Slide del corso di. Controllo digitale

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1 Slide del coro di Controllo digitale Coro di Laurea in Ingegneria Informatica e dell Informazione Univerità di Siena, Dip. Ing. dell Informazione e Sc. Matematiche Parte III Sitemi a dati campionati Gianni Bianchini c Il preente documento è rilaciato nei termini di licenze Creative Common come indicato u giannibi/teaching 1

2 MODELLISTICA DEL CAMPIONAMENTO Obiettivo. Determinare un formalimo unico, nel dominio della traformata di Laplace, per analizzare le proprietà dei egnali campionati e dei itemi dinamici che integrano componenti a tempo continuo(e. impianto), componenti a tempo dicreto (e. controllore) e dipoitivi di interfacciamento (campionatore, ZOH) Converione A/D. Modello del campionamento a modulazione impuliva Modulando un egnale f(t) con un treno di impuli di Dirac attivi agli itanti t = kt, i ottiene un egnale impulivo f (t) f (t) = f(t) δ(t kt) = f(kt)δ(t kt) k=0 f (t) non va coniderato un egnale fiico ma olo una rappreentazione alternativa della equenza f(kt), infatti dipende biunivocamente da queta. Traformata di Laplace di f (t) F () = + 0 f (t)e t dt = 0 k=0 + k=0 f(kt)δ(t kt)e t = f(kt)e kt Relazione con la traformata zeta del egnale campionato f k = f(kt) k=0 F () = F(z) z=e T = Z[f k ] z=e T La traformata di Laplace F () di f (t) e la traformata zeta F(z) del egnale campionato f k i ottengono l una dall altra ponendo z = e T 2

3 MODELLISTICA DEL CAMPIONAMENTO Converione D/A. Modello del ricotruttore di ordine zero (ZOH) f h (t) f 2 f 0 f 1 T t f h (t) = f k, t [kt,(k +1)T) Coniderando i egnali campionati con i loro equivalenti impulivi, lo ZOH puòeerevitocomeunitemalinearecheadunimpuloδ(t), chemodella l impulo fiico dicreto δ k, riponde con un egnale di valore unitario attivo nell intervallo [0, T), i.e. con il egnale g ZOH (t) = 1(t) 1(t T) e dunque la funzione di traferimento (traformata della ripota impuliva) vale G ZOH () = L[g ZOH (t)] = 1 e T La traformata di Laplace del egnale ricotruito da una equenza {f k } vale allora F h () = G ZOH ()F () dove F () è la traformata di Laplace dell equivalente impulivo di f k F () = F(z) z=e T = Z[f k ] z=e T 3

4 MODELLISTICA DEL CAMPIONAMENTO Converione A/D (campionamento) f(t) A/D f k Operaz. fiica f(t) Converione D/A (ZOH) Mod. Imp. f (t) Modello f k ZOH f h (t) Operaz.fiica f (t) G ZOH () f h (t) Modello Importante. Ricordiamo che il egnale f (t) non è un egnale fiico ma un egnale fittizio, introdotto allo copo di ottenere un modello puramente a tempo continuo ia dell operazione di campionamento (come modulazione impuliva) ia dello ZOH (come funzione di traferimento), che ono entrambe operazioni ibride, ovvero che coinvolgono quantità ia continue ia dicrete 4

5 MODELLISTICA DEL CAMPIONAMENTO Funzioni di traferimento TD. Modello di una f.d.t. a tempo dicreto G(z): determinare una f.d.t. a tempo continuo G () in modo che la relazione Y () = G ()U () eprima Y(z) = G(z)U(z) u k G(z) y k Fiico u (t) G () y (t) Modello Sia {g k } = Z 1 [G(z)] la ripota impuliva di G(z). Allora Y(z) = G(z)U(z) + y k z k = + g k z k + u k z k k=0 k=0 k=0 Ponendo z = e T, i ottiene Y () = G ()U () dove G () = + g k e kt k=0 pertanto G () rappreenta G(z) nel modello a modulazione impuliva. Adeo è poibile rappreentare con il formalimo della traformata di Laplace itemi che integrano f.d.t. TC e TD, campionatori e ricotruttori r(t) e(t) e k u k u h (t) y(t) C(z) ZOH P() _ r(t) e(t) u (t) u h (t) y(t) C () G P() e ZOH () (t) _ Fiico Ideale 5

6 MODELLISTICA DEL CAMPIONAMENTO Proprietà. La verione campionata y k (y (t)) della convoluzione y(t) tra un egnale continuo g(t) ed un egnale impulivo u (t) dipende olo dai campioni g k = g(kt) di g(t), e in particolare riulta Y () = [G()U ()] = G ()U () Infatti, eendo u (t) = + i=0 u i δ(t it), riulta e quindi y(t) = g(t) u (t) = 0 g(t τ) + u i δ(τ it)dτ = + g(t it)u i i=0 y k = y(kt) = g k i u i che dipende olo dai campioni di g(t). Inoltre, introducendo le traformate zeta dei ripettivi egnali, i ha Y(z) = G(z)U(z) ovvero, ponendo z = e T, i=0 Y () = G ()U () Oervazione. Il riultato precedente i traduce nel fatto che in un epreione del tipo [A()B ()], che nel dominio di Laplace rappreenta il campionamento della convoluzione di a(t) e b (t), la quantità B () può eere portata fuori dall operazione di campionamento [ ], i.e., [A()B ()] = A ()B (). Si noti bene che e A() e B() ono entrambi egnali continui, allora [A()B()] A ()B ()! i=0 6

7 SISTEMI A DATI CAMPIONATI Eempio 1. Si conideri lo chema in figura U() U () G() Y() Y () Poiché la ripota y(t) è la convoluzione di g(t) con u (t), in bae al riultato precedente i ha Y () = [G()U ()] = G ()U () o equivalentemente Y(z) = G(z)U(z). In queto cao eite quindi una funzione di traferimento in z tra i campioni u k di u(t) e quelli y k di y(t). Eempio 2. Si conideri adeo lo chema U() Y() Y () G() Per queto chema riulta Y () = [G()U()] ovvero Y(z) = Z[G()U()] e non è poibile montare l epreione di Y(z) in qualcoa che contenga G(z) e U(z). In altre parole i campioni dell ucita dipendono dall intero andamento continuo di g(t) e u(t) e non olo dai loro campioni come nel cao precedente. In generale, in un itema a dati campionati con ingrei continui è poibile definire una funzione di traferimento tra l ingreo e l ucita campionati olo nel cao in cui iano olo i campioni dell ingreo a determinare la ripota, ovvero olo quando l ingreo attravera un campionatore prima di eere elaborato da un qualunque blocco. 7

8 SISTEMI A DATI CAMPIONATI r(t) e(t) e k u k u h (t) y(t) C(z) ZOH P() _ Problema. Dato un itema di controllo digitale in retroazione o comunque un itema interconneo in cui ono preenti elementi a tempo dicreto, elementi a tempo continuo e convertitori/mantenitori, i deidera Calcolare l epreione della ripota in tutti i egnali del itema, noti gli ingrei Calcolare, e poibile, le funzioni di traferimento in z tra i egnali d ingreo, campionati, ed i egnali di ucita, anch ei campionati N.B. In un itema in cui iano preenti egnali a tempo continuo e egnali campionati, non è poibile in generale determinare la funzione di traferimento tra eventuali egnali di ingreo a tempo continuo ed eventuali egnali di ucita a tempo continuo. Le relazioni che legano queti egnali ono infatti in genere tempo varianti e quindi non eprimibili come funzioni di traferimento. Eempio u(t) u k = u(kt) ZOH u h (t) Dato un qualunque egnale u(t) a cui il itema fornice la ripota u h (t), la ripota a u(t δ) (con δ mt) non vale u h (t δ)! 8

9 EQUIVALENTE CAMPIONATO CON ZOH Obiettivo. Determinare il modello equivalente a tempo dicreto di un itema dinamico a tempo continuo G() interfacciato con un certo dipoitivo digitale D, i.e., un modello del itema come viene vito dal dipoitivo D. L ingreo del itema a tempo continuo è rappreentato dalla ricotruzione u h (t) (ad e. con ZOH) di un egnale di ingreo u k fornito da D, mentre la corripondente ucita y(t) viene campionata nella ucceione y k che viene elaborata da D. u k, U(z) u h (t) y(t) D/A G() A/D U h () Y() y k, Y(z) u k, U(z) G d (z) y k, Y(z) Motivazione: determinare il modello equivalente a tempo dicreto P d (z) di un impianto continuo P() inerito in un itema di controllo digitale, in modo da poter tudiare il problema del controllo in un dominio puramente dicreto r k e k C(z) u k u h (t) ZOH _ P() y(t) A/D y k P d (z) 9

10 EQUIVALENTE CAMPIONATO CON ZOH Rappreentazione equivalente U () G ZOH () G() A/D U h () Y() Y () Si ha Y() = G ZOH ()G()U () Y () = [G ZOH ()G()U ()] = [G ZOH ()G()] U () = (1 e T ) G() U () Poiché L 1 [1 e T ] = δ(t) δ(t T) (funzione impuliva), il termine 1 e T ece dall operazione [ ], dunque Paando alla traformata zeta Y () = (1 e T ) Y(z) = (1 z 1 )Z G() G() Dunque riulta definita la funzione di traferimento Y(z) U(z) = G d(z) = (1 z 1 )Z U () U(z) G() Il itema decritto da G d (z) è detto equivalente a dati campionati (con ZOH) del itema decritto da G() N.B. L equivalente campionato, in generale, dipende dal tipo di mantenitore uato (i può ad eempio calcolare l equivalente campionato con FOH, divero da quello con ZOH) 10

11 EQUIVALENTE CAMPIONATO CON ZOH u k, U(z) ZOH G() A/D y k, Y(z) u k, U(z) G d (z) y k, Y(z) Procedimento per il calcolo del modello equivalente a dati campionati con ZOH 1. Determinare l antitraformata di Laplace g(t) = L 1 [G()/] 2. Determinare la traformata zeta G(z) = Z[ g k ] = Z[ g(kt)] 3. Calcolare G d (z) = (1 z 1 ) G(z) Eempi G() = 1 g(t) = t1(t) g k = kt 1 k G(z) = Tz (z 1) 2 G d(z) = T z 1 G() = 1 g(t) = t (t) g k = (kt)2 1 k 2 G(z) = T2 z(z +1) 2 (z 1) G d(z) = T2 (z +1) 3 2 (z 1) 2 11

12 EQUIVALENTE CAMPIONATO CON ZOH Cao di itemi con ritardo G() = e τ G () Il ritardo i può comporre in τ = mt +δ ; m 0 intero, 0 δ < T Calcolo del modello a dati campionati equivalente G d (z) = (1 z 1 )Z G() = (1 z 1 )Z G () dove g (t) = L 1 [G ()/] Eempio = z m 1 (1 z 1 ) = z m 1 (1 z 1 ) e τ = (1 z 1 )Z[ g (t τ) t=kt ] = z m 1 (1 z 1 )Z[ g (kt +(T δ)) 1 k ] G() = e τ = e mt e δ 2 2 G d (z) = z m 1 (1 z 1 )Z Z (kt)2 2 T k G () = 1 3 (kt +(T δ))2 2 +(T δ)z[kt 1 k ]+ 1 k (T δ)2 2 z(z +1) (z 1) +(T δ) Tz (T δ)2 + 3 (z 1) 2 2 Z[1 k ] z z 1 12

13 SCHEMI A BLOCCHI A DATI CAMPIONATI Problema. Dato uno chema a blocchi a dati campionati, determinare la funzione di traferimento tra ingreo ed ucita campionati (e eite) o almeno l epreione dell ucita noto l ingreo Eempio. Sitema di controllo digitale in retroazione r(t) e(t) e k u k u h (t) y(t) C(z) ZOH P() _ Paaggio alla rappreentazione equivalente r(t) e(t) u (t) u h (t) y(t) C () G P() e ZOH () (t) _ Calcolo della funzione di traferimento tra i campioni del riferimento e dell ucita: W () = Y ()/R () E() = R() C ()G ZOH ()P()E () E () = R () [C ()G ZOH ()P()E ()] = R () C ()[G ZOH ()P()] E () E () = 1 1+C ()[G ZOH ()P()] R () 13

14 SCHEMI A BLOCCHI A DATI CAMPIONATI r(t) e(t) u (t) u h (t) y(t) C () G P() e ZOH () (t) _ Calcolo della funzione di traferimento (egue) Y () = R () E () = C ()[G ZOH ()P()] 1+C ()[G ZOH ()P()] R () = L () 1+L () R () dove L () = C ()[G ZOH ()P()] = (1 e T )C () P() Paando alla traformata zeta Y(z) = L(z) 1+L(z) R(z) dove L(z) = (1 z 1 )C(z)Z P() W(z) = Y(z)/R(z) i ottiene anche calcolando il modello dicreto P d (z) dell impianto (con ZOH) e chiudendo l anello 14

15 SCHEMI A BLOCCHI A DATI CAMPIONATI Eempio d u (t) d y (t) r k e k C(z) _ u k ZOH P() A/D y k D u R E C () U ZOH P() _ D y A/D Y Si conideri l effetto di d u (t) e d y (t) La ripota a d u (t) dipende dal egnale che i ottiene filtrando d u (t) attravero P() e poi campionando, ovvero da [P()D u ()] La ripota a d y (t) dipende dal olo campionamento di d y (t), ovvero da Dy() Ci i attende che eita la funzione di traferimento Y ()/Dy() [Y(z)/D y (z)] ma non quella Y ()/Du(). Calcolo della ripota Y () = Y(z) = [P()D u ()] 1+C ()[G ZOH ()P()] C ()[G ZOH ()P()] D y() Z[P()D u ()] 1+C(z)(1 z 1 )Z[P()/] + 1 D 1+C(z)(1 z 1 y (z) )Z[P()/] } {{ } Y(z)/D y (z) 15

16 OSCILLAZIONI INTERPERIODO La f.d.t. W(z) di un itema di controllo digitale eprime la relazione tra i campioni del egnale di riferimento ed i campioni dell ucita. Tuttavia il egnale che i ha interee a controllare è l ucita analogica y(t), non quella campionata y k. E l ucita y(t) in generale varia tra due itanti di campionamento ucceivi. Le ocillazioni poono peritere anche quando la ripota negli itanti di campionamento va a regime Eempio (T = 1 ) P() = e z , C(z) = z z 0.028z z z Il controllore è progettato in modo che la ripota campionata del itema vada a regime dopo oli 2 itanti di campionamento (vedremo come i fa) Andamento della ripota analogica Calcolo delle ocillazioni interperiodo Simulazione mita tempo continuo/tempo dicreto (Scico/Simulink) Traformata zeta modificata (vedi elaborati) È neceario tenere conto di queto fenomeno in fae di progetto, perché può alterare notevolmente le pecifiche (ad e. la ovraelongazione) 16

17 EQUIVALENTE CAMPIONATO IN EQUAZIONI DI STATO u k ZOH Σ A/D y k u k Σ d y k Sitema lineare tazionario a tempo continuo in equazioni di tato Σ : ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Ripota nell intervallo [kt,(k +1)T) x((k +1)T) = e AT x(kt)+ (k+1)t kt y(kt) = Cx(kT) + Du k e A((k+1)T τ) B dτ u k N.B. Lo ZOH mantiene l ingreo a u(t) = u h (t) = u k in tutto l intervallo Modello equivalente a tempo dicreto con ZOH x k+1 = A d x k +B d u k y k = C d x k + D d u k dove A d = e AT ; B d = T 0 eaσ dσb; C d = C; D d = D 17

18 ALCUNE FUNZIONI SCILAB Equivalente campionato con ZOH e tempo di campionamento T I/S/O y=ylin( c,a,b,c,d); yd=dcr(y,t); Equivalente campionato con ZOH e tempo di campionamento T I/O y=ylin( c,numc,denc); yd=2tf(dcr(y,t)); N.B. dcr() retituice empre una rappreentazione I/S/O Equivalente campionato con ZOH di un itema con ritardo tau y=dcrdel(yc,tau,t) // dcrdel i trova in cd.ci 18