Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 5 a.a Soluzioni

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1 Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 5 a.a Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 10.1, 10.2 e 10.3 del libro per gli esercizi sull omotopia e i paragrafi da 11.1 a 11.4 e 12.5 per gli esercizi sul gruppo fondamentale. È consigliato svolgere tutti gli esercizi del libro. Riportiamo qui il testo per chi non ha il libro. Sul libro ci sono (a volte) suggerimenti sulllo svolgimento. Ricordiamo che tutte le volte che si fa riferimento allo spazio R oppure R n oppure un sottospazio come l intervallo [0, 1] senza specificare la topologia, si intende sempre la topologia euclidea (l usuale topologia indotta dalla metrica). Esercizio Dimostrare, come affermato nella Definizione 10.17, che per uno spazio topologico non vuoto X le seguenti condizioni sono equivalenti: 1. X ha il tipo di omotopia di un punto. 2. Per ogni p X l applicazione costante f : X X data da f(x) = p, è omotopa all identità. 3. Esiste p X tale che l applicazione costante f : X X data da f(x) = p, è omotopa all identità. 2. = 3. Ovvio. 3. = 1. Sia A = {a} lo spazio composto da un punto. Dobbiamo trovare due funzioni α : X A e β : A X tali che β α id X (poiché α β = id A, l altra condizione è automatica). Basta allora porre β(a) = p. Poiché si ha β α = f, l ipotesi assicura che β α id X. 1. = 2. Sia A = {a} lo spazio composto da un punto. Per ipotesi ci sono due funzioni α : X A e β : A X tali che β α id X e α β = id A. Poniamo β(a) = q X e sia p X un punto qualunque. La funzione β α è la funzione costante g(x) = q per ogni x X e sia H : X [0, 1] l omotopia fra l identità e la funzione costante g in modo che sia H(x, 0) = id X e H(x, 1) = g(x) = q. Poniamo γ(t) = H(p, t). Questo è un cammino in X tale che γ(0) = H(p, 0) = p e γ(1) = H(p, 1) = q. Definendo G : X [0, 1] X come G(x, t) = γ(t), si ha un omotopia fra la funzione costante G(x, 0) = f(x) = p e la funzione costante G(x, 1) = g(x) = q. Dunque e cioè la tesi. f g id X Osserviamo che il ragionamento dell ultimo capoverso dimostra in generale che: Due funzioni costanti f : X Y, f(x) = p e g : X Y, g(x) = q sono omotope se e solo se p e q sono nella stessa componente connessa per archi di Y.

2 Esercizio Sia X uno spazio topologico e siano f, g : X S n due applicazioni continue. Utilizzando l espressione algebrica tf(x) + (1 t)g(x), t [0, 1] tf(x) + (1 t)g(x) mostrare che se f(x) g(x) per ogni x X, allora f è omotopa a g. L espressione algebrica data definisce una funzione F (x, t) a valori in S n che coincide con f(x) per t = 1 e con g(x) per t = 0 ed è chiaramente continua sul suo dominio. Dobbiamo perciò solo verificare che il dominio sia tutto X [0, 1]. Poiché f(x) g(x), i punti f(x) e g(x) non sono antipodali su S n e quindi il segmento che li unisce non passa per l origine (il centro della sfera). Dunque il denominatore di F (x, t) è sempre non nullo e dunque il dominio è tutto X [0, 1].

3 Esercizio Provare che i due cammini α, β : I R 2 {0} α(t) = (1 + t)(sin(8t), cos(8t)), β(t) = (1 + t 2 )(sin(8t), cos(8t)) sono omotopicamente equivalenti. Basta scrivere un omotopia. Usiamo la variabile s [0, 1] per il parametro di deformazione. Poniamo F (t, s) = (1 + t (s+1) )(sin(8t), cos(8t)) L espressione 1 + t (s+1) è ben definita e continua perché t 0 e l esponente è sempre strettamente positivo (non dobbiamo preoccuparci del caso 0 0 ). Inoltre l esponenziale t (s+1) 0 sempre e quindi 1 + t (s+1) > 0, t [0, 1], s [0, 1] e cioè F (t, s) R 2 {0} durante tutta l omotopia. Le verifiche F (t, 0) = α(t), F (t, 1) = β(t), F (0, s) = α(0) = β(0) e F (1, s) = α(1) = β(1) sono immediate.

4 Esercizio Provare che ogni applicazione continua omotopa ad una costante induce l omomorfismo nullo tra i rispettivi gruppi fondamentali (abbiamo usato questo fatto più volte a lezione). Enunciamo con precisione il problema. Sia f : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) una funzione continua e sia c : X Y la funzione costante c(x) = y 0. Dobbiamo dimostrare: se f c allora f : π 1 (X, x 0 ) π 1 (Y, y 0 ) è l omomorfismo nullo che manda ogni elemento di π 1 (X, x 0 ) nell elemento neutro di π 1 (Y, y 0 ). Dalle proprietà generali del gruppo fondamentale si ha l uguaglianza degli omomorfismi indotti, e cioè f = c. Basta allora dimostrare che c è l omomorfismo nullo. Sia σ : [0, 1] X tale che σ(0) = σ(1) = x 0 un cammino chiuso e sia [σ] π 1 (X, x 0 ) l elemento del gruppo fondamentale determinato da σ. Per definizione c ([σ]) = [c σ] π 1 (Y, y 0 ) Ma c σ è il cammino costante in y 0 che è l elemento neutro del gruppo fondamentale di Y.

5 Esercizio Calcolare il gruppo fondamentale del sottospazio di R 3 unione della sfera S 2 e dei tre piani coordinati (sul libro di Manetti c è un suggerimento). Utilizziamo il suggerimento e consideriamo il sottospazio X formato dalla della sfera unitaria e dai tre piani coordinati di R 3 come l unione dei due aperti A = {x X x > 0}, B = {x X x < 1} A e B sono chiaramente connessi per archi e anche l intersezione A B, formata dalle parti dei piani coordinati interne alla sfera privata dell origine, è connessa per archi. A è omotopicamente equivalente alla sfera S 2 : infatti tutto lo spazio R 3 {0} è omotopicamente equivalente alla sfera e la stessa funzione f : A S 2 data da f(x) = x x dà un equivalenza omotopica fra A e S2. In particolare, π 1 (A) = 0, perché la sfera S 2 è semplicemente connessa B è contraibile: la funzione F (x, t) = tx è un omotopia fra l identità di B e la funzione costante che manda B nell origine. Anche in questo caso, π 1 (B) = 0. Usando allora il teorema di Van Kampen, prima parte (teorema 11.25) concludiamo che il gruppo fondamentale di X è generato dalle immagini di π 1 (A) e π 1 (B) e quindi π 1 (X) = 0.

6 Esercizio Scrivere l espressione analitica della funzione r(x) introdotta nella dimostrazione del Corollario Leggere la soluzione sul Manetti, pag. 319.

7 Esercizio Siano f, g : S 1 S 1 due applicazioni continue tali che f(x) g(x) per ogni x. Provare che f e g sono omotope. Ricordando l Esercizio 10.12, abbiamo (ponendo h(x) = g(x)) che f g. Consideriamo ora la mappa antipodale A : S 1 S 1 definita da A(x) = x. Possiamo riscrivere il risultato precedente come f A g Ma per la circonferenza S 1 (in effetti per ogni sfera di dimensione dispari), la mappa antipodale è omotopa all identità. Nel caso della circonferenza la dimostrazione è semplice: la mappa antipodale è la rotazione di 180 e rappresentando S 1 come vettori di lunghezza 1 e quindi nella forma (cos θ, sin θ), con θ [0, 2π] possiamo scrivere una omotopia Si ha in effetti F (θ, t) = (cos(θ + πt), sin(θ + πt)) F (θ, 0) = (cos(θ), sin(θ)) F (θ, 1) = (cos(θ + π), sin(θ + π)) = (cos(θ), sin(θ)) Poiché la relazione di omotopia è compatibile con la composizione di funzioni si ha f A g id S 1 g = g

8 Esercizio Dimostrare che R 2 non è omeomorfo a R [0, + ). Per assurdo. Sia f : R [0, + ) R 2 un omeomorfismo. Ponendo X = (R [0, + )) {(0, 0)} e Y = R 2 {f(0, 0)}, c è un omeomorfismo indotto f : X Y. Lo spazio X è contraibile: considerando infatti il punto x 0 = (1, 0), per ogni punto x X il segmento che unisce x a x 0 è contenuto in X, che è quindi stellato rispetto a x 0. Allora X si contrae ad x 0 (scrivere per esercizio un omotopia esplicita fra l identità di X e la funzione costante che manda X in x 0.) Lo spazio Y non è contraibile: considerando una circonferenza C di centro f(0, 0) e raggio 1, si ha che Y si contrae a C e quindi il gruppo fondamentale di Y è non nullo. Dunque X e Y non sono omeomorfi, contro l ipotesi.