Test 1 - Teoria dei Campi 2010

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1 Test - Teoria dei Campi 200 Discutere il path-integral della QCD in gauge assiale (nell Euclideo) n µ A a µ = 0, a =,..., 8, () dove n µ e un vettore assegnato. Derivare: - regole di Feynman; - identitaà di Ward. - sono necessari i ghost? Commentare

2 Test 2 - Teoria dei Campi 200. Derivare il path-integral della particella libera unidimensionale, mediante: - integrazione del path-integral discretizzato nel tempo; - calcolo diretto dell operatore d evoluzione q f exp ( iht ) q i 2. Verificare che questo soddisfa l equazione di Schroedinger. 3. Verificare che l esponenziazione dell azione classica dà il risultato corretto. 4. L esponenziazione dell azione classica sarebbe corretta anche nel caso dell oscillatore armonico? 5. Calcolare l azione classica e verificare se la sua esponenziazione soddisfi l equazione di Schroedinger.

3 Test 3 -Teoria dei Campi 200 a) Riesprimere i termini di interazione trilineari e quadrilineari tra bosoni vettori del Modello Standard in termini degli autostati di massa A µ, Z µ, W ± µ. b) Sono possibili termini di interazione del tipo A p Z q con p + q = 3, 4? c) Disegnare tutti grafici di Feynman che, all ordine piú basso, contribuiscono al processo W + W W + W d) Calcolare a tree level l ampiezza W + W W + W nel limite di alta energia (suggerimento: sostituire ai bosoni vettori esterni i bosoni di Goldstone ad essi associati)

4 Test 4 -Teoria dei Campi 200 Considera la QCD scalare, una teoria di campi scalari complessi che interagiscono con bosoni di gauge con invarianza locale SU(3). a) Scrivi la Lagrangiana assegnando il campo scalare alla rappresentazione R di SU(3) con generatori T a R b) deriva le regole di Feynman nel gauge µ A a µ=0 aggiungendo il termine di gaugefixing per la R ξ gauge. c) Disegna i grafici a one-loop che contribuiscono alla polarizzazione del vuoto dei campi di gauge. Contribuiscono i ghost? d)calcola la parte divergente di uno di questi grafici nel gauge di Feynman

5 Test 5 -Teoria dei Campi 200 Considera una teoria di gauge abeliana scalare spontaneamente rotta. a) scrivi la Lagrangiana nel gauge unitario, e deriva le regole di Feynman b) deriva le regole di Feynman in R ξ gauge introducendo il gauge-fixing per teorie spontaneamente rotte c) Disegna i grafici a one-loop che contribuiscono alla polarizzazione del vuoto del campo di gauge. Contribuiscono i ghost? d) Calcola la parte divergente di uno di questi grafici nel gauge di Feynman

6 Test 6 -Teoria dei Campi 200 Discutere una teoria di gauge non-abeliana con gruppo SU(2) e campo di Higgs nella rappresentazione aggiunta. Descrivere il maggior numero possibile dei seguenti argomenti: - la Lagrangiana, L Hamiltoniana e le equazioni del moto; - la rottura spontanea della simmetria SU(2) U(); - i gradi di liberta nella fase rotta in gauge unitaria; - i corrispondenti diagrammi di Feynman. - l interazione a quattro Higgs ad albero e ad un loop - impostare il calcolo del diagramma del loop dei W e stimare l andamento a grandi energie; - spiegare perche questo modello non è adatto per le interazioni elettro-deboli.

7 Test 7 -Teoria dei Campi 200 Studiare la rinormalizzazione della funzione d onda della teoria λφ 4 mediante la regolarizzazione dimensionale. Traccia: data la Lagrangiana: L = 2 ( µφ) 2 2 m2 φ 2 λ 4! φ4 () ricava le regole di Feynman calcola la funzione a due punti Γ (2) e mostra che il primo contributo non banale alla costante di rinormalizzazione Z φ del campo φ e all ordine 2-loops usa la parametrizzazione di Feynman: Γ(α + β) = a α bβ Γ(α)Γ(β) 0 dx xα ( x) β (2) (ax + b( x)) α+β

8 Test 8 -Teoria dei Campi 200 Considerare la teoria λφ 3 in d = 6 dimensioni, L = 2 ( µφ) 2 m2 2 φ2 λ 3! φ3. () Descrivere il maggior numero possibile dei seguenti argomenti: - i diagrammi di Feynman; - i diagrammi divergenti ad un loop; - la rinormalizzazione ad un loop; - il calcolo delle costanti di rinormalizzazione nel caso m = 0 utilizzando la regolarizzazione dimensionale; - il calcolo della funzione β(λ) della teoria in d = 6 ε.

9 Test 9 -Teoria dei Campi 202 Considerare la teoria del campo scalare neutro φ a massa nulla in d 4 dimensioni con interazione φ 2k, nei casi k = 2, 3, 4,.... L = 2 ( µφ) 2 g 2k! φ2k, () Discutere il maggior numero possibile dei seguenti argomenti: - i diagrammi di Feynman; - i diagrammi divergenti ad un loop; - la rinormalizzazione ad un loop; - la forma qualitativa della funzione beta e del gruppo di rinormalizazione in d < 4 per k = 2, 3, 4,..., ovvero trovare i punti fissi stabili ed instabili ed eventuali flussi RG fra di loro; - nel caso k = 3 calcolare le costanti di rinormalizzazione in regolarizzazione dimensionale e quindi la funzione β(g) per d = 3 ε.

10 Test 0 -Teoria dei Campi 200 Considerare il modello σ non lineare in d = 4 dimensioni, L = 2g ( µn a ) 2, () dove il vettore n a ha quattro componenti, a =,..., 4, e descrive una sfera tridimensionale, 4 a= (na ) 2 = v 2. Discutere il maggior numero possibile dei seguenti argomenti: - le simmetrie del modello; - la relazione con la teoria scalare λφ 4 di un campo doppietto complesso φ = ( φ φ 2 ) nella fase spontanemente rotta, L = 2 µφ 2 λ 4! ( φ 2 v 2) 2, (2) - lo sviluppo perturbativo intorno alla configurazione n a = vδ a e i diagrammi di Feynman; - le divergenze ad un loop; - la rinormalizzabilità della teoria.

11 Test -Teoria dei Campi 202 a) Riesprimere i termini di interazione trilineari e quartici tra bosoni vettori del Modello Standard in termini degli autostati di massa A µ, Z µ, W ± µ. b) Sono possibili termini d interazione del tipo A p Z q con p + q = 3, 4? c) Disegnare tutti i grafici di Feynman che, all ordine più basso, contribuiscono al processo W + W W + W d) Calcolare l ampiezza del processo W + W W + W nel limite di alta energia sostituendo ai W ±, i bosoni di Goldstone ad essi associati φ ± (usa il gauge di Feynman) e) Calcolare la larghezza di decadimento Γ(H W + W ) (supponendo M H > 2M W e mostrare che nel limite M H >> M W si riduce a Γ(H φ + φ ) con φ ± i bosoni di Goldstone associati a W ± (ciò significa che per M H >> M W, il decadimento H W + W è dominato da H W + L W L, dove W ± L è la componente longitudinale di W ±, commentare su questo).

12 Test 2 -Teoria dei Campi 202 Ricapitolare la rinormalizzazione della teoria λφ 4 a massa nulla, L = 2 ( µφ) 2 λ 4! φ4, in d = 4 ad un loop, utilizzando la regolarizzazione dimensionale: costanti di rinormalizzazione, funzione beta e dimensione anomala di φ. Quindi calcolare la rinormalizzazione dell operatore composto : φ 2 : e calcolare la corrispondente dimensione anomala. Suggerimento: considerare lo sviluppo perturbativo del correlatore Γ (,2) = : φ2 : φφ φφ 2 = Z c : φ 2 o : φ o φ o φ o φ o 2, che definisce la costante di rinormalizzazione Z c per : φ 2 :. Calcolare la corrispondente dimensione anomala al punto critico infrarosso in d = 4 ε. Se si ha tempo, verificare la compatibilità con la rinormalizzazione del correlatore : φ 2 : : φ 2 :.