UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI GENOVA

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1 UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI GENOVA Esame di Dottorato di Ricerca in Fisica XXVII ciclo - Traccia 1 1) Due blocchi, di massa m 1 =.0 kg e m = 9.0 kg rispettivamente, ed una molla ideale di costante elastica k = 350 N/m sono disposti come in figura su un piano liscio. II coefficiente di attrito statico tra i blocchi vale µ s = 0.4. i calcoli: a) il massimo allungamento della molla per cui i due corpi non scivolino uno sopra l altro; b) la velocità dei due corpi nella posizione di equilibrio quando il massimo allungamento è quello calcolato precedentemente. m 1 m ) Un condensatore variabile a facce piane parallele è costituito da due semicerchi metallici fissi di raggio R =.0 cm, distanti h = 0.1 cm, entro i quali si trova un semicerchio dielettrico di raggio R, spessore h e costante dielettrica ε r = 4, libero di ruotare attorno ad un asse passante per O e perpendicolare alle armature (vedi figura in cui in nero sono indicate le armature del condensatore e in tratteggio il dielettrico). Tra le armature del condensatore è mantenuta una differenza di potenziale costante pari a V = 100 V. Detto l angolo di rotazione del dielettrico rispetto alle armature (di modo che quando armature e dielettrico sono perfettamente sovrapposti = 0) si calcoli: a) la capacità del condensatore per = 30 b) il momento delle forze sull asse di rotazione O 3) i consideri un sistema costituito da un recipiente cilindrico con pareti conduttrici, chiuso superiormente da un pistone scorrevole di massa m = 50 kg e sezione = 4 dm, e da una miscela di acqua e ghiaccio che circonda il cilindro. La pressione dell ambiente esterno vale p 0 = 1 atm. Nel recipiente sono contenute n = 1 moli di gas perfetto monoatomico. Il sistema è inizialmente in equilibrio termico. Dopo che viene posato sopra il pistone un corpo di massa m* = 70 kg, il pistone si abbassa e nella successiva trasformazione irreversibile si ha la fusione di una massa m 1 di ghiaccio. i calcoli m 1 e la variazione di entropia del sistema (si assuma il sistema isolato termicamente e si ricordi che il calore latente di fusione del ghiaccio vale λ f = J/g). 4) Un elettrone (massa m e = kg) si muove in una dimensione in presenza del potenziale: V 0 per x > d Con V 0 = mev. Trovare l intervallo di valori della lunghezza d affinché esista un solo stato legato. 5) Un gas di Fermi non interagente, costituito da N particelle di massa m e spin 3/, è confinato a muoversi in due dimensioni all interno di un quadrato di lato L (0 x L e 0 y L) a causa della presenza di un potenziale infinito al di fuori del quadrato e nullo dentro. i determini: a) l energia di Fermi E F del sistema; b) l energia dello stato fondamentale e la si esprima in funzione di N ed E F. 6) Una particella di massa a riposo m 0 = MeV/c che possiede una energia cinetica T = GeV, entra in una collisione completamente anelastica con un altra particella di pari massa inizialmente a riposo. Nell urto le due particelle annichilano dando origine ad una nuova particella. Trovare la massa e la velocità dell unica particella prodotta.

2 UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI GENOVA Esame di Dottorato di Ricerca in Fisica XXVII ciclo - Traccia 1) Due blocchi, di massa m 1 =1.5 kg e m = 6.0 kg rispettivamente, ed una molla ideale di costante elastica k sono disposti come in figura su un piano liscio. II coefficiente di attrito statico tra i blocchi vale µ s = 0.3. i calcolino i valori di k affinché alla massima ampiezza delle oscillazioni armoniche pari a x M = 10 cm i due blocchi non scivolino, l uno rispetto all altro, e le frequenze di oscillazione corrispondenti. m 1 m ) i consideri un elettrometro costituito da una barra verticale in cima alla quale è incernierato un filo rigido che viene deflesso dalla barra sotto l azione di una carica elettrica. La lettura viene fatta attraverso un quadrante graduato in gradi. La lunghezza del filo, uguale a quella della barra, è l = 10 cm e la sua massa m = 3 g. uale deve essere la carica depositata su tale elettrometro affinché il filo venga deflesso di un angolo = 0? Fate la seguente ipotesi: la carica è distribuita equamente tra barra e filo ed è concentrata sulle estremità della barra e del filo. 3) Un condensatore variabile a facce piane parallele è costituito da due semicerchi metallici fissi di raggio R, distanti h = 1 mm entro i quali si trova un semicerchio dielettrico di raggio R, spessore h e costante dielettrica ε r = 3, libero di ruotare attorno ad un asse passante per O e perpendicolare alle armature (vedi figura in cui in nero sono indicate le armature del condensatore e in tratteggio il dielettrico). Tra le armature del condensatore è mantenuta una differenza di potenziale costante pari a V = 100 V. Detto l angolo di rotazione del dielettrico rispetto alle armature (di modo che quando armature e dielettrico sono perfettamente sovrapposti = 0) si calcoli: a) il raggio R sapendo che la capacità del condensatore vale C = 30 pf per = 60 b) il momento delle forze sull asse di rotazione O 4) i consideri un sistema costituito da un recipiente cilindrico con pareti conduttrici, chiuso superiormente da un pistone scorrevole di massa m = 0 kg e sezione = 5 dm sul quale è appoggiato una massa m* = 60 kg, e da una miscela di acqua e ghiaccio che circonda il cilindro. La pressione dell ambiente esterno sia p 0 = 1 atm. Nel recipiente sono contenute n = 1 moli di gas perfetto monoatomico. Il sistema è inizialmente in equilibrio termico. Togliendo dal pistone la massa m*, il pistone si alza e nella successiva trasformazione irreversibile si ha la formazione di una massa m 1 di ghiaccio. i calcoli m 1 e la variazione di entropia del sistema (si assuma il sistema isolato termicamente e si ricordi che il calore latente di fusione del ghiaccio vale λ f = J/g). V 0 per x > d Con V 0 = mev. Trovare l intervallo di valori della lunghezza d affinché non ci sia alcun stato legato. 6) Una particella di massa m si muove su un piano ed è soggetta ad un potenziale armonico del tipo: b) i scriva la funzione d onda stazionaria relativa allo stato fondamentale e si calcoli al primo ordine perturbativo non nullo la correzione all energia dello stato fondamentale in presenza del potenziale V 1 = Ax 4. [i ricordi che l autofunzione normalizzata di un oscillatore armonico unidimensionale per lo stato fondamentale vale φ 0 (x) = mω 1 0 πħ ħ

3 UNIVERITÀ DEGLI TUDI DI GENOVA Esame di Dottorato di Ricerca in Fisica XXVII ciclo - Traccia 3 1) Nel sistema mostrato in figura, due blocchetti rispettivamente di massa m 1 = 0.4 kg e m = 0.1 kg vengono lanciati su un piano orizzontale liscio con velocità orizzontale v 0 = 0.3 m/s contro una molla ideale di costante elastica k = 50.0 N/m. i calcoli: a) la massima compressione della molla, supponendo che l attrito tra i due blocchi sia sufficiente ad impedirne lo scivolamento relativo; b) il valore minimo che deve avere il coefficiente di attrito statico µ s tra i due blocchi affinché ciò accada. m m 1 ) i consideri un elettrometro costituito da una barra verticale in cima alla quale è incernierato un filo rigido che viene deflesso dalla barra sotto l azione di una carica elettrica. La lettura viene fatta attraverso un quadrante graduato in gradi. La lunghezza del filo, uguale a quella della barra, è l = 10 cm e la sua massa m = 3 g. i calcoli di quale angolo viene deflesso il filo quando sull elettrometro viene depositata una carica = 30 nc. Fate la seguente ipotesi: la carica è distribuita equamente tra barra e filo ed è concentrata sulle estremità della barra e del filo. 3) Un solenoide ideale di diametro d = 4 cm e densità lineare di spire pari a n = 80 spire/cm, giace su un piano orizzontale ed è collegato ad un generatore di corrente che fornisce una corrente costante I = 1 A. Il solenoide contiene interamente una sbarretta di materiale ferromagnetico di permeabilità magnetica µ r = 1000 e di lunghezza e sezione pari a quelle del solenoide. Applicando una forza esterna F si estrae lentamente la sbarretta. i calcoli la variazione dell induttanza quando la sbarretta è estratta per una lunghezza l = 5 cm e l intensità della forza F applicata. 4) i consideri un sistema costituito da un recipiente cilindrico con pareti conduttrici, chiuso superiormente da un pistone scorrevole di massa m = 0 kg e sezione = 4 dm, e da una miscela di acqua e ghiaccio che circonda il cilindro. La pressione dell ambiente esterno sia p 0 = 1 atm. Nel recipiente sono contenute n = 1 moli di gas perfetto monoatomico. Il sistema è inizialmente in equilibrio termico. i posa sopra il pistone un corpo di massa m*, il pistone si abbassa e nella successiva trasformazione irreversibile si ha la fusione di una massa m 1 = 3 g di ghiaccio. i calcoli m* e la variazione di entropia del sistema (si assuma il sistema isolato termicamente e si ricordi che il calore latente di fusione del ghiaccio vale λ f = J/g). V 0 per x > d Con V 0 = mev. Trovare l intervallo di valori della lunghezza d affinché ci siano esattamente due stati legati. 6) Una particella di massa m si muove su un piano ed è soggetta ad un potenziale armonico del tipo: b) i scriva la funzione d onda stazionaria relativa allo stato fondamentale e si calcoli al primo ordine perturbativo non nullo la correzione all energia dello stato fondamentale in presenza del potenziale V 1 = Ax y. [i ricordi che l autofunzione normalizzata di un oscillatore armonico unidimensionale per lo stato fondamentale vale φ 0 (x) = mω 1 0 πħ ħ

4 oluzione 1 1) kx = (m 1 + m )x ν = ω π = k (m 1 +m ) π x M = μ s (m 1+m )g k ) 3) = L m 1 λ f = pδv = m 1 = nr λ f m m+ p 0 g ω = k (m 1 + m ) Δ = nc p ln T f T i nrln p f p i + m 1λ f nr nr = nr = nrln p (m+m 0+ )g + m 1λ f m g 4) Un elettrone (massa m e = kg) si muove in una dimensione in presenza del potenziale: V 0 per x > 0 Con V 0 = mev. Trovare l intervallo di valori della lunghezza d affinché esista un solo stato legato. 5) Un gas di Fermi non interagente, costituito da N particelle di massa m e spin 3/, è confinato a muoversi in due dimensioni all interno di un quadrato di lato L (0 x L e 0 y L) a causa della presenza di un potenziale infinito al di fuori del quadrato e nullo dentro. i determini: a) l energia di Fermi del sistema; b) l energia dello stato fondamentale e la si esprima in funzione di N ed E F. 6) 1: (γm 0 c, βγm 0 c ), : (m 0 c, 0) M c 4 = s = (m 0 c ) ((γ + 1) β γ ) = (m 0 c ) (γ + γ + 1 β γ ) = (m 0 c ) (γ + 1) Mc = m 0 c (γ + 1) γ Mc = (γ + 1)m 0 c γ = (γ+1) β = 1 (γ+1) β = γ 1 γ+1 1: (E, pc), : (m 0 c, 0) M c 4 = s = (E + m 0 c ) p c = E + Em 0 c + (m 0 c ) p c = m 0 c (E + m 0 c ) Mc = m 0 c 1 + E m 0 c γ Mc (γ = (γ + 1)m 0 c γ + 1) = β = 1 β = γ 1 (γ + 1) γ + 1

5 oluzione 1) k = μ s (m 1+m )g x M kx = (m 1 + m )x ν = ω π = k (m 1 +m ) ) F C = 1 4πε 0 lsin π P l sin F Clcos = 0 mgsin cos 1 4πε 0 ω = k (m 1 + m ) = 4πε 0 16l mgsin 3 3) lsin cos = 0 C = C 1 + C = ε 0 h + ε 0ε r h = ε 0 Fdl = du 4) = L R h + ε (π )R 0ε r h Frd = 1 V dc Fr = 1 dc V d = 1 R V ε 0 h (1 ε r) m 1 λ f = pδv = nr m 1 = nr λ f m m+m + p 0 g nr = nr Δ = nc p ln T f nrln p f m 1λ f = nrln p mg 0+ T i p i m g m 1λ f V 0 per x > 0 Con V 0 = mev. Trovare l intervallo di valori della lunghezza d affinché non ci sia alcun stato legato. 6) Una particella di massa m si muove su un piano ed è soggetta ad un potenziale armonico del tipo: b) i scriva la funzione d onda stazionaria relativa allo stato fondamentale e si calcoli al primo ordine perturbativo non nullo la correzione all energia dello stato fondamentale in presenza anche del potenziale V 1 = Ax 4. [i ricordi che l autofunzione normalizzata di un oscillatore armonico 1 unidimensionale per lo stato fondamentale vale φ 0 = mω 0 πħ ħ

6 oluzione 3 1) kx = (m 1 + m )x k = (πυ) (m 1 + m ) x M = μ s (m 1+m )g k ) F C = 1 4πε 0 lsin P l sin F Clcos = 0 mgsin cos 1 4πε 0 ω = k (m 1 + m ) = 4πε 0 16l mgsin 3 3) 4) = L lsin cos = 0 m 1 λ f = pδv = m = m 1λ f nr m + p 0 g nr Δ = nc p ln T f T i nrln p f p i + m 1λ f 1 1 = nrln p (m+m 0+ )g = nr + m 1λ f m g V 0 per x > 0 Con V 0 = mev. Trovare l intervallo di valori della lunghezza d affinché ci siano solo due stati legati. 6) Una particella di massa m si muove su un piano ed è soggetta ad un potenziale armonico del tipo: b) i scriva la funzione d onda stazionaria relativa allo stato fondamentale e si calcoli al primo ordine perturbativo non nullo la correzione all energia dello stato fondamentale in presenza anche del potenziale V 1 = Ax y. [i ricordi che l autofunzione normalizzata di un oscillatore armonico 1 unidimensionale per lo stato fondamentale vale φ 0 = mω 0 πħ ħ