ω 1+ ω ω = = 1 = G Vi = = Calcolo dell uscita del circuito di figura: Si definisce Funzione di Trasferimento il rapporto tra Uscita ed Ingresso:

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1 DIARAMMI DI BODE alcolo dell ucita del circuito di figura: X j j Vo Vi Vi Vi R X jr R j j Vi jr Si definice Funzione di Traferimento il rapporto tra Ucita ed Ingreo: Vo Vo [] FdT j Vi Vi jr Vo Vi Vo Vi Vo Vi Vi Vo MODULO della F. di T.: [] j R j R j R j 0 Se 0 R Se Alla frequenza 0 il modulo di vale dunque Vo Vi cioè il egnale in ucita non viene attenuato dal filtro. Ad alta frequenza il modulo di vale 0 Dunque Vo 0 cioè non c è egnale in ucita. Per valori di frequenza intermedi è compreo tra 0 ed Dunque l ucita Vo vi è minore dell ingreo; in ucita i ha un egnale attenuato Il circuito è dunque un PASSA BASSO: paano i egnali in baa freq. vengono attenuati quelli in alta freq. Pag.

2 FASE della F. di T.: [3] j jr 0 arctg R arctg R j 0 Se 0 arctg0 0 j 90 Se arctg 90 DIARAMMI DI BODE Alla frequenza 0 la fae di vale 0 dunque fae di Vo fae di Vi cioè il egnale in ucita non viene faato dal filtro. Ad alta frequenza la fae di vale -90 Dunque la fae di Vo fae di Vi -90 cioè l ucita è faata di 90 in ritardo. Per valori di frequenza intermedi la fae di è comprea tra 0 ed -90 Dunque in ucita i ha un egnale ritardato di un angolo compreo tra 0 e 90. Pag.

3 DIARAMMI DI BODE DEIBEL ED ASSI LOARITMII Vo V i eempio: Vo Vi 00 L amplificazione e l attenuazione in generale: uadagno poono eere epree: come numero puro: [4] V o eempio: 0. 0 V in decibel: i 00 [5] 0log eempio: 0log log0 40 Noto il guadagno in decibel, per calcolare il guadagno come numero puro: 0log log 0 [6] 0 0 uadagno uadagno uadagno Numero puro decibel Numero puro decibel Numero puro decibel N.B corriponde a quindi V V V V cioè ucita ingreo o i -3 corriponde a 0.7 quindi 0 corriponde a 0 quindi Ai logaritmici: i i V V o o 0. 7 V cioè ucita 70% ingreo i i 0 V cioè ucita 0 volte ingreo Pag. 3

4 DIARAMMI DI BODE DIARAMMI DI BODE ono una rappreentazione approimata realizzata u ai logaritmici. Diagramma di BODE del MODULO: j 0log 0log j R Se R << << R in R tracuro R R j 0 log 0 log 0 Se R >> >> R in R tracuro j 0log 0log 0 log R R R alcoliamo la differenza tra alla generica pulazione >> e decade dopo cioè in 0 : j j0 0 log R 0 log0 R j0 j R 0log0 R 0 log R 0log R quindi j cala di 0 ogni decade Pag. 4

5 Approimando, ritengo vere le coniderazioni precedenti anche per: < ed >. R R DIARAMMI DI BODE Prolungando la retta di pendenza -0/dec vero initra, toccherà l ae delle acie in R j R, infatti: 0log R R 0 log 0 /R prende il nome di PULSAZIONE di TALIO t Il valore eatto di in /R è: j R Quindi V log 0log R R o 0. Vi anziché V o Vi come indicato dal valore approimato 0 Dunque utilizzando il diagramma di Bode i compie un errore maimo pari al 30% - 3 del valore eatto. Pag. 5

6 DIARAMMI DI BODE DIARAMMA DI BODE DELLA FASE j arctg R 0 0 j arctg R R 90 R 45 decade prima di /R arctg R 5, 7 0 R 0 R 0 decade dopo di /R 0 arctg R 84, 9 R R Quindi riulta accettabile approimare l andamento della fae a: 0 e < 0 R j 45 e 0 dec 0 R R 90 e > 0 R Pag. 6

7 DIARAMMI DI BODE Pag. 7 DIARAMMI DI BODE DI ASI PARTIOLARI Quindi una F. di T. dalla forma: τ j j j t dove t τ τ t dove j ha il eguente diagramma di Bode: τ 0log 0log

8 DIARAMMI DI BODE τ Rappreentando jτ ul piano di au i vede che: e 0: giace ull ae dei reali ed ha modulo 0 e fae 0 e : i allunga e tende alla verticale quindi avrà modulo e fae 90 Quete coniderazioni coincidono con quanto indicato dai diagrammi di Bode τ 3 Rappreentando 3 -jτ ul piano di au i vede che: e 0: 3 giace ull ae dei reali ed ha modulo 0 e fae 0 e : i allunga e tende alla verticale in giù quindi avrà modulo e fae -90 Quindi il modulo di 3 ha lo teo andamento del modulo di mentre la fae di 3 è il negativo di quella di Pag. 8

9 DIARAMMI DI BODE τ 3 Oppure poiamo dire che 3 eendo il compleo coniugato di : * 3 3 Quindi: 3 Im 3 Re 4 τ Pag. 9

10 DIARAMMI DI BODE 6 τ j τ Im Im 6 0logτ 0 log 0logτ 5 90 Ponendo: 5 jτ Re y 6 log y 0 c c 0logτ Infatti: Sul diagramma di Bode. Il modulo riulta eere una retta di pendenza 0 /dec. taglia l ae y in 0logτ 3. taglia l ae in /τ. Se calcolo 6 in ed ad decade dopo cioè in 0: log0 0log 0log 0 0log0 0logτ 0log 0logτ 6. Per trovare l interezione con l ae delle ordinate i pone log0 in: 6 0log 0logτ riulta τ 6 0log 3. Per trovare l interezione con l ae delle acie i pone 0 in: 6 0log 0logτ riulta 0 0log 0logτ 6 log logτ 0 logτ 0 τ τ N.B. Dal diagramma riulta che, e log - cioè quindi 60-0 Vo 0 Vi 0 a frequenza 0 l ucita è 0 Pag. 0

11 DIARAMMI DI BODE 7 k Re Im log k 0 e k > 0 80 e k < 0 k<0 k>0 Re Pag.

12 DIARAMMI DI BODE Pag. DIARAMMI DI FUNZIONI OMPOSTE Se la F. di T. i può eprimere come prodotto o rapporto di F. di T. più emplici di cui ono noti i diagrammi di Bode, D B A dato che: D B A D B A i diagrammi di Bode di i poono ottenere per via grafica ommando o ottraendo i diagrammi di Bode delle F. di T. componenti. Riulta però più emplice eeguire le omme: quindi è preferibile fare: D B A D B A

13 DIARAMMI DI BODE τ τ τ E. τ i ommano moduli e fai di e anziché eeguire la ottrazione grafica di del tipo con divera pulazione di taglio τ τ Pag. 3