Corso Tecnologie dei Sistemi di Controllo. Controllo PID

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1 Coro Controllo PID Ing. Valerio Scordamaglia Univerità Mediterranea di Reggio Calabria, Loc. Feo di Vito, 896, RC, Italia D.I.M.E.T. : Dipartimento di Informatica, Matematica, Elettronica e Traporti

2 Struttura PID ideale Il controllo PID ha la eguente relazione ingreo-ucita: u( t) K e( t) K e( ) d K t P I D t K P, K I e K D ono cotanti potenzialmente nulle de() t dt K P è detto coefficiente dell azione proporzionale, K I è detto coefficiente dell azione integrale e K D è detto coefficiente dell azione derivativa. Un PID è un itema SISO, lineare, tazionario, a tempo continuo, improprio. Supponendo e(t )= è poibile crivere la relazione ingreo ucita nel dominio di Laplace: 2 K K K K R K K I D P I PID () P D L azione integrale garantice errore nullo a fronte di egnali di riferimento cotanti, mentre l azione derivativa introduce uno zero, che a ua volta genera un anticipo di fae e quindi una maggiore prontezza del itema di controllo. Lezione 7 Giugno 29

3 Struttura PID ideale Di eguito è riportato lo chema a blocchi di un PID ideale: R R R P I D KP K I K D Una divera rappreentazione dei PID è la eguente: 2 TITD TI RPID ( ) KP ( TD) KP T T I I T K / K T K / K I P I è detto tempo integrale e D D P è detto tempo derivativo Lezione 7 Giugno 29

4 Struttura PID reale Il PID ideale è un itema con due zeri a parte reale negativa ed un olo polo nell origine (improprio). Per queto motivo nella pratica l azione derivativa è ottenuta per mezzo della eguente funzione di traferimento: R K T K TD KD N K N a P D D D P N T dove N è celta in modo che il polo, aggiunto per la realizzabilità, ia all eterno della banda di frequenze di interee del controllo. Valori tipici ono da 5 a 2. Il PID in forma reale ha la eguente truttura: / D a TD KI KD RPID ( ) KP ( ) KP T T I D KD N K N P Lezione 7 Giugno 29

5 Phae (deg) Magnitude (db) Struttura PID reale 6 Di eguito è riportato il diagramma di bode del PID ideale (blu) e del PID reale al variare di N. Bode Diagram PID ideale PID reale N=2 N=4 N= N=9 N=7 N=6.5 N=6 N= Frequency (rad/ec) Lezione 7 Giugno 29

6 Cai Particolari a TD KI KD RPID ( ) KP ( ) KP T T I D KD N K N P Regolatore Proporzionale. Ponendo K I =K D =,il PID può eere utilizzato come un emplice regolatore proporzionale con funzione di traferimento R P =K P. L impiego di un regolatore proporzionale è normalmente limitato al controllo di procei aintoticamente tabili nel cao in cui le pretazioni non rendano neceario l inerimento di azioni integrali Regolatore Integrale. Ponendo K P =K D =,il PID eercita un azione di tipo integrale. Queti regolatori ono utilizzati quando è neceario un azione integrale per il oddifacimento dei requiiti ull errore a tranitorio eaurito, ma non i richiedono pretazioni elevate in termini di velocità di ripota del itema. Regolatore PI. Ponendo K D = il PID aume la eguente truttura (rete ritardatrice) KP KI TI RPI () KP T I. Lezione 7 Giugno 29

7 Cai Particolari.. con un polo nell origine e uno zero in =-/T I. I regolatori PI vengono impiegati quando è indipenabile l azione integrale per le pretazioni tatiche, ma è necearia anche la preenza di uno zero per avere una banda paante più ampia ripetto a quella ottenibile con un emplice regolatore integrale. Regolatore PD. Ponendo K I =, il PID aume la eguente truttura (rete anticipatrice). KD KP KP KD RPD () KP con K = D K N In generale l impiego di un imile controllore è tipico in quei cai in cui non vi iano problemi di tabilità o di pretazioni tatiche, ma ia neceario ottenere la banda paante più ampia poibile Regolatore PID. I PID hanno un polo nell origine del piano compleo e nella loro forma ideale, due zeri in poizione (particolare tipo di rete a ella): T T ( T 4 T ) I I I D 2TT I D Se T I 4T D gli zeri ono reali. Quando T I =4T D gli zeri ono coincidenti =-/2T D. Quet ultima celta è peo effettuata per emplificare la taratura automatica P Lezione 7 Giugno 29

8 Limitazione dell azione derivativa Nel claico chema di controllo in retroazione, l azione derivativa è effettuata ull errore e. In queto cao, in preenza di uno un riferimento dicontinuo (e. gradino), l ucita del derivatore e di coneguenza la variabile di controllo aume un andamento di tipo impulivo. Per evitare poibili problemi, frequentemente l azione derivativa è eercitata ulla ola variabile di ucita y. Lezione 7 Giugno 29

9 Magnitude (db) Phae (deg) Eempio (Bolzern E. 4.) Si conideri la eguente f.d.t: Siano: 5 G () 3 KP 2 2 KI RPID ( ) L( ) RPID ( ) G( ) KD Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/ec), Pm = 5.8 deg (at.786 rad/ec) Lezione 7 Giugno Frequency (rad/ec)

10 Magnitude (db) Phae (deg) Eempio (Bolzern E. 4.) KP 2 KI a RPID ( ) 2... KD. N 5 a... L( ) R ( ) G( ) 5 PID Bode Diagram Gm = 2.4 db (at 3.53 rad/ec), Pm = 5.4 deg (at.84 rad/ec) (. )( ) Lezione 7 Giugno Frequency (rad/ec)

11 Eempio (Bolzern E. 4.) R a PID ( ) Lezione 7 Giugno 29

12 Eempio (Bolzern E. 4.) R a PID ( ) Lezione 7 Giugno 29

13 Phae (deg) Magnitude (db) Limitazione dell azione derivativa Per quanto riguarda la celta del parametro N, i oervi che al crecere di N il PID reale tende al comportamento del PID ideale. Aumendo che ad alte frequenze il modulo della funzione di anello ia piccolo, è opportuno mantenere il modulo della f.d.t del PID il più bao poibile per evitare problemi di amplificazione di poibili diturbi. Per quete ragioni è preferibile individuare il più piccolo N poibile compatibile con l eigenza di porre il polo aggiuntivo fuori dalla banda di interee 6 Bode Diagram PID ideale PID reale N=2 N=4 N= N=9 N=7 N=6.5 N=6 N= Frequency (rad/ec) Lezione 7 Giugno 29

14 Eempio (Bolzern E. 4.2) Si conideri la eguente f.d.t: Siano: G () 3 KP 2 2 KI RPID ( ) L( ) RPID ( ) G( ) KD 4.5 N= N= Lezione 7 Giugno 29

15 Problema del Wind Up La preenza combinata dell azione integrale e di una aturazione dovuta all attuatore provoca un effetto di tipo non lineare** che può deteriorare le pretazioni del itema di controllo. Sia G() la funzione di traferimento del proceo. Si conideri un controllore puramente integrale interconneo come in figura. Si upponga che l attuatore con ingreo u e ucita m ia decritto dalla relazione: um, u( t) u m( t) u( t), u( t) u um, u( t) u M M M Lezione 7 Giugno 29

16 Magnitude (db) Phae (deg) Eempio (Bolzern E. 4.3) Si conideri la eguente f.d.t: Siano: G () Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/ec), Pm = 38.7 deg (at.25 rad/ec) 2 2 KI 2 RPID ( ) L( ) RPID ( ) G( ) , ut ( ).5 m( t) u( t), u( t).5.5, ut ( ) Frequency (rad/ec) In aenza di aturazione Lezione 7 Giugno 29

17 Eempio (Bolzern E. 4.3) u M = u M =.5 riferimento Lezione 7 Giugno 29

18 Eempio (Bolzern E. 4.3) e u m Lezione 7 Giugno 29

19 Schema Anti Wind-Up Il fenomeno del wind up può eere attenuato. La oluzione maggiormente utilizzata in letteratura prevede di alimentare il regolatore anche con il egnale a valle della aturazione. Si conideri un attuatore con le eguenti aturazioni e lo chema di controllo in figura: um, u( t) u m( t) u( t), u( t) u um, u( t) u M M M K P K I K Lezione 7 Giugno 29

20 Schema Anti Wind-Up Se Se u() t um KI e u KP e u( t) u e. m u M M KI K KI K u KP e e KP e u um... K KI K KI K... u u K e u u K e e u K K K P M P M. Il terzo termine tende ad u M con dinamica del primo ordine 2. A tranitorio eaurito e e cambia egno u rientra velocemente in zona lineare Lezione 7 Giugno 29

21 Eempio (Bolzern E. 4.5) Si conideri la eguente f.d.t: Siano: K K P I G () 2 2 RPID ( ) 2 2.5, ut ( ).5 m( t) u( t), u( t).5.5, ut ( ) u e m al varioare di K nell intervallo [.:] Al Crecere di K, il controllore ece prima dalla condizione di non linearità dovuta al win-up Lezione 7 Giugno 29

22 Eempio (Bolzern E. 4.5) y e r al varioare di K nell intervallo [.:] Lezione 7 Giugno 29

23 Coro Controllo PID Ing. Valerio Scordamaglia Univerità Mediterranea di Reggio Calabria, Loc. Feo di Vito, 896, RC, Italia D.I.M.E.T. : Dipartimento di Informatica, Matematica, Elettronica e Traporti