Corso di Fondamenti di Automatica A.A. 2015/16. Diagrammi di Bode

Transcript

1 1 Coro di Fondamenti di Automatica A.A. 015/16 Diagrammi di Bode Prof. Carlo Coentino Dipartimento di Medicina Sperimentale e Clinica Univerità degli Studi Magna Graecia di Catanzaro tel: carlo.coentino@unicz.it

2 Funzione di Ripota Armonica Data la funzione di traferimento W(), abbiamo vito come ricavare la funzione di ripota armonica W(j) Tale funzione permette di determinare immediatamente la ripota a regime ad un egnale inuoidale di pulazione Vogliamo ora tracciare l andamento del modulo e della fae di W(j) al variare di

3 3 Definizione dei Diagrammi Utilizzeremo due coppie di ai carteiani, una per il diagr. del modulo e una per quello della fae In entrambi i diagrammi i riporta in acia la quantità log 10. Tale celta è dovuta al fatto che i diagrammi poono eere tracciati u valori di diveri ordini di grandezza: la cala logaritmica permette di mantenere una uguale accuratezza di tracciamento a qualiai ordine di grandezza e di contenere il diegno in uno pazio ragionevole.

4 Per quanto riguarda il valore in ordinata: Il modulo viene riportato in db (decibel), e i calcola dalla formula La fae viene riportata in gradi W(j) db =0log 10 W(j) Anche in queto cao la celta della cala è collegata al range ammiibile di valori che può eere aunto dalle grandezze da tracciare 4

5 Diagrammi Logaritmici 5

6 Forma Generale della W(j) La W(j) può eere eprea genericamente nella eguente forma Si noti che tale forma è compota da quattro fattori elementari Nel eguito, per comodità di notazione utilizzeremo la variabile, ottointendendo che i diagrammi i rifericono alla ripettiva traformata di Fourier 6 j j p np np p j q nq nq q i i j K W j W

7 Fattori Elementari Cotante: K Zero/Polo nell origine di molteplicità : Fattore binomio: (1+) 1 zero/polo emplice in -1/ Fattore trinomio: 1 zero/polo doppio in, con coeff. di morzamento n N.B. e 1 il fattore trinomio va epreo come prodotto di due fattori binomio, poiché le radici ono reali n 1 7

8 Richiami: Proprietà del Logaritmo Ricordiamo alcune proprietà del logaritmo: log log log xy logx logy x y logx logy n x n logx Dunque, i diagrammi di W(j) i poono facilmente ottenere (per omma e ottrazione) da quelli di ciacun fattore elementare 8

9 Fattore Cotante: K 9

10 Polo/Zero nell Origine: (j) 10

11 11 Diagrammi Aintotici Calcolando il modulo e la fae dei termini binomio e trinomio i ottiene un epreione complea Per tracciare il diagramma in modo rapido, i valutano gli aintoti di tale epreione, per 0 e per Si procede quindi al tracciamento dei diagrammi aintotici Gli aintoti (orizzontali) del diagr. della fae vengono raccordati con un egmento che parte una decade prima e finice una decade dopo del punto di rottura

12 Diagr. Aintotici Zero Semplice: (1+ j) 0 log10 1 log 10 1

13 Diagr. Aintotici Polo Semplice: (1+ j) -1 0 log10 1 log 10 13

14 Diagr. Aintotici Zeri Complei: 1 n j n 40 log 10 log n 10 14

15 Diagr. Aintotici Poli Complei: n n j 10 log 10 log 40 n

16 Tabelle Diagramma Moduli Inizio diagramma Zero nell origine Polo nell origine +0 db/decade -0 db/decade } Il prolungamento intereca l ae verticale a K db Cambi di pendenza nei punti di rottura Indipendente dal egno della parte reale Zero emplice Polo emplice Coppia di zeri compl. Coppia di poli compl. +0 db/decade -0 db/decade +40 db/decade -40 db/decade 16

17 Prof. Carlo Coentino 17 Fondamenti di Automatica, A.A. 009/10

18 Tabelle Diagramma delle Fai Contributi cotanti per [0,] K < 0 Zero nell origine Polo nell origine -180 per [0,) +90 per [0,) -90 per [0,) Cambi di pendenza una decade prima e una dopo i punti di rottura Parte reale negativa Parte reale poitiva Zero emplice /decade /decade Polo emplice /decade /decade Coppia di zeri compl /decade /decade Coppia di poli compl /decade /decade Quando uno zero/polo è elevato ad un indice maggiore di uno, i valori corripondenti vanno moltiplicati per tale indice. 18

19 Eempio Calcoliamo il diagramma compleivo della f.d.t. W ( Poniamo la f.d.t. nella forma generale 10( 1)( 5) 10) W j 5 (1 j0.) (1 j)(1 j0.1 ) Quindi, ommiamo i diagr. dei fattori 5, (1+0.j), e ottraiamo quelli di (1+j), (1+0.1j) 19

20 Eempio 0

21 1 Diagrammi Reali Il tracciamento dei diagrammi reali può eere effettuato calcolando modulo e fae in maniera puntuale Ciò può eere fatto agevolmente mediante calcolatore, ad e. in Matlab i può utilizzare il comando bode Nel tracciamento manuale, i può migliorare il diagramma effettuando delle correzioni in alcuni punti opportuni

22 Diagrammi Reali Zero Semplice

23 Diagrammi Reali Poli Complei 3

24 Eempi Tracciare i diagrammi di Bode per le eguenti fdt W ( ) W ( 5 5) 4

25 Prof. Carlo Coentino 5 Fondamenti di Automatica, A.A. 009/

26 Prof. Carlo Coentino 6 Fondamenti di Automatica, A.A. 009/

27 Prof. Carlo Coentino 7 Fondamenti di Automatica, A.A. 009/

28 Eempi W ( )

29 Eempi W ( 5 5)

30 Ritardo di Tempo La fdt del ritardo di tempo T è W e T Sotituendo =j otteniamo W Tj j e Il modulo è unitario per ogni, mentre la fae è pari a -T 30

31 Diagramma del Ritardo di Tempo 31

32 Sitema con Ritardo Si conideri la fdt W 1 e 1 T Tracciare i diagrammi di Bode di W(jω) per T=0.4 3

33 33 Sitemi a Sfaamento Minimo Data una coppia di diagrammi di Bode di modulo e fae, non è poibile determinare univocamente la fdt corripondente Abbiamo infatti vito che uno teo faamento può eere dato da un polo a parte reale negativa e da uno zero a parte reale poitiva (e vicevera) Alla luce di quete oervazioni, è importante definire la clae dei itemi a faamento minimo

34 Sitemi a Sfaamento Minimo Un itema i dice a faamento minimo e la ua fdt oddifa le eguenti condizioni Guadagno poitivo Poli e zeri hanno tutti parte reale negativa o nulla Non ono preenti ritardi di tempo Sotto quete ipotei, eite una corripondenza biunivoca tra il diagramma dei moduli e quello delle fai Tale corripondenza è eprea dalla formula di Bode arg j 10 log e 0 G j G j db db d 34