Diagramma circolare di un motore asincrono trifase

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1 Diagramma circolare di un motore aincrono trifae l diagramma circolare è un diagramma che permette di leggere tutte le grandezze del motore aincrono trifae (potenza rea, perdite nel ferro, coppia motrice, ecc.) in qualiai condizione di funzionamento. Per cotruire il diagramma circolare biogna prendere in coniderazione il circuito elettrico equivalente del motore aincrono trifae, tracurando la caduta di tenione ull impedenza Z. 0 R/ () U R0 0 E E() () fig., circuito equivalente. l circuito equivalente riportato è un circuito intermedio ripetto a quello di partenza, dove tutte le grandezze del econdario ono funzione dello corrimento, e quello finale, dove la ola grandezza in funzione dello corrimento è la reitenza R(). 0 R () U R0 0 E E() () fig., circuito equivalente di partenza. R L impedenza del circuito rotorico, riportato in fig., riulta: Z = + J (), alla quale corriponde il eguente triangolo: Z() () ψ R/ fig. 3, triangolo dell impedenza rotorica. L impedenza tatorica è tata tracurata, come già detto, perché per diegnare il diagramma circolare biogna che ia ripettata l uguaglianza: U = E. Pagina di 7

2 Si parte cotruendo il diagramma vettoriale a vuoto del motore aincrono trifae, tenendo preente = + 0 a µ le formule: y0 = U, 0 dove o è la corrente aorbita a vuoto, a è la corrente che attravera la reitenza R 0 o corrente di perdita (totalmente reitiva e quindi in fae con la tenione U ) e µ è la corrente che attravera la reattanza o o corrente magnetizzante (totalmente induttiva e quindi in ritardo di 90 ulla tenione U ). fig. 4, diagramma vettoriale di un motore aincrono trifae. NOTA ulla dipoizione di o, a e µ. E KNΦf Eendo la forza elettromotrice E data dalla formula =, anche il fluo Φ deve eere cotante nelle varie condizioni di funzionamento altrimenti E varierebbe. Queto non arebbe poibile perché U = E con U la tenione di alimentazione del motore aincrono trifae, che per noi è anch ea una cotante. La forza elettromotrice E è rappreentata da un vettore in ritardo di 80 dalla tenione U =. Ponendo U ull ae poitivo U, come detto dalla relazione dell immaginario, 90 in anticipo ull ae reale, E arà di coneguenza ull ae negativo dell immaginario (come in figura). Come evidente dal circuito equivalente, E è in fae con E (vedi diegno), ma varia il E modulo. nfatti, i due moduli ono legati dalla relazione: E () E = dove n è il n rapporto pire del circuito equivalente del motore aincrono trifae, perché i ricorda che queto circuito corriponde al circuito equivalente del traformatore. fig. 5, diagramma vettoriale di un motore aincrono trifae. NOTA ulla dipoizione di U, E e E. Quando il motore aincrono trifae viene applicato un carico, cioè viene applicata una coppia reitente all albero, il motore rallenta. l valore dello corrimento, la frazione di giri che perde il n n Ω Ω rotore per ogni giro del campo tatorico data della formula = =, non è più uguale n Ω a zero. Corripondentemente, a caua delle linee del campo magnetico che il rotore taglia (v. principio di funzionamento di un motore aincrono trifae), i genera una corrente () definita Pagina di 7

3 dalla relazione: () al vettore () E() =. Queta corrente ( ) R + J () E, definito dalla formula: = E (), () riulta in ritardo di un angolo ψ ripetto ψ = arctan. R () fig. 6, vettori ( ) e E (). genera una forza magnetomotrice che i oppone a quella generata da µ, variando il fluo magnetico Φ. Queta variazione del fluo non è poibile, U arebbe divero da E, allora viene aorbita una corrente tale da generare una terza forza magnetomotrice che annulli quella generata da (). ' La corrente ' deve avere vero e direzione tale da generare una forza magnetomotrice di ugual valore ma di vero contrario, cioè k N ' = k N ( ). Eendo le due correnti gli unici parametri che incidono u direzione e vero, ono vettori, quete devono hanno la tea direzione e vero oppoto: fig. 7, vettori e. n pratica queta corrente aumenterebbe la caduta di tenione u Z, variando quindi anche E, ma l impedenza detta viene tracurata per ottenere le condizioni necearie per il diegno del diagramma circolare. Pagina 3 di 7

4 È poibile dimotrare che l etremo del vettore ( ) (giallo), al variare dello corrimento, decriva una emicirconferenza (verde) di diametro P ( )O, corripondente al vettore ( ). l valore di detto vettore è data dalla formula precedentemente detta al riguardo di E ( ), () ( ) =. R + J () diegno del diagramma circolare. Nel cao dello corrimento uguale a infinito la frazione R () () E tende a zero, e diviene quindi: ( ) =. Un vettore di J valore definito e in ritardo di 90 ul vettore E, come oervabile dal diegno. È prea in coniderazione la parte al di otto dell ae reale, l unica che è di notro interee per il Prendendo in eame la formula Per calcolare il modulo del vettore ( ) E () () E() = =, e per le proprietà delle frazioni, Z () () R + () Eendo () E () il modulo del vettore ( ) () () E() ( ) = () R + () +, allora: = R () ( ) i arriva alla formula: E() ( ) =. R () + () () () noltre =, cioè il eno dell angolo ψ R Z() in funzione dello corrimento + () ( inψ () ), vedi il triangolo dell impedenza rotorica riportato precedentemente. Riportando queti riultati nell epreione: ( ) = inψ ( ) ( ). Quindi il triangolo formato dai punti O, P e P ( ), ovvero l origine degli ai, il vertice del vettore e il vertice del vettore ( ), è un triangolo rettangolo. Si appia che ogni triangolo rettangolo è empre incrivibile in una emicirconferenza e la ua ipotenua è il diametro di tale emicirconferenza. Quindi variando il vettore i ottiene un nuovo triangolo, ma empre appartenente a queto cerchio perché il valore di ( ) non varia, perché non dipendente dallo corrimento. Per la relazione detta prima (i vettori l etremo di ' 0 ' e hanno la tea direzione e vero oppoto) anche ' decrive una emicirconferenza al variare dello corrimento. Ricordando che = + i ottiene il diagramma circolare come in figura: Pagina 4 di 7

5 vettore 0 e Blu la circonferenza. fig. 9, dove col colore Arancio i indica il vettore, Verde il vettore, Giallo il Per qualiai condizione di carico con 0 il punto P (etremo del vettore corrente aorbita nella condizione di carico coniderata) giace ull orco di circonferenza compreo tra P 0 (funzionamento a vuoto, = 0 ) e P CC (funzionamento a rotore bloccato, = CC ). Prendendo in coniderazione la figura diegnata opra, il vettore è diegnato in giallo faato ripetto alla tenione U di un angolo ϕ, e il egmento AB diegnato in verde è la proiezione del vettore ull ae delle ordinate. Per i teoremi della trigonometria AB = coϕ. Si appia inoltre che la potenza aorbita da un motore aincrono trifae è Pa = 3 U coϕ. Nel cao in cui la cala delle correnti ia cm = x [Ampere], è ufficiente far corripondere al vettore AB la cala cm = 3 Ux [Watt] per leggere direttamente la potenza aorbita nelle varie condizioni di carico eendo la tenione U una cotante. Un altro punto particolare è quello a vuoto ( A B 0 0 ), infatti, la potenza aorbita in queta ituazione corriponde alle perdite meccaniche e alle perdite nel ferro tatoriche. Biogna fare attenzione a riportare i valori depurati dalla perdita ulla reitenza tatorica, anche e di piccolo valore. l egmento CB è la proiezione del egmento A B, con 0 0 queto tiamo ad indicare che quete perdite di potenza miurate a vuoto non variano col carico. Pagina 5 di 7

6 Analogamente a quanto detto prendiamo in eame il punto A cc che corriponde al funzionamento in cortocircuito (o a rotore bloccato); in queto funzionamento la corrente aorbita cc (in giallo) è la corrente di cortocircuito a tenione nominale. Quindi il egmento A B CC CC corriponde, nella cala delle potenze, alla potenza aorbita a rotore bloccato ( ACCBCC = CC coϕcc PCC = 3 U coϕcc ), compota da ole potenze pere. n queto cao il egmento KB CC corriponde con buona approimazione alle perdite nel ferro tatoriche e rotoriche perché: le perdite per attrito e ventilazione (perdite meccaniche) ono nulle, infatti, dipendono dalla velocità di rotazione che in queto cao è nulla; le perdite nel ferro rotoriche non ono tracurabili, perché dipendono dal quadrato della frequenza rotorica la quale è definita come f = f = f. La parte rimanente, tolto uddetto egmento, corriponde A CC K, che rappreenta le perdite per effetto Joule ulla reitenza tatorica e rotorica: P jcc = ACCK = PjCC + PjCC. Nota la miura di 3 reitenza tatorica è poibile ricavare PjCC = Rmi CC e riportare, nella cala delle potenze, il egmento HK. l rimanente egmento A CC H, per differenza, corriponde alle P jcc. Tracciando le emirette a (gialla) e b (verde) paanti per i punto A 0 e A CC una, A 0 e H l altra, il diagramma circolare è completato. Pagina 6 di 7

7 Per leggere le grandezze del motore aincrono trifae ul diagramma circolare biogna baari u quete rette:. La emiretta c (blu) è la retta delle potenze aorbite, in quanto i vari egmenti come AB, con la dovuta cala (cm = 3 Ux [Watt]), indicano la potenza aorbita.. La emiretta b (verde) è la retta delle potenze tramee al motore (P t ). nfatti, con buona approimazione (cioè ritenendo le potenze pere per ventilazione e attrito appartenenti allo tatore), i egmenti come AE indicano la potenza rimanente dopo aver tolto alla potenza totale le perdite tatoriche ( CB perdite nel ferro tatoriche e perdite per attrito e ventilazione, EC perdite nel rame tatoriche). 3. La emiretta a (gialla) è la retta delle potenze ree. nfatti, togliendo alla miura della potenza tramea il egmento DE, che rappreenta le perdite Joule rotoriche, rimane la potenza rea, la potenza pera per attrito e ventilazione è già tata ottratta con il egmento CB. Pr 4. l rendimento, per definizione, è il rapporto tra potenza rea e potenza aorbita ( η = ), Pa eendo la potenza rea uguale al egmento AD e la potenza aorbita uguale al egmento AD 3 U AD AB, il loro rapporto è: η = =. AB 3 U AB 5. Come accennato al punto, la coppia viluppata (o motrice) è proporzionale alla potenza Pt 3 V x tramea. Quindi, con un adeguata cala ( Tv = = [Nm]), è poibile miurare Ω Ω la coppia viluppata ulla emiretta b (verde), chiamata anche retta delle coppie. Pagina 7 di 7

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