Lezione 18. Stabilità di sistemi retroazionati. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 1

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1 Lezione 18. Stabilità di itemi retroazionati F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 1

2 Schema 1. Stabilità di itemi retroazionati 2. Diagramma di Nyquit 3. Criterio di Nyquit 4. Etenioni del Criterio di Nyquit F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 2

3 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez Stabilità di itemi retroazionati y L - w D N L = funzione d anello 1 N D N L L F W Y = = = aintotica tabilità tutte le radici di hanno Re < 0 0 = N D polinomio caratteritico in anello chiuo

4 Queto modo di procedere non ci è utile per capire come cambia la proprietà di tabilità al variare degli elementi che cotituicono la funzione di traferimento d anello controllore e plant. Servono trumenti grafici e metodi utili anche per la fae di progetto. F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 4

5 2. Diagramma di Nyquit Il diagramma di Nyquit Γ di L è la curva chiua, nel piano compleo, di L jω per < ω <, orientato per ω crecenti Im < ω 0 Γ Re 0 ω < diagramma polare immetrico ripetto all ae reale L jω = L jω F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 5

6 Eempio 1 L = Im < ω 0 Γ Re 0 ω < F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 6

7 Eempio 2 L = Convenzione: chiuura all infinito in eno orario ω = 0 Im Γ ω = ± Re ω = 0 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 7

8 3. Criterio di Nyquit w - L y Γ diagramma di Nyquit aociato a L N numero di giri antiorari di Γ intorno al punto 1 P numero di poli di L con Re > 0 aintotica tabilità del itema retroazionato N ben definito N = P F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 8

9 Oervazione 1 Come i valuta N? Eempio 1 Im Γ 1 Re N = 0 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez. 18 9

10 Eempio 2 Im Γ 1 Re N = 2 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

11 Oervazione 2 N non ben definito approfondimento non aintoticamente tabile Dimotrazione N non ben definito Im ω : L jω = 1 1 L jω = 0 1 L jω Γ Re ha una radice in jω 1 L L F = ha un polo in jω 1 L F non è aintoticamente tabile F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

12 Oervazione 3 Giutificazione intuitiva del criterio nel cao P = 0 approfondimento Im w - u L y σ L jω Γ Re L jω = σ arg L jω = 180 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

13 w t = 0 e t = en ωt - e * e L y approfondimento L jω = σ arg L jω = 180 y t = L jω en ωt arg L jω = = σen ωt 180 = σen ωt e * t = y t = σen ωt N P = 0 N = P = 0 N non definito σ > 1 σ < 1 σ = 1 intabilità aintotica tabilità emplice tabilità olo in queto cao F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

14 Oervazione 4 N < 0 intabile cioè, giri orari intorno a 1 Dimotrazione poiché P è un numero poitivo o nullo neceariamente riulta N P F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

15 Imaginary Axi Eempio Nyquit Diagram Funzione d anello 1 L = P = Real Axi Dal grafico N = 0 N ben definito N = P Sitema in anello chiuo aintoticamente tabile F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

16 Imaginary Axi Eempio Nyquit Diagram Funzione d anello L = P = Real Axi Dal grafico N = 1 Sitema in anello chiuo intabile F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

17 Imaginary Axi Eempio Nyquit Diagram Funzione d anello L = P = Real Axi Dal grafico N = 1 N ben definito N = P Sitema in anello chiuo aintoticamente tabile F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

18 4. Etenioni del criterio di Nyquit Etenione 1 L = kg w - k G y Γ L diagramma di Nyquit aociato a L N L numero di giri antiorari di Γ L intorno al punto 1 P L numero di poli di L con Re > 0 N L ben definito aintotica tabilità N L = P L F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

19 L = kg w - k G y Il diagramma di Nyquit aociato a L è identico a quello aociato a G a meno del fattore di cala k I poli di L coincidono con quelli di G F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

20 L = kg w - k G y Γ diagramma di Nyquit aociato a G N numero di giri antiorari di Γ intorno al punto 1/ k P numero di poli di G con Re > 0 aintotica tabilità N ben definito N = P F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

21 Eempio Funzione d anello Imaginary Axi Nyquit Diagram G L L = 3 2 k G P = Real Axi Dal grafico N = 0 1 k N ben definito N = P Sitema in anello chiuo aintoticamente tabile F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

22 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez y G 1 - w G G G G F W Y = = L tutto invariato, con riferimento a L Etenione 2

23 Etenione 3 w L * y retroazione poitiva w - L * 1 y retroazione negativa con L = L * ovvero L = kl * k = 1 F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

24 w L * y retroazione poitiva Γ diagramma di Nyquit aociato a L * N numero di giri antiorari di Γ intorno al punto 1 P numero di poli di L * con Re > 0 aintotica tabilità N ben definito N = P F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez

25 Etenione 4 τ L = e G w - e τ G y itema con ritardo Γ diagramma di Nyquit aociato a L N numero di giri antiorari di Γ intorno al punto 1 P numero di poli di G con Re > 0 tabilità eterna N ben definito N = P F. Previdi - Fondamenti di Automatica - Lez