Ing. Mariagrazia Dotoli Controlli Automatici NO (9 CFU) Antitrasformata di Laplace PROCEDIMENTI DI ANTITRASFORMAZIONE

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1 PROCEDIMENTI DI ANTITRASFORMAZIONE L'operazione di paaggio invero dal dominio della frequenza complea al dominio del tempo F() f(t) è detta antitraformata o traformazione invera di Laplace. Data una funzione complea F() la ua antitraformata di Laplace è definita come egue: f(t) = πj σ 0 + j F() e t d con σ 0 >σ c σ 0 j e i indica con f(t) = L - {F()}. Si noti che il percoro di integrazione della antitraformata di Laplace è fiato u una retta verticale del piano compleo di acia σ 0 qualiai, contenuta nel dominio di convergenza di F(), oia a detra dell acia di convergenza σ c. Come abbiamo vito, una delle condizioni perché una funzione f(t) ia traformabile econdo Laplace è che ia nulla per t<0 (proprietà di caualità): queta condizione non è trettamente necearia per la traformabilità, vito che i valori di f(t) per t<0 non danno contributo nella definizione di integrale di Laplace, ma è necearia per la biunivocità dell'operazione di traformazione in modo che antitraformando i ottenga comunque una funzione nulla per t<0. Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

2 Per i motivi decritti ogni volta che i ricava un antitraformata occorre indicare il fattore moltiplicativo (t). L'epreione integrale che definice l'antitraformata è comoda da valutare, per cui i ricorre ad una divera procedura di valutazione. Queta procedura i applica alle funzioni razionali fratte, che individuano le funzioni nel dominio della frequenza complea di interee nei controlli automatici, eendo le traformate di Laplace dei egnali tipici di queta diciplina. Una funzione F() di queto tipo i può eprimere come rapporto di due polinomi nella variabile : m m- B() b m + b m b b F() = = 0 A() n n- a n + a n + + a + a0 dove m è il grado del numeratore B() ed n quello del denominatore A(). Si poono verificare diveri cai. ) m>n Effettuando la diviione tra polinomi, i ha F() = m-n m-n + m-n- m-n R()/A() con R() polinomio reto di grado r<n; pertanto l'antitraformata vale: f(t) = m-n δm-n+(t) + m-n- δm-n(t) δ(t) + L - {R()/A()} dove i è utilizzata la proprietà notevole ulla traformazione degli impuli di Dirac di ordine uperiore. La funzione antitraformata preenta dunque degli impuli di vario Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

3 ordine. In queto cao la funzione f(t) i dice anticipativa o non realizzabile (non cauale) e la funzione F() è detta razionale fratta impropria. ) m=n Effettuando la diviione tra polinomi i ha in queto cao F() = bm/an + R()/A() con R() polinomio reto di grado r<n; pertanto l'antitraformata vale: f(t) = bm/an δ(t) + L - {R()/A()} In queto cao i preenta olo un impulo di Dirac del primo ordine e la funzione F() i dice razionale fratta propria ma non trettamente. 3) m<n In queto cao la diviione tra polinomi non i può effettuare, quindi l antitraformata f(t) non contiene impuli di Dirac. La funzione F() i dice razionale fratta trettamente propria. Quindi in ciacuno dei tre cai analizzati è neceario antitraformare una funzione razionale fratta trettamente propria, pertanto è ufficiente analizzare il cao in cui ia m<n. La procedura di antitraformazione di una funzione razionale fratta trettamente propria F() conite nell'eprimere la funzione come una omma di altre funzioni razionali fratte trettamente proprie, dette fratti emplici, che poono eere facilmente antitraformate utilizzando le regole di traformazione e le traformate notevoli. Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 3

4 I fratti emplici dipendono dai poli di F(), cioè dalle radici dell'equazione A()=0, oia dagli zeri della funzione A(), che vanno quindi determinati. Tali radici ono in numero pari al grado n del polinomio A() e poono eere reali o complee e coniugate, emplici o multiple. Supponendo che A() abbia r radici ditinte pi (i=,..., r) ciacuna di molteplicità αi, cioè che ia: r A() = an (-p) α (-p) α α... (-pr) αr= a n ( pi ) i= i con r α i = n. i= È facile dimotrare che lo viluppo in fratti emplici della funzione da antitraformare razionale fratta trettamente propria F() è del tipo: α F( ) = α α... ( p ) ( p ) ( p ) + + α α α... ( p ) ( p ) ( p ) r r r r + + α α ( p ) r α ( p ) r ( p r r r ) infatti è ufficiente riportare tale epanione in fratti emplici ad un unico membro ommandone i diveri termini. L epanione in fratti emplici i crive anche in forma compatta: r αi ij F( ) = α + i= j= ( ) i j pi Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 4

5 dove tutti e oli i coefficienti iαi dei fratti emplici con denominatori del primo ordine i chiamano reidui aociati ai poli pi. Pertanto i ottiene, fruttando il cao II della proprietà f) ulla traformata della moltiplicazione per t n (con n=α i -j) e la proprietà di linearità della traformata: r αi ij α i j pit f (t) = t e (t) i= j= ( αi j! ) dove i è introdotto il gradino unitario per rendere biunivoca la traformazione funzionale. Il problema è quindi determinare i coefficienti ij dell epanione in fratti. Di eguito decriviamo i diveri metodi che i utilizzano per individuare i coefficienti dell epanione in fratti emplici di una funzione F() razionale fratta trettamente propria. Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 5

6 METODO DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO Un primo metodo per ricavare i coefficienti ij conite nel ricavare il minimo comune multiplo della omma dei fratti emplici ed uguagliare quello che i ottiene all'epreione nota di F(). Queto è un metodo lungo, oneroo dal punto di vita computazionale e pertanto poco uato. Eempio quindi ( ) = = ( + a) ( + a) ( + a) ( ) + ( ) ( +a) + + F + +a +a = = ( + ) +( + a + a) + a = +a ( ) = + = 0 + a + a = 0 a = = a = a = a Pertanto i ottiene F( ) = = a + a + a ( + a) ( + a) ( + a) da cui f ( t ) = e a at t a at e + a (t) Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 6

7 METODO DELLA FORMULA GENERALE Queto metodo frutta una formula generale valida per i coefficienti ij, econdo la quale riulta: ij = ( j ) d! d j j α [ F( ) ( - pi ) i ] i = r, j = αi = p i In particolare i coefficienti dei fratti emplici con denominatore di ordine maimo i ottengono otituendo j= nella formula precedente e valgono: α ( - p ) i i = r i = F( ) i = p Analogamente, i coefficienti dei fratti emplici ucceivi i ottengono otituendo j= nella formula generale, ottenendo: d α i = F() -p i= r d ( i) i = pi i e coì via per i fratti ucceivi. Come il precedente, anche queto metodo può rivelari computazionalmente oneroo, oprattutto nel cao in cui alcuni poli di F() preentino molteplicità algebrica elevata, richiedendo quindi di effettuare molte operazioni di derivazione per l applicazione della formula generale. Pertanto queto metodo viene di norma utilizzato per determinare i oli primi fratti emplici dell epanione. Eempio Si conideri la funzione dell'eempio precedente. Si ha: Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 7

8 ( ) F() = +a ( ) = F() +a = = = a = a a d ( ) = F() +a = d = = a = a a = [ F() ] = = = 0 ( +a) a = 0 Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 8

9 METODO DEL RIPORTO SUCCESSIVO A PRIMO MEMBRO Queto metodo evita l uo della formula generale per i coefficienti ij con j ed invece ricava nuove funzioni complee ottraendo ucceivamente alla funzione F() i fratti emplici ricavati per j=. A quete nuove funzioni i applica quindi la formula generale per ottenere il primo coefficiente, aociato al denominatore di grado maimo. Eempio Si ottiene: F ( ) = 3 + = ( +)( + ) 3 3 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) dunque = F( ) ( + ) F ( ) = F( ) 3 = 5 = = ( + ) ( + ) ( +) ( + ) ( + ) ( +) 5 = da cui deriva che F ( ) = = ( + ) ( +) ( + ) ( + ) ( + ) F ( ) ( + ) = = = Applicando ancora il metodo del riporto ucceivo i ha: Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 9

10 dunque F ( ) = F ( ) = = + ( + ) ( + ) ( +) ( + ) ( )( +) F ( ) = 3 = + ( + )( +) ( + ) ( + ) da cui 3 = = [ F ( ) ( + ) ] = = [ F( ) ( +) ] = = In definitiva i ha: f ( t ) = 5 e -t t + e -t t + e -t - e -t (t) Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 0

11 METODO DEL TEOREMA DEI RESIDUI Queto metodo conite nell utilizzare uno dei metodi precedenti e nel verificare a poteriori il teorema ui reidui oppure nel calcolare con uno di tali metodi tutti i coefficienti ij dell epanione ad eccezione di un reiduo, il quale viene calcolato utilizzando il riultato di tale teorema. Il teorema dei reidui afferma che, data una funzione razionale fratta F() trettamente propria del tipo vito in precedenza, la ua epanione in fratti emplici, eprea nella forma vita precedentemente, verifica la proprietà: b = r m e n = m + iα i an i= 0 e n > m + dove bm ed an ono i coefficienti delle potenze di grado maimo preenti, ripettivamente, nel numeratore B() e nel denominatore A() di F(). Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

12 ANTITRASFORMAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE CON POLI COMPLESSI Nel cao in cui A() abbia delle radici complee e coniugate, per valutare i coefficienti aociati i ua una procedura emplificata, valida olo per poli complei e coniugati emplici. Si può dimotrare che i reidui aociati a poli complei e coniugati ono anch ei complei e coniugati. Ne conegue che i fratti emplici aociati a due radici complee e coniugate poono combinari in una forma emplice che ha coefficienti reali. Si conideri ad eempio una coppia di poli a denominatore della funzione F()=B()/A() da antitraformare del tipo σ ± j ω, cui quindi corriponde nel polinomio a denominatore A() un termine elementare del tipo σ jω σ + jω = σ + ω. ( )( ) ( ) I fratti emplici corripondenti alla coppia di radici complei e coniugati emplici poono allora eere ricritti come egue mediante un unico fratto emplice combinato: * G() = + = σ jω σ + jω * * * ( + ) + ( + ) σ+ j( ) ω α + β = = ( σ) + ω ( σ) + ω dove è facile verificare che i coefficienti α e β ono reali. Per antitraformare tale fratto emplice oerviamo preliminarmente che evidentemente i ha: α + β α-ασ+ασ + β G() = = = (-σ) + ω (-σ) + ω α( σ) ασ + β ω = + ω ( σ) + ω (-σ) + ω che i antitraforma agevolmente come egue: Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

13 σ t ασ + β σt g(t) = α co( ωt) e + in( ωt) e (t). ω La procedura per la determinazione dei coefficienti reali α e β del fratto emplice combinato relativo ad una coppia di poli complei e coniugati emplici è illutrata dai eguenti eempi. Eempio F ( ) = ( ) ( ) I poli ono p/ = -±j e p3/4 = -±j, ciacuno di molteplicità pari a uno. Si ricrive F() come egue: F ( ) = α + β + α + β ( + ) + ( + ) + 4 per cui vanno valutati i coefficienti reali α, β, α e β. Si oerva che valgono le eguenti relazioni: ( ) ( ) ( ) α + β F() + + =α + β ( ) ( ) ( ) α + β F() = α + β + + Calcolando ciacuna delle precedenti identità in una delle radici complee del polinomio a numeratore del primo membro di tali epreioni i ottiene: Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 3

14 [ α + β ] = F( ) ( + + ) = + j = + j [ α + β] = + j = F( ) ( + + 5) = + j da cui dopo emplici paaggi i ha: α + β + jα = 3 α + β + jα = 3 per cui α+β = /3 e α = 0 α+β = /3 e α = 0 da cui α = 0 e β = /3 α = 0 e β = /3 Pertanto i ha: quindi F ( ) = ( + ) + ( + ) + 4 f ( t ) = 3 t [ e ( ent + ent) ] ( t ) A titolo di eempio riolviamo ora l eercizio con il metodo generale, oia utilizzando i generici coefficienti ij, in queto cao complei e coniugati a coppie. Si ricrive F() come egue: Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 4

15 dove F() = = ( + + ) ( + + 5) ( + + j)( + j)( + + j)( + j) * * = ( + + j) ( + j) ( + + j) ( + j) da cui = = j ( + j)( + + 5) 6 = j = = j ( + + )( + j) 6 = j * = j 6 * = j 6 per cui i verifica la validità del teorema dei reidui: * * = j j+ j j= Pertanto i ha: quindi F() = j j + j j 6 j 6 j 6 j 6 j ( + + ) ( + ) ( + + ) ( + ) Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 5

16 (+ j)t ( j)t (+ j)t ( j)t f(t) = je je + je je (t) = t t j e (co t jin t) j e (co t + jin t) = (t) = t t j e (cot jint) j e (cot jint) e t int int (t ( ) = + 3 che coincide con il riultato già trovato. ) Eempio F ( ) = ( + ) ( ) I poli ono p/ = 0, p3 = - e p4/5 = -±j, ciacuno di molteplicità pari a uno. Si ricrive F() come egue: F ( ) = + + α + β + + ( + ) + Si ha: Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 6

17 + = F() = = 0 ( + ) ( + + ) = 0 d(f() ) d + = = d d ( ) ( + + ) = 0 + = 0 + = + = = ( + + ) = F() ( ) [ α + β ] = F() j ( + + = + ) da cui dopo emplici paaggi i ha: Pertanto i ha: = / e = - = α = - e β = -/ = + j F ( ) = + quindi + + = + + ( ) ( + ) + ( + ) + + f ( t ) t t t e co(t) e in(t) e t = + + ( t ) Eempio Vediamo ora un eercizio in cui la funzione razionale fratta da antitraformare preenta poli complei e coniugati multipli. Pertanto il problema di antitraformazione è riolvibile unicamente con il metodo generale, utilizzando i generici fratti emplici con coefficienti ij complei e coniugati a coppie. In particolare, i antitraformi la funzione: Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 7

18 F() = ( + ). La funzione da antitraformare ha due coppie di radici in +j e j. Dunque la ua epanione in fratti emplici vale: dove * * F() = F() = = ( + ) + j j ( ) ( + j) ( ) ( j) = = 4 ( j) = j d j = = = d 4 3 ( j) = j ( j) = j da cui * * = 4 j = 4 per cui i verifica la validità del teorema dei reidui: Pertanto i ha: * j j + = + = = j j F() = j 4 4 j ( ) ( ) + j + ( j) ( ) Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 8

19 quindi jt j jt jt j jt f(t) = t e + e t e e (t) = j = ( t(cot jint) + (cot jint) t(cot + jint) j (co t + jin t)) (t) = t co t + in t (t) 4 Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 9

20 OSSERVAZIONI SUI PROCEDIMENTI DI ANTITRASFORMAZIONE SECONDO LAPLACE L antitraformazione di funzioni razionali fratte, che ono quelle trattate nei controlli automatici, è di emplice attuazione perché effettuata utilizzando alcune traformate notevoli. L unica difficoltà del procedimento conite nella fattorizzazione del polinomio a denominatore, la quale può comunque eere ottenuta utilizzando uno trumento di calcolo automatico, quale ad eempio il oftware MATLAB. Si oerva che il comportamento dell antitraformata per t tendente all infinito è legato alla poizione dei poli (oia delle radici del denominatore A() ) in rapporto all ae immaginario. Nel cao di poli emplici nell antitraformata i hanno dei termini (modi): pt σ t σt (t), e (t), e co ωt (t) e e in ωt (t) dove il modo del primo tipo i ottiene per un polo emplice in p=0, il modo del econdo tipo i ottiene per un polo emplice in p e gli ultimi due modi corripondono al cao in cui i abbia una coppia di poli in σ ± jω. Corripondentemente, nel cao di poli multipli di molteplicità algebrica α, i hanno modi del tipo: h h pt h σt h σt t (t), t e (t), t e coω t (t) e t e inω t (t) in cui h è un intero compreo fra lo zero e α-. Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 0

21 Nel cao di poli emplici i modi convergono a zero per t tendente all infinito e la parte reale del relativo polo è negativa, ono limitati e ea è nulla e divergono in ampiezza e ea è poitiva. Inoltre i modi aociati a poli reali ono monotoni, mentre quelli aociati a poli complei ono ocillanti. Modi della ripota nel cao di poli ditinti (α=) Si oervi che per emplicità di rappreentazione nella figura precedente ai poli complei e coniugati e a quelli immaginari puri è aociato uno olo dei due modi in quadratura di fae che ei preentano. Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

22 Nel cao di poli multipli, i modi ad ei aociati convergono a zero per t tendente all infinito e la parte reale del relativo polo è negativa e divergono in ampiezza e ea è nulla o poitiva (infatti il modo limitato aociato ad un polo multiplo dipoto ull ae immaginario è coperto per t tendente all infinito dagli altri modi aociati al polo). Inoltre i modi aociati a poli reali ono monotoni, mentre quelli aociati a poli complei ono ocillanti. Modi della ripota nel cao di poli multipli (α=) Si oervi che per emplicità di rappreentazione nella figura precedente ai poli complei e coniugati e a quelli immaginari puri ono aociati due oli modi dei quattro che ei preentano, omettendone gli altri due in quadratura di fae. Si deduce in definitiva che l antitraformata di una funzione razionale fratta è limitata e e olo e la funzione da antitraformare non preenta alcun polo a parte reale poitiva e gli eventuali poli a parte reale nulla ono emplici, mentre diverge in cao contrario. Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

23 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI CON IL METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE Illutriamo la procedura con degli eempi. Eempio Si conideri la eguente equazione differenziale che lega la variabile incognita y(t) alla variabile nota di ingreo 4t e le relative condizioni iniziali u y(t): y ( ) ( t ) + 4 y(t) = 4 t y( 0 ) = ( ) y ( 0 ) = 0 Traformando econdo Laplace ed indicando la traformata di y(t) con Y() = L {y(t)} i ottiene - () - Y() - y(0 ) - y (0 ) + 4 Y() = () - ( + 4 ) Y() = + y(0 )+y (0 ) quindi Y() = 4 - () - + y(0 )+y (0 ) traformata della traformata della evoluzione forzata evoluzione libera Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 3

24 Da queta epreione i nota che Y() e quindi y(t) dipendono da due termini: il primo legato olo all'ingreo, oia al termine forzante (ripota o evoluzione forzata) ed il econdo dovuto unicamente alle condizioni iniziali (ripota o evoluzione libera). Quindi i poli e dunque i modi che caratterizzano la traformata dell ucita del itema in ripota a un egnale di ingreo (come l impulo di Dirac, il gradino, la inuoide) ono quelli ottenuti dalla equazione differenziale (oia dalla coiddetta funzione di traferimento) del itema, cui i aggiungono quelli relativi alla traformata di Laplace del egnale applicato in ingreo. Nel cao in eempio i modi di itema ono quelli aociati al polinomio a denominatore +4, oia ai poli ±j, quindi valgono co(t) e in(t), mentre i poli dovuti all ingreo ono quelli aociati al polinomio denominatore, oia al polo doppio 0, quindi ono due e valgono r(t)=t (t) e (t) e non olo r(t) come i potrebbe penare. Scrivendo Y() come funzione razionale fratta, dopo aver otituito i valori delle condizioni iniziali, e pecificando i diveri fratti emplici, i ricava: Y() = α + β + = = + + ( 4) ed i coefficienti i determinano con i oliti metodi: 3 +4 = = ( +4 ) = Y() Y () = = = = = ( ) ( ) α + β = + =0, α=, β= Y()= + = Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 4

25 Pertanto la traformata invera di Y() i crive: y ( t ) = t + co t ent (t). Evidentemente lo teo eercizio i può riolvere applicando il principio di ovrappoizione degli effetti (l equazione è lineare) e ricordando che: y(t) = y f(t) + y l(t) evoluzione forzata evoluzione libera dove y f (t) è la oluzione del itema: () y f (t) + 4 y f(t) = 4 t y f (0 ) = 0 () y f (0 ) = 0 e y l (t) è la oluzione del itema: () y l (t) + 4 y l(t) = 0 y(0 l ) =. () y l (0 ) = 0 Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 5

26 Si ha: Y()+ f 4 Y() 4 f = 4 Y() f = 4 4 α + β Y f () = = ( + ) ( ) ( ) ( + ) ed i coefficienti i determinano con i oliti metodi: 4 = = ( +4 ) = Y f() = Y f () = = = = α + β = + =0, α=0, β=-. +4 Y()= f - +4 per cui la traformata invera è: y f (t) = t ent (t). Inoltre i ha: - () - Y l()+ 4 Y l() - y l(0 ) - y l (0 )=0 Y l() = + 4 Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 6

27 per cui la traformata invera è: y(t) l ( ) = cot (t). e dunque y(t) = y f(t) + y l(t) = t + cot ent (t). Eempio Applichiamo la traformata di Laplace ai itemi di equazioni differenziali. ( ) 3 x(t) ( ) x ( t ) x ( t ) = x(t) - 3 y(t) = ( ) y(t) ( ) y ( t ) y ( t ) = - x(t) + y(t) - x(0 ) = x(0 ) 8 y(0 ) = 3 = - y(0 ) 3 Traformando econdo Laplace i ha: quindi - ( ) X() - x(0 ) = X() - 3 Y() X() + 3 Y() = x(0 ) = Y() - y(0 ) = - X() + Y() X() + ( ) Y() = y(0 ) = 3 - Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 7

28 3 X() 8 = Y() 3 da cui, invertendo la matrice: X() = Y() = quindi X() = Y() L'epanione in fratti emplici è dunque: 8-7 ( - 4)( +) 3 -. ( - 4)( +) X() = Y() = 8-7 ( - 4)( +) = + = = 3 + ( - 4)( +) = + 5 Antitraformando econdo Laplace i ottiene la oluzione del itema: x( t ) = y( t ) = 4t -t ( 3 e + 5 e ) (t) 4t -t ( e + 5 e ) (t) Copyright 006 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 8