ANALISI DI SISTEMI IN RETROAZIONE TEOREMA DI NYQUIST

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1 ANALISI DI SISTEMI IN RETROAZIONE TEOREMA DI NYQUIST

2 PROPRIETÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE U E G () H () Si fa riferimento ad un generico itema in retroazione con funzione di traferimento a ciclo chiuo. La G() comprende le f.d.t degli apparati amplificatori di egnale e di potenza del dipoitivo di controllo, dell attuatore e del proceo da controllare. Si aume che la H() ia aociata al olo traduttore di miura (peo i aume: H()=h=cotante) Y G () G ( ) H ( ) SENSIBILITÀ ALLE VARIAZIONE DEI PARAMETRI Si uppone che un parametro a, della G() ad eempio un coefficiente o una cotante di tempo ubica una variazione Da ripetto al uo valore nominale a ( poibili caue: uura materiali, guati,...). Per variazioni piccole i aume: G (, a) G(, a Da) G(, a) Da a aa Omettendo per emplicità la dipendenza da a i ha: G(, a Da) G( ) DG( ) Se in ingreo al itema c è un egnale X() l ucita devia dal comportamento nominale Y () G( ) X( ) DG() X ( x) DY( )

3 SENSIBILITÀ ALLE VARIAZIONE DEI PARAMETRI di G() U E La variazione parametrica in G() ha un effetto diretto ulla. Tale effetto viene valutato come egue: W (, a Da) W ( ) DW ( ) G () H () G( ) G(, a ) W ( ) W (, a ) Y D Da a W G D Da G a DW ( ) DG( ) GH 2 G () G ( ) H ( ) G (, a) DG () Da a G G D Da G GH a aa aa Omettendo per emplicità la dipendenza da a i ha:

4 Relazione tra variazione della G() e della DW ( ) DG( ) GH 2 G () G ( ) H ( ) Un confronto più ignificativo i ha comparando le variazioni relative della e quelle relative della G(): D GH DG () G GH 2 GH DG ( ) G() DW (, a) DG(, a) W (, a) G ( ) H( ) G(, a) Si definice la funzione di enitività della ripetto a variazioni parametriche della G() la funzione: S W G () G( ) H( )

5 W SG () G( ) H( ) Facendo riferimento alla ripota in frequenza, ed in particolare al modulo delle f.d.t., i ha che per tutte le pulazioni per cui vale la condizione G(jH(j >>, vale: DW ( j) DG( j) W ( j) G( j) G( j) H( j) In queta banda di frequenze i ha baa enibilità della a variazioni di G() G () G ( ) H ( ) Quindi, nella banda di frequenze in cui il modulo del GUADAGNO di ANELLO G(jH(j è elevato, la enibilità a variazioni dei parametri di G() è molto minore nel itema in retroazione che non nel itema ad anello aperto G(). E importante notare che l effetto ull ucita Y() della variazione parametrica è modeto e il egnale di ingreo X() ha componenti ignificative olo nella banda di inenibilità. Se il egnale ha componenti ignificative anche al di fuori di tale banda, allora l effetto diventa più ignificativo.

6 Senibilità a variazione di un parametro della H() retroazione U E G () H () Y in G () G ( ) H ( ) H(, D) H( ) DH( ) H() DH() D W H D D H G H D H GH 2 G DW () DH 2 ( GH ) DW (, ) G( ) H ( ) DH (, ) W ( ) G( ) H ( ) H ( )

7 Si definice funzione di enitività relativa di ripetto a variazioni della H() S W H () G( ) H( ) G( ) H( ) G( j) H( j) Analii in frequenza In queta banda di frequenze i ha baa enibilità della Nella banda di frequenze in cui: G(jH(j >>, i ottiene che la enibilità della e quella del itema in anello aperto G() (ripetto a var. parametriche relative alla H() ) ono dello teo ordine di grandezza. ( quindi non vengono affatto attenuate dalla retroazione) NOTA U E G () Y W d G( ) H ( ) () G ( ) H ( ) H () d Si fa notare che il modulo della funzione di enitività è uguale alla FDT tra rumore che entra nel ramo di retroazione ed ucita.

8 SENSIBILITA RELATIVA SENSIBILITA RELATIVA Eempio: u k a a y W SG () G ( ) H ( ) S W H () G( ) H( ) G( ) H( ) Si calcolano le funzioni di enibilità: S W G a () ak a ak a S W H ka () a ak Si valuta il modulo delle ripote in frequenza delle funz. di enibilità: Si valuta le enitività per k=[ 3 3] K=3 K= W SG K=3 ( j) rad(ec K=3 W SH K=3 ( j).2 K= rad(ec Se viene data come pecifica una enibilità della a variazioni di G() minore ad ex. di.3 nella banda di frequenze < B 5 rad/ec, allora i deve cegliere k >=3

9 BANDA PASSANTE A CICLO CHIUSO ut () G () G( j ) G ( j ) G ( j ) G () 2 2 yt () W( j) G( j) G( j) La ripota in frequenza del itema in retroazione W(j rimane preoché cotante al variare di e indipendente da G(j Queto conferma il fatto che in cao di elevato guadagno di anello il itema relazionato ha baa enibilità alle variazioni del proceo G(j 3dB Modulo (db) G( j) hg( j ) db W( j) W( j ) db 3dB w (rad/) Bo B G Bcl Bcl Come coneguenza, la banda paante del itema in retroazione (da a Bcl ) è maggiore di quella ad anello aperto ( da a BG )

10 Magnitude (db) ESEMPIO G () ( 3) 2 G () G ( ) Bode Diagram 2 8 G ()

11 U STABILITA DI SISTEMI IN RETROAZIONE G () Y G () G ( ) La tabilità aintotica del itema a ciclo chiuo i analizza verificando e tutte le radici dell equazione caratteritica D() hanno parte reale negativa. N( ) D( ) N( ) D( ) G( ) D( ) D( ) La problematica generale che i affronterà è quella di analizzare coa uccede (in termini di tabilità) al itema G() una volta che queto viene chiuo in retroazione.? E di grande interee introdurre dei metodi di analii che permettono di tabilire la tabilità aintotica a ciclo chiuo della baandoi ull analii della ola G() a ciclo aperto. Nelle pratica, i può ragionevolmente aumere che la f.d.t G() ia nota in forma analitica oppure che la ripota in frequenza G(j) ia tata rilevata perimentalmente. Si analizzerà Il criterio di NYQUIST. Tale criterio detta condizioni necearie e ufficienti per la tabilità aintotica di a partire dal diagramma di Nyquit della G(j) a ciclo aperto. Tale criterio viene verificato per via grafica; inoltre è poibile calcolare degli indici che eprimono il livello di tabilità del itema a ciclo chiuo.

12 U G () Y G( ) ( ( z i p i ) ) D( ) N( ) D( ) N( ) G ( ) D() D() La tabilità aintotica del itema a ciclo chiuo i può dimotrare verificando e tutte gli zeri dell equazione caratteritica D()= hanno parte reale negativa. Definizioni Z pg = Numero di zeri a parte reale poitiva di G() (noti) P pg = Numero di poli a parte reale poitiva di G() (noti) Z pd = Numero di zeri a parte reale po. di D() (incogniti) P pd = Numero di poli a parte reale poitiva di D() (noti) Al fine di valutare la tabilità a CILCO CHIUSO, i è intereati a determinare il numero di Zeri a parte reale poitiva Z pd della D() Nel cao Z pd = Nel cao Z pd > Sitema tabile a ciclo chiuo Sit. intabile a ciclo chiuo Notare che: P pg = P pd

13 D() Alcune Definizioni e Nozioni PERCORSO DI NYQUIST ( z ) i ( p ) i G Mappa Poli e zeri di D() Z pd ; P pd 3 Facendo variare il punto in eno orario ul percoro chiuo G (denominato percoro di Nyquit) il vettore D() decrive una curva chiua chiamato diagramma di Nyquit della D(). D()

14 G D() Facendo variare il punto in eno orario ul percoro chiua G (denominato percoro di Nyquit) il vettore D() decrive una curva chiua chiamato diagramma di Nyquit della D() Si può dimotrare che il numero di giri (della fae) della D intorno all origine è uguale alla differenza tra numero di poli e zeri di D INTERNI a G GIRI P Z D P P D D

15 G D() GIRI P Z D P P Il itema a loop chiuo è tabile e Z pd Quindi dalla relazione precedente i deduce che il itema a loop chiuo è tabile e: D D GIRI Z D P D P P D G

16 CONDIZIONI PER LA STABILITA A LOOP CHIUSO D( ) G( ) G () G ( ) Poiché D() e G() differicono olo per una cotante, è lecito chiederi e ia poibile deumere la differenza tra numero di poli è zeri nel emipiano detro della D() a partire dalla differenza tra il numero di poli e zeri della G(). Vale il eguente fondamentale teorema: TEOREMA DI NYQUIST Condizione NECESSARIA e SUFFICIENTE affinché il itema in retroazione : G () G ( ) D( ) G( ) Sia aintoticamente tabile è che il diagramma di Nyquit di G() giri intorno al punto critico (-,j) in eno antiorario tante volte quanti ono il numero di poli di G() a parte REALE >. In formule: GIRI P G p G Il numero di eventuali zeri a parte reale > di D() è : Z P GIRI pd p G G

17 Il numeri di zeri a Parte reale poitiva della D() i poono trovare applicando il Th di Nyquit a partire dal diagramma di Nyquit della G() contandoil numero di giri intorno al punto critico Z P GIRI pd p G G G G () G () j

18 PERCORSO DI NYQUIST ( G() enza poli u ae imm.) j

19 Imaginary Axi Phae (deg) Magnitude (db) Dal diagramma di Bode al diagramma di Nyquit Bode Diagram G() ( ) Frequency (rad/ec) Nyquit Diagram.6.4 G( j).2 G( j) Real Axi