA E STATISTICA CORSO A I COMPITINO (Tema 1) 28 Novembre 2008

Transcript

1 MATEMATICA E STATISTICA CORSO A I COMPITINO (Tema 1) 28 Novembre 2008 SOLUZIONI 1. (4 punti) L indice di maa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra maa, eprea in Kg, e l altezza, eprea in m, al quadrato. Sapendo che Lucio ha maa 81 ± 3 Kg ed è alto 1.80 ± 0.03 m, determina valore timato, errore aoluto ed errore relativo del uo IMC. L indice di maa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra maa ed altezza al quadrato IMC m h 2, con m eprea in Kg e h in m. Il valore timato dell IMC è dato da v IMC vm (v h ) L errore relativo della maa è mentre quello dell altezza è e m r %, e h r %. L errore relativo dell IM C i ottiene allora ommando l errore relativo della maa ed il doppio (nella formula dell IMC l altezza è al quadrato) dell errore relativo dell altezza: e IMC r ( ) % 3.70% % 270 Poiché l errore relativo è il rapporto tra l errore aoluto ed il valore timato e r e a v, l errore aoluto dell IM C i ottiene moltiplicando il valore timato per l errore relativo: e IMC a v IMC e IMC 19 r

2 2. (6 punti) Nello tudio di una varietà perimentale di una certa pianta, è noto che la quantità di emi, calcolata in percentuale, che germinano entro una ettimana dalla emina G dipende dalla temperatura T del terreno. E noto inoltre che: e la temperatura varia da 15 C a 30 C la percentuale di emi germinati egue una legge lineare; per temperature tra 30 C e 35 C la percentuale rimane cotante; per temperature tra 35 C e 40 C la percentuale di emi germinati egue di nuovo una legge lineare; temperature al di otto di 15 C o al di opra di 40 C impedicono ai emi di germinare. Sono tati raccolti i eguenti dati perimentali: per T21, G(21)36; per T27, G(27)72 Determina G(T) e diegna il uo grafico. Leggendo con attenzione il teto i deduce che la funzione G(T) è definita a tratti ed in particolare vale 0 negli intervalli [,15] e [40, + ]. Nell intervallo [15, 30] G(T) è lineare ed è poibile eprimere la ua equazione fruttando i dati perimentali; l equazione arà del tipo y m 1 x + q 1, con m e q 1 ottenuto imponendo il paaggio per un punto (ad eempio (15,0)): q 1 q 1 90 Nell intervallo [30, 35] G(T) rimane cotante ed il uo valore arà dato dal valore che l epreione lineare ottenuta precedentemente aume per x 30: Nell intervallo [35, 40] G(T) egue nuovamente una legge lineare partendo dal punto (35,90) per arrivare al punto (40,0), poiché deve valere 0 per temperature uperiori a 40, quindi: e m q

3 90 80 G G6T 90 G 18T T 3. (4 punti) In una gabbia i trovano 5 cavie di pelo bianco e 7 di pelo nero; le cavie differicono olo per il colore. Se ne etraggono, a cao, 3 contemporaneamente. Calcola la probabilità di ciacuno dei eguenti eventi: a) una ola cavia è bianca; b) al più una cavia è bianca; c) almeno una cavia è bianca; d) ono più nere che bianche. Etrarre 3 cavie contemporaneamente è equivalente ad etrarne una alla volta, ovvero etrarre enza rimettere dentro la cavia etratta. a) P(1B) Nota che l evento etrarre 1 cavia bianca è equivalente a quello etrarre 2 cavie nere. b) c) P(1B)+P(0B) P(1B)+P(3N) P(3N) d) Poiché i etraggono 3 cavie (e le cavie ono olo di 2 colori), dire che ci iano piu cavie nere che bianche equivale a dire che ci ia al più una cavia bianca, il che ignifica che la probabilità è la tea calcolata al punto b), ovvero 7/11. 3

4 4. (6 punti) Conidera 2 eventi A e B tali che P(A)1/4, P(B A)1/2 e P(A B)1/4. Stabilici quali delle eguenti affermazioni ono vere e quali fale: a) Gli eventi A e B ono incompatibili b) A è un ottoevento di B c) P( A B)3/4 d) P(A B)+P(A B)1 a) Gli eventi A e B ono incompatibili e e olo e P(A B)0, ma P(A B) P(B A) P(A)1/8 quindi i due eventi non ono incompatibili; apendo inoltre che P(A B)1/4 i ricava facilmente la probabilità di B: P(B)P(B A) P(A)/ P(A B)1/2. b) A è un ottoevento di B e e olo e P(A B)P(A), ma queto è falo perché P(A B)1/8, mentre P(A)1/4. c) Guardando con attenzione i valori delle probabilità di cui diponiamo ci i rende ubito conto che i due eventi A e B ono indipendenti: P(A B)P(A) P(B). Sono indipendenti anche gli eventi A e B? L evento A è unione digiunta degli iniemi ( A B) e ( A B) quindi i ha: P( A)P( A B) + P( A B) ; è facile dimotrare che e A e B ono indipendenti allora lo ono anche A e B per cui P( A B)P( A)P(B) e i ha P( A)P( A B)+P( A) P(B), P( A B)P( A)-P( A) P(B) P( A)(1-P(B))P( A) P( B) e quindi gli eventi A e B ono indipendenti. Poiché i due eventi ono indipendenti i ha P( A B)P( A)1-P(A)3/4 d) Come detto prima è facile provare che A e B ono eventi indipendenti quindi P(A B)+P(A B)P(A)+P(A)2 P(A)1/ (6 punti) Una oluzione è un itema omogeneo prodotto dallo cioglimento di una otanza olida, liquida o gaoa (oluto) in un opportuno liquido (olvente). La concentrazione di una oluzione, eprea olitamente in percentuale, è il rapporto tra la maa del oluto e quella della oluzione. 4

5 a) 30 g di ale vengono diciolti in 90 g di acqua; quanto vale la concentrazione della oluzione? b) Aggiungendo g di olvente ad una oluzione al 10% i ottiene una oluzione finale al 6%; calcola la maa iniziale della oluzione. c) Abbiamo 10 Kg di una oluzione al 10% e 20 Kg della medeima oluzione al 20%, coa uccede alla concentrazione e i mecolano le due quantità di oluzioni? Indichiamo con il oluto e con S il olvente. a) Abbiamo 30 g e S 90 g quindi la concentrazione è data da c S % b) Indichiamo la maa iniziale della oluzione S + con x, allora x 10 x 10 e x + 6 Uguagliando le due quantità i ottiene e x 3(x + ) x 3x x (x + ) 50 c) Indichiamo con 1 il oluto della prima oluzione e con 2 il oluto della econda oluzione: , mentre Quindi la nuova oluzione, avente maa 30 Kg, ha concentrazione c %.

6 6. (6 punti) In una certa popolazione la probabilità che un individuo ia affetto dalla malattia M è il 20%. A eguito di indagini epidemiologiche i contata che, mentre il 10% degli individui di quella popolazione preenta un dato intomo S, tra coloro che ono affetti dalla malattia M la percentuale di chi preenta tale intomo ale al 40%. a) Calcola la probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione ia affetto da M, ma non preenti il intomo S. b) Calcola la probabilità che un individuo che preenta il intomo S ia affetto da M. c) Calcola la probabilità per chi NON preenta il intomo di NON eere affetto da M. Indichiamo con P(M): probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione ia affetto dalla malattia M P( M): probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione NON ia affetto dalla malattia M P(S): probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione preenti il intomo S P( S): probabilità che un individuo celto a cao nella popolazione NON preenti il intomo S P(S)10 % 20 % 80 % M M 40 % 60 % x 1 x S S S S Per ipotei appiamo che P(M) 20% 1/5 (di coneguenza P( M) 80% 4/5), che P(S) 10% 1/10 (di coneguenza P( S) 90% 9/10) e che P(S M) 40% 2/5 (di coneguenza P( S M) 60% 3/5) a) Dobbiamo calcolare P(M S): P(M S) P( S M)P(M)

7 b) Dobbiamo calcolare P(M S): P(M S) P(S M)P(M) P(S) c) Dobbiamo calcolare P( M S), ma per far queto ci erve la probabilità P( S M): P(S) P(S M)P(M) + P(S M)P( M) e quindi Allora P(S M) P(S) P(S M)P(M) P( M) P( S M) 1 P(S M) P( M S) P( S M)P( M) P( S) 1 40, Un modo fore più veloce di fare lo teo conto è il eguente: P( M S) 1 P(M S) 1 P( S M)P(M) P( S)