How to compute the sun vector for path planning

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1 How to compute the sun vector for path planning 1 Calcolo dell illuminazione delle celle solari Si consideri la Fig. 1. Il rover si sposta sulla mappa, variando nel tempo la sua posizione p = ( x y z ) T e il suo assetto R, entrambi riferiti ad un sistema inerziale indicato con R 0. Il sistema di riferimento a bordo rover è indicato con R m. La mappa è orientata in modo tale che il Nord geografico sia allineato con l asse Y positivo e l Est geografico con l asse X positivo del riferimento inerziale, ossia con il versore (vettore unitario) i 0. In tal modo le posizioni sono misurate in gradi di longitudine lungo X e gradi di latitudine lungo Y. All equatore della Terra 1 di latitudine o di longitudine equivalgono approssimativamente a 111 km. L assetto del rover è calcolabile utilizzando gli angoli di Roll, Pitch e Yaw (RPY), θ x, θ y, θ z ; in tale configurazione, l assetto vale c θz c θy s θx s θy c θz c θx s θz c θx s θy c θz + s θx s θz R (θ x, θ y, θ z ) = c θy s θz s θx s θy s θz + c θx c θz c θx s θy s θz s θx c θz s θy s θx c θy c θx c θy dove si scrive c θ = cos θ, s θ = sin θ. Gli angoli θ x, θ y, θ z dipendono dal tempo attraverso la legge del moto del rover. La posizione istantanea del Sole nel cielo è data da due angoli, detti angolo di azimuth φ s (t) e angolo di elevazione solare θ s (t) (vedere Fig. 3). L azimuth è l angolo tra una direzione fissa definita sul piano locale π (di solito il Sud, ma talvolta in Nord) e l intersezione su π del piano OSP contenente l osservatore, il Sole e il piede P della perpendicolare dal Sole a π. L elevazione solare è l angolo tra il segmento OP e la linea OS. 1

2 Questi angoli sono funzione di parametri astronomici, della posizione (latitudine e longitudine) del rover e dell ora locale, attraverso una legge che sarà specificata nel seguito. Il vettore unitario, chiamato vettore sole s = OS, che dal rover punta verso il Sole, ha la seguente espressione sin φ s cos θ s s = cos φ s cosθ s (1) sin θ s Sembra ragionevole ipotizzare che l illuminazione dei pannelli solari sia massima quando il sole si trova allo zenith rispetto ad essi e che si riduca via via che l altezza del sole diminuisce, fino a diventare zero quando il sole è sullo stesso piano (o al disotto) dei pannelli. Se consideriamo pari a 1 l illuminazione massima e pari a 0 quella minima, il calcolo di questo parametro si traduce nel calcolo del prodotto scalare tra s e il vettore unitario n normale al piano dei pannelli solari. Per calcolare n, bisogna conoscere la posizione dei pannelli solari rispetto al corpo principale del robot. Qui facciamo l ipotesi semplificativa che i pannelli si trovino sul piano XY del riferimento R m, e che quindi n coincida con k m. La Fig. illustra il rover con i pannelli solari, il versore n e il vettore sole s. In questa ipotesi, il vettore n, rappresentato in R 0 avrà la seguente espressione, in funzione degli angoli RPY: c θx s θy c θz + s θx s θz n = c θx s θy s θz s θx c θz () c θx c θy Conseguentemente il prodotto scalare varrà s T n = s φs c θs (c θx s θy c θz + s θx s θz ) c φs c θs (c θx s θy s θz s θx c θz ) + s φs c θx c θy (3) Se indichiamo con la variabile 0 σ 1 il coefficiente di carica dovuto all illuminazione solare, possiamo scrivere { s σ = T n per s T n 0 0 per s T n 0 Legge oraria per n(t) Il valore di n(t) dipende dalla legge del moto del rover e dalla mappa su cui esso si muove. Nel nostro caso lo si può calcolare applicando la relazione (), noti gli angoli di roll θ x (t), pitch θ y (t), yaw θ z (t).

3 3 Legge oraria per s(t) Come abbiamo visto sopra, il valore di s dipende da due angoli, rispettivamente di azimuth (φ s ) e di elevazione solare (θ s ), che a loro volta dipendono dalle seguenti grandezze: 1. L inclinazione dell asse di rotazione del corpo celeste (pianeta o satellite) rispetto all eclittica (piano di rotazione del pianeta intorno al Sole). Si chiama anche obliquità dell eclittica ε: per la Terra ε = 3 7 = 3.45 = 0.41 rad, mentre per Marte ε = = 5.19 = 0.44 rad.. La posizione attuale del rover (latitudine e longitudine) sul pianeta. Si può considerare approssimativamente costante, considerando che i percorsi del rover siano brevi 3. L attuale stagione su Marte; per stagione si intende la posizione del pianeta durante l orbita intorno al Sole, rispetto ad un origine assegnata (vedi anche Fig. ). La stagione si misura anche come longitudine solare L s, a partire da L s = 0 per l equinozio di primavera (vedi Fig. 3). 4. Il tempo solare, cioè l ora locale misurata rispetto alla durata del giorno, che su Marte è leggermente più lungo che sulla Terra, ossia 1 sol = 4 h 39.5 min Tuttavia, per semplificare i calcoli, si utilizzano le formule valide per la Terra. 3.1 Calcolo dell altezza solare L angolo θ s che misura l altezza o elevazione del Sole (Sun height) rispetto al piano dell orizzonte si ottiene dalla seguente relazione sin θ s = cosh cos δ cos Φ L + sin δ sin Φ L (4) dove: h angolo orario 1 ora = 15 δ declinazione solare 3.45 sin ( 360 (N + 84)) 365 N giorno dell anno ad es. 1 Marzo = 80 Φ L latitudine locale ad es. Torino = 45 Un esempio del risultato che si ottiene con i valori dei parametri visti sopra, è riportato in Fig Calcolo dell azimuth Nota: l angolo di azimuth φ s è definito rispetto al Sud geografico ed è assunto positivo se in verso antiorario; alcuni testi definiscono l azimuth come l angolo (positivo se in verso 3

4 orario) rispetto al Nord geografico; noi ci atterremo alla prima definizione. L azimuth è positivo se verso Est, altrimenti è considerato negativo. Esistono due relazioni, entrambe le quali permettono di calcolare φ s ; esse sono e cosφ s = sin θ s sin Φ L sin δ cosθ s cos Φ L (5) cosφ s = cos h cosδ sin Φ L sin δ cos Φ L cosθ s (6) Entrambe portano agli stessi grafici e la scelta di quale usare dipende dall organizzazione interna dei dati dell algoritmo. Un esempio del risultato che si ottiene con i valori dei parametri visti sopra, è riportato in Fig Calcolo del vettore sole Un esempio di calcolo del vettore sole è riportato in Fig. 6, mentre Fig. 7 presenta il grafico dell elevazione solare normalizzata; essa è semplicemente il risultato dell applicazione della relazione (3) quando n = k. 4 Approssimazioni Bisogna considerare che si introducono numerose approssimazioni. In primo luogo le approssimazioni dovute alla discretizzazione della mappa. Essa è una grid map, dove ogni elemento della griglia ha una una larghezza l X e una altezza l Y che dipendono dalle specifiche esterne; possiamo ad esempio avere mappe , con l X = l Y = 0.1 m, oppure con l X = l Y = 1 m. In ogni caso, il moto locale del rover non supera l ampiezza di qualche kilometro e quindi la variazione di latitudine e longitudine può essere senz altro trascurata. Notiamo che l angolo θ z (Yaw) è discretizzato su 8 valori, così definiti direzione codifica sin θ z cosθ z N NE 1 E 1 0 SE 3 S SO 5 O NO 7 4

5 Queste approssimazioni possono portare al calcolo semplificato delle numerose funzioni trigonometriche presenti in (1)-(6) Figura 1: I sistemi di riferimento. 5

6 Figura : Il rover con i pannelli solari. Figura 3: Stagioni su Marte. 6

7 Figura 4: Diagramma dell elevazione del sole il giorno 1 Marzo, alla latitudine di 45. Figura 5: Diagramma dell azimuth il giorno 1 Marzo, alla latitudine di 45 sulla Terra. 7

8 Figura 6: Diagramma del vettore Sole s il giorno 1 Marzo, alla latitudine di 45 sulla Terra. Figura 7: Diagramma dell elevazione normalizzata σ = n T s il giorno 1 Marzo, alla latitudine di 45 sulla Terra. 8