FONDAMENTI DI SISTEMI DINAMICI (prof. Vincenzo LIPPIELLO A.A ) Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni - II anno

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1 Voto Cognome/Nome & No. Matricola FONDAMENTI DI SISTEMI DINAMICI (prof. Vincenzo LIPPIELLO A.A ) Coro di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni - II anno PROVA DEL 8 SETTEMBRE 26 Ripondere in maniera chiara e intetica ai eguenti queiti, indicando Cognome e Nome u ogni foglio manocritto. La traccia, debitamente compilata, va conegnata inieme al compito volto. Non è conentito conultare appunti o altro materiale. È aolutamente vietata ogni forma di collaborazione, pena l annullamento della prova. Dato il itema rappreentato in figura, calcolare: u 2 u + e y + 2y +.5ky 2 e S y + v y 2 + y 2 v S2 y 2 a) Una rappreentazione i--u del itema, i punti di equilibrio ed il modello linearizzato in cao di ingreo cotante a celta. Si celga un modello linearizzato corripondente ad un punto di equilibrio e lo i ui per riolvere i punti ucceivi. [5 punti] b) I valori di k che ne aicurino l aintoticamente tabilità ed i valori di k che determinano la preenza di oli poli reali nel itema. [5 punti] c) Studiare la raggiungibilità e l oervabilità al variare di k. [5 punti] d) Fiato un valore di k che garantica l aintotica tabilità, la ripota agli ingrei u δ ( t), u 2 in(5t). [ punti] e) Tracciare i diagrammi di Bode aintotici (un diagramma modulo-fae per ciacuna coppia ingreoucita) e valutare le corripondenti frequenze di taglio. [5 punti]

2 FONDAMENTI DI SISTEMI DINAMICI (prof. Vincenzo LIPPIELLO A.A ) Univerità degli Studi di Napoli Federico II Coro di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni - II anno SVOLGIMENTO DELLA PROVA DEL 8 SETTEMBRE 26 a) Entrambi i due otto-itemi che compongono il itema in eame ono decritti mediante le relazioni differenziali ingreo-ucita. Poto x y, x 2 ẏ e x 3 y 2, e coniderato che e u y e v u 2 + y, riulta ẋ x 2 ẋ 2 x 2 kx2 2x 2 + u ẋ 3 x x 3 + u 2 () y x y 2 x 3 Il itema è del terzo ordine, ha due ingrei (u, u 2 ) e due ucite (y, y 2 ), è non lineare (nello tato) ed è trettamente proprio. Poto x [ ], [ ], [ ], x x 2 x 3 u u u 2 e y y y 2 il itema () può eere infatti decritto dalla eguente epreione compatta { ẋ f(x) + Bu (2) y Cx dove B e C ū 2 ], i corripondenti punti di equi- Con riferimento ad un ingreo cotante ū [ ū librio del itema i calcolano ponendo ẋ, ovvero x 2 x 2 k x2 2 x 2 + ū x x 3 + ū 2 ȳ x ȳ 2 x 3 [ ]. k x x 2ū x 2 x 3 x + ū 2 ȳ x ȳ 2 x 3 Dalla prima equazione i ricavano due oluzioni, ovvero due punti di equilibrio caratterizzati da: x ( ± ) + 2kū, con k. k (3)

3 Scegliamo come ingreo di riferimento u, da cui dicendono i due punti di equilibrio x, a cui corriponde una ucita di equilibrio anch ea nulla (ȳ ), e x [ ], 2/k 2/k a cui corriponde l ucita di equilibrio ȳ [ 2/k 2/k ]. Per il calcolo del modello linearizzato in corripondenza dei punti di equilibrio trovati è ufficiente il calcolo della matrice della dinamica, in quanto le altre matrici ono già tate ricavate nella (2). Dalla teoria appiamo che A f x x x k x 2. (4) Poto u ū + δu ( δu per l ingreo cotante celto), x x + δx e y ȳ + δy, il modello linearizzato cercato riulta eere il eguente: { δẋ Aδx + Bδu (5) δy Cδx. b) Sotituendo i valori corripondenti ai due punti di equilibrio i oerva che per il particolare ingreo celto, entrambe le matrici della dinamica non dipendono dalla cotante k (quindi anche i corripondenti autovalori non aranno funzione del parametro k): A f 2 e A x x x f 2. x x x Gli autovalori della matrice A riultano dalla oluzione del relativo polinomio caratteritico p(λ) λi A (λ + )(λ 2 + 2λ + ), ovvero λ,2,3 (tre poli coincidenti reali e negativi). Queto ignifica che il itema linearizzato intorno al punto di equilibrio x è aintoticamente tabile, ovvero che lo teo punto di equilibrio x è aintoticamente tabile per ogni valore di k. La verifica della tabilità del econdo punto di equilibrio dimotrerà facilmente che tale punto è intabile in quanto la matrice A è dotata di un autovalore reale poitivo. Per la oluzione dei retanti punti della traccia i farà riferimento al punto di equilibrio tabile x (i noti che in queto cao x δx e y δy, mentre quete uguaglianze non ono valide in generale) e i porrà A A. Si invita lo tudente ad eercitari coniderando un ingreo cotante differente, ad eempio ū [ /2 ], e a rifare i paaggi precedenti. Si oerverà che le matrici della dinamica dipenderanno dalla celta del parametro k, che quindi ne determinarà la tabilità e la collocazione dei corripondenti autovalori. c) Dato che neuna delle matrici del itema dipende dal parametro k, anche le proprietà di raggiungibilità ed oervabilità aranno indipendenti dal parametro k. 2

4 Verifichiamo quindi dapprima la proprietà di raggiungibilità cotruendo la matrice di raggiungibilità per il punto di equilibrio celto (x ): M r [ B AB A 2 B ] 2 2 3, (6) che riulta eere evidentemente di rango pieno. Il itema linearizzato è quindi completamente raggiungibile nell intorno del punto di equilibrio celto. Verifichiamo analogamente la proprietà di oervabilità cotruendo la matrice di oervabilità: ] M o [C A C A 2 C 2, (7) che riulta eere anch ea di rango pieno. Il itema linearizzato è quindi completamente oervabile nell intorno del punto di equilibrio celto. d) Per il punto di equilibrio celto, come piegato, non è importante la celta di del parametro k in quanto eo è aente nel itema linearizzato riultante. Nell ipotei di piccoli egnali ripetto al punto di equilibrio celto, ovvero che il modello linearizzato ia valido per gli ingrei aegnati, oerviamo che l ingreo u (t) δ ( t) δ (t) u u (t). Per il principio di ovrappoizione degli effetti, valido per il olo modello linearizzato, l ucita compleiva del itema arà la combinazione lineare delle ripote agli ingrei u (ingreo cotante), u (t) (gradino unitario) ed u 2 (t) in(5t) (egnale inuoidale). Procediamo quindi al calcolo eparato dei tre contributi. Cotruiamo dapprima la funzione di traferimento dell intero itema [ ] [ ] W () W () C(I + A) B W 2 () W 22 () (+) 2 (+) 3 +, (8) dove W ij () rappreenta la funzione di traferimento dall ingreo j all ucita i. La W 2 () in quanto l ucita y non dipende dall ingreo u 2 per ovvie ragioni topologiche del itema. La ripota all ingreo cotante u arà quindi pari a [ ] y y y 2 W () [ u ] [ W () W 2 () ] [ ]. (9) La ripota all ingreo u (t) δ (t) nel dominio di Laplace arà pari a [ ] {[ ]} [ Y Y () δ (t) ] ] () Y 2 W ()L W (). () () [ W () W 2 () La corripondente ripota nel dominio del tempo può eere calcolata mediante l antitraformazione della () come egue [ ] [ ] y y (t) (t) L y 2(t) L {Y ()} {Y ()} L {Y 2. () ()} 3

5 Si lacia allo tudente il calcolo delle due anti-traformate. Come elemento di verifica, lo tudente può accertari che y (t) y per t in quanto u (t) u u (t) per t >. Per il calcolo del terzo ed ultimo contributo poiamo ricorrere al teorema della ripota armonica, ovvero [ ] y (t) y 2 W (t) 22 (j5) in(5t + arg(w 22 (j5))). (2) Si lacia nuovamente allo tudente lo volgimento dei calcoli. In concluione la ripota agli ingrei aegnati corriponderà alla eguente combinazione lineare dei ingoli contributi y(t) y y (t) + y (t). (3) e) La Figura illutra le quattro coppie (modulo-fae) di diagrammi di Bode (uno per ciacuna coppia ingreo-ucita) e le relative frequenze di taglio a 3dB. I diagrammi relativi alla W 2 (ω) ono ovviamente aenti. Il dicente potrà utilizzare i riultati propoti in figura per confrontarli con i diagrammi aintotici che avrà viluppato u carta. Bode Diagram From: In() From: In(2) To: Out() Sytem: W I/O: In() to Out() Frequency (rad/):.642 Magnitude (db): Magnitude (db) ; Phae (deg) To: Out(2) To: Out() Sytem: W I/O: In() to Out(2) Frequency (rad/):.59 Magnitude (db): -3.2 Sytem: W I/O: In(2) to Out(2) Frequency (rad/): Magnitude (db): To: Out(2) Frequency (rad/) Figure : Diagramma di Bode. 4