Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 9. Campo di Dirac Invarianza di Gauge Globale Campi interagenti

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1 Interazioni Elettrodeboli prof. Franceco Ragua Univerità di Milano Lezione n Campo di Dirac Invarianza di Gauge Globale Campi interagenti anno accademico

2 Quantizzazione del Campo di Dirac La quantizzazione del campo di Dirac i effettua in modo del tutto analogo alla quantizzazione del campo di Klein-Gordon Seguendo il notro approccio per il campo di KG Si viluppa il campo nei modi normali Si promuovono i coefficienti dello viluppo a operatori Si impongono le regole di commutazione Alternativamente i può eguire il metodo canonico Si crive la Lagrangiana del campo di Dirac Si individuano i momenti coniugati ai campi Si impongo le relazioni di di commutazioni fra campi e momenti coniugati Anticipiamo che la differenza fondamentale ta nel fatto che nelle regole di commutazione ai commutatori [A,B] i otituicono gli anticommutatori {A,B} La neceità degli anticommutatori può eere motivata alternativamente Dal principio di ecluione di Pauli che richiede l antiimmetria degli tati fermionici cotruiti con gli operatori di creazione e ditruzione Dalla neceità che l Hamiltoniana ia definita poitiva Entrambi gli approcci derivano da motivazioni fiiche Vale la pena approfondire entrambi gli apetti Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 26

3 Lagrangiana del campo di Dirac La Lagrangiana del campo di Dirac è Notiamo che non contiene i campi L (,, ) ( i / m) L equazione di Dirac egue emplicemente applicando le equazioni di Eulero Lagrange ai campi e Variando i campi L L L aimmetria fra e deriva dal fatto che più Lagrangiane ono poibili Ad eempio ( ) ( φ ) Tuttavia i può dimotrare che le azioni corripondenti differicono per l integrale di una 4-divergenza che i può rendere nullo all infinito Pertanto conducono alle tee equazioni L L φ γ ( / ) ( i/ m) i m Alternativamente, variando i campi L L i m γ ( i/ + m) * ( uav ) ( uav ) L L ( / ) ( [ iγ m ) ] 1 i m ( i γ m) L1 ( i / + m) ( i m ) γ Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 27

4 Hamiltoniana del campo di Dirac Poiamo a queto punto calcolare i momenti coniugati di I momenti coniugati di ono nulli per l aimmetria fra e nella Lagrangiana L π γ i ( ) L Hamiltoniana è pertanto i γγ i Dal momento che oddifa l equazione di Dirac Abbiamo una utile epreione alternativa per l Hamiltoniana H i Si potrebbe calcolare il momento del campo calcolando il tenore T ν Diamo i due riultati (il calcolo può eere un eercizio) ( i/ m) L H π L i ( i/ m) γ γ γ iγ m γ i γ m ( iα + γ m) H ( iα + mβ) 1, r P d r ( i ) H d i iα + mβ i Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 28

5 Epanione del campo di Dirac L epanione del campo di Dirac in onde piane i può fare allo teo modo di quanto fatto per il campo calare d i x + i x ( x) ( a, u, e + b, v, e ) ( 2π ) 2E Anche in queto cao conviene definire delle funzioni con ben definite proprietà di ortogonalità i x + i x u, e v, e f, g, ( 2π ) 2E ( 2π ) 2E Le relazioni di ortogonalità ono Il campo diventa ± δ r, δ, r f ( x) f ( x) d Utilizzando quete relazioni i può facilmente invertire l epanione Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 29 g x g x d δ δ f x g x d r p p r a f ( x) ( x) d g x f x d r,,,, ± ( x) d ( f a + g b ) p p r b g ( x) ( x) d,,

6 Quantizzazione del campo di Dirac Poiamo adeo dicutere la quantizzazione del campo di Dirac Seguendo il notro approccio promuoviamo le funzioni a e b a operatori in uno pazio atratto e fiiamo le regole di anti-commutazione { } a, a 2 π δ δ { b, b } ( 2 ) π δ δ tutte le altre nulle Con queti operatori i poono cotruire gli tati con n particelle nello pazio di Foc 11, n n 2E 2E a a Una analoga epreione i può crivere con gli operatori b (antiparticelle) Le regole di anticommutazione fra gli operatori a e b aicurano che gli tati abbiano la corretta antiimmetria ripetto alle permutazioni di due particelle 11,, jj,,,, nn ± 11,,,, jj,, nn Il egno è + o per permutazioni pari o dipari ripettivamente Nel eguito arà utile trattare eparatamente le due componenti di un campo ( x) a + b x La componente a energia poitiva a x f x a, d La componente a energia negativa 1 n 1 1 n n Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 21 b ± x g x b d, ±

7 Quantizzazione del campo di Dirac Calcoliamo adeo gli anticommutatori (a tempi uguali t t ) { n x, m( x )} { n x, m ( x )} Notiamo che i campi hanno 4 componenti Dal momento che gli operatori a e b anti-commutano fra di loro avremo { } { } n x, m x an x, am x + { bn x, ( x ) bm } Cominciamo con le componenti a energia poitiva { } an x, am x d d f n x f ( x ){ a, a m } { a, a } 2 ( 2π ) d f n x f m ( x ) Ricordiamo t t 1 + i ( r r ) 1 d e u nu m ( 2π ) 2E Analogamente per le componenti a energia negativa 1 d i ( ) { bn x, ( x ) bm } e r r v nv m ( 2π ) 2E 1 + i ( r r ) 1 d e v nv m ( 2π ) 2E Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 211 { n x, m( x )} π δ δ

8 Quantizzazione del campo di Dirac Sommando i due pezzi 1 i ( ) 1 + r r { n x, m( x )} d e u u + v v ( 2π ) 2E nm Oltre alle relazioni di completezza già tudiate (diapoitiva ) ne eitono altre 1 ( u u + v v ) Inm δ nm ( iiii) 2E nm In concluione otteniamo 1 { n x, m ( x )} δnm d e ( 2π ) Con una procedura imile i ottengono le altre relazioni { n x, m ( x )} δnmδ( r r ) + i ( r r ) iiii iiii iiii i i i iiii, { n x m ( x )}, { n x m ( x )} Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 212

9 Hamiltoniana e regole di commutazione Veniamo adeo all epreione dell Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e ditruzione È conveniente partire dalle relazioni H d i x d f a + g b r (,,,, ) ± Utilizzando l epanione di otteniamo i x d E f a g b,,,, ± Introducendo nell Hamiltoniana Eeguiamo l integrazione ul volume Utilizziamo le relazioni di ortogonalità: opravvivono olo due termini Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 21 x d ( f a + g b, ) ±,,, H d i d d d f a + g b E f a g b, ' ± ( ) ( ) r r,,,,,,,,, ± H d d E d f f a a g g b b, ' ± (,,,, ) r,,,, d d E a a b b (, δ δ, δ δ ),, nel cao di Dirac c è olo una derivata d E a, a b b, ± (,, )

10 Hamiltoniana e regole di commutazione H d E a a b b,, ± (,, ) Il termine relativo ai quanti a è già otto forma di un operatore numero Per mettere anche il econdo termine otto forma di operatore numero abbiamo biogno di commutare i due operatori Se aveimo una regola di commutazione (eliminiamo il termine infinito) b,, b, c b, b, c + b, b,, H d E a, a b, b Queta Hamiltoniana non è definita poitiva ± I quanti b contribuicono con energia negativa! Al contrario, con una regola di anticommutazione b, b c b b c b b, H d E a a + b b { },,,,,, (,, ),, ± (,, ) Queta volta anche i quanti b contribuicono all energia con egno poitivo Adottare regole di anticommutazione è neceario per avere una Hamiltoniana definita poitiva Nel dettaglio del calcolo la differenza è tata introdotta dal fatto che l equazione di Dirac è di primo ordine nel tempo Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 214

11 Invarianza di gauge globale Anche la Lagrangiana del campo di Dirac è invariante per traformazioni di fae cotante: traformazioni di gauge globali L ( i / m) i e α + i e α Ovviamente e la fae è cotante la Lagrangiana è invariante ( i/ m) + iα iα L e ( i/ + m) e i i e α e α ( i / m) L Calcoliamo adeo la corrente che corriponde a queta invarianza Per una traformazione infiniteima δ ( 1 iδα) δ iδα i δα δ Analogamente i δα Ricordiamo l epreione per la corrente di Noether n N L δ L δ L δ + n ( n ) δα ( ) δα ( ) δα N iγ ( i ) j γ Abbiamo ritrovato la corrente di probabilità della teoria di Dirac È una corrente conervata j L ( ) ( ) iγ L Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 215

12 Invarianza di gauge globale Calcoliamo adeo la carica conervata aociata alla conervazione della corrente Q j d r ( x) γ ( x) d r x x d r Le epanioni dei campi ono x d f a + g b,,,, ± Inerendo le due epreioni nella carica,,,, ± ( x) d ( f a + g b ) Utilizzando le proprietà di ortogonalità delle funzioni f e g opravvivono olo due termini Q d d d r f f a a + g g b b Q d d d f a + g b f a + g b r,,,, (,,,, ) (,,,,,,,, ) (,, δ δ,, δ δ ) d a, a, + b, b, Q d d a a + b b Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 216

13 Invarianza di gauge globale Q d a a + b b,, (,, ) Vediamo che anche in queto cao per traformare il econdo operatore in un operatore numero abbiamo biogno di regole di commutazione Vediamo adeo l effetto di avere utilizzato anticommutatori b, b c b b c b b, Q d E a a b b { },,,,,,,, ± (,, ) Con queta celta le particelle e le antiparticelle hanno cariche oppote Nei due calcoli che abbiamo fatto ( Q e H ) abbiamo cartato il contributo infinito che deriva dal commutatore Nel cao dei campi fermionici abbiamo però cambiato anche il egno degli operatori Dobbiamo preciare la definizione del prodotto normale nel cao di campi fermionici Il prodotto normale porta gli operatori di ditruzione a detra e inerice un egno + o a econda del numero pari o dipari di permutazioni : aa : a a : baa : a ba Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 217

14 Invarianza di gauge globale L invarianza globale di gauge della Lagrangiana di Dirac porta alla corrente conervata L ( i / m) j γ L apetto importante, coneguenza dell invarianza di gauge, è il fatto che i campi appaiono nella forma j O Banalizzando, la preenza contemporanea di un campo hermitiano coniugato e un campo normale aicura che compaia il prodotto della fae e della ua complea coniugata il cui prodotto è 1 Meno banale: la preenza contemporanea di un campo hermitiano coniugato e un campo normale aicura che la carica ia conervata I campi contengono operatori di creazione e ditruzione:protoni e antiprotoni x d f a + g b p p (, ),,, ' ±,,,, ± ( x) d ( f a + g b ) L azione della corrente induce una variazione di carica nulla Δ Q Q p Q p Q T a a +1 1 a b b a b b 1 +1 Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 218

15 Campi interagenti La teoria quantitica dei campi fin qui vita decrive l evoluzione di particelle libere Gli operatori numero Nˆ aa commutano con l Hamiltoniana Il numero delle particelle in ogni modo rimane cotante Non riolve il problema di avere una teoria capace di decrivere un numero di particelle variabile nel tempo È necearia una teoria con campi interagenti La teoria dei campi quantitici interagenti va oltre gli obbiettivi del coro Tuttavia dicutiamo brevemente alcuni apetti 1 1 Ritorniamo all ocillatore quantitico unidimenionale Hˆ mpˆ + mω qˆ 2 2 L energia potenziale ha una forma quadratica Di olito riultato di approimazioni al primo ordine Eenziale per trovare la oluzione algebrica Implica la conervazione del numero di quanti ( N commuta con H ) Per introdurre la poibilità di variazione del numero dei quanti occorre andare oltre l approimazione armonica 2 2 Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 219

16 Campi interagenti Introduciamo un termine anarmonico di terzo grado Hˆ mpˆ + mω qˆ + λqˆ 2 2 Eprimendo l Hamiltoniano in funzione degli operatori a e a 1 Hˆ ( aˆˆ a + aa ˆˆ ) ω + λ( aˆ + aˆ ) Hˆ ˆ + λ H 2 Non i può riolvere con i metodi algebrici utilizzati precedentemente Si può verificare che N a a e H' non commutano Gli autovettori di H hanno un numero variabile di quanti Non eite una oluzione eatta di queto problema Si ricorre al metodo perturbativo Si tratta il termine λ H' come perturbazione Si epandono gli autovettori (e autovalori) di H in funzione degli autovettori dell Hamiltoniano imperturbato H Agli autovettori imperturbati r corripondono gli autovettori perturbati ˆ ( ) H r Er r r c Hˆ rn n r Er r n r r r r E E E E + λ + λ + r Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 22

17 Campi interagenti Si trova il eguente riultato ˆ r H r E r 1 r E r H r r r r r E E E E + λ + λ + Per calcolare la correzione del econdo ordine occorre calcolare elementi di matrice del tipo È facile renderi conto che il econdo elemento di matrice è divero da zero anche per r, in particolare per r +, r + 1, r 1, r Queta emplice dicuione motra che l introduzione di un termine anarmonico porta a coniderare procei con numero di particelle non cotante In particolare allo tato r> (che ha numero definito di quanti) i otituice uno tato che ha un numero differenti di quanti di H r Nella derivazione della Lagrangiana del campo crn n n 2 il termine del potenziale era diventato q 2 n qn 1 φ τδx τ dx Δx x Prodotto di due campi L interazione è rappreentata dal prodotto di almeno tre campi Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 221 E 2 r r r H H r E r E ( ˆ+ ˆ ) ( ˆ+ ˆ ) r H r r a a r r H r a a

18 Campi interagenti Abbiamo gia vito la forma di alcune interazioni Kein Gordon * * em iq φf φi φf φi j 4 Mfi i d x jem x A x Dirac em f γ i j q x x Come eempio l interazione di un fermione con il campo elettromagnetico LD iγ m 1 ν LA F F 4 ν F A A Lint eγ A L LD + LA + Lint Se l interazione non contiene derivate dei campi i momenti coniugati non cambiano ν ν ν π L ( φ) L Hamiltoniana è pertanto H HD + HA + Hint Hint Lint Interazioni Elettrodeboli Franceco Ragua 222