Esercizi e complementi di Analisi Complessa - 2
|
|
- Enrichetta Durante
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercizi e complementi di Analisi Complessa - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it 16 maggio Varietà complesse Consideriamo uno spazio topologico X, che sia una varietà reale di dimensione 2, paracompatto e a base numerabile; sia {U n } n N un rivestimento di aperti che formi, con le funzioni {phi n : U n C} n N un atlante per la struttura di varietà. Se U nm = U n U m, possiamo definire la funzione f nm : φ n (U nm ) φ m (U nm ) tramite f nm = φ m φ 1 n Se f nm è olomorfa per ogni n, m tali che U nm, diciamo che {U n, φ n } n N è un atlante di varietà complessa per X e chiamiamo X varietà complessa (o, visto che ha dimensione reale 2, superficie di Riemann). Due atlanti {U n, φ n } n N e {V n, ψ n } n N si dicono compatibili se la loro unione è ancora un atlante di varietà complessa. Una famiglia massimale di atlanti compatibili si dice struttura di varietà complessa (o di superficie di Riemann). Esercizio 1 Un aperto di C è una varietà complessa. Esercizio 2 La sfera S 2 è una varietà complessa. Esercizio 3 L insieme {(z, w) C 2 : z 2 + w 2 = 1} è una varietà complessa. Esercizio 4 L insieme {(z, w) C 2 : p(z, w) = k} con p C[z, w] tale che il sistema p z (z, w) = 0 p w (z, w) = 0 p(z, w) = k non abbia soluzioni è una varietà complessa. Una funzione f : X C, con X superficie di Riemann, si dice olomorfa se, dato un atlante {U n, φ n } n N per la struttura di superficie di Riemann di X, si ha che f φ 1 n : φ n (U n ) C è olomorfa per ogni n. Esercizio 5 Questa definizione non dipende da quale atlante si prende all interno di una certa struttura di superficie di Riemann. Esercizio 6 Se f : X C è olomorfa, è anche continua. Esercizio 7 Le carte di un atlante per la struttura di superficie di Riemann sono funzioni olomorfe. 1
2 Una applicazione olomorfa tra due superfici di Riemann X e Y è una funzione f : X Y tale che, comunque presi {U n, φ n } e {V n, ψ n } atlanti per X e Y, si ha che ψ m f φ 1 n è olomorfa, fissato n, per ogni m tale che f(u n ) V m. Una funzione meromorfa su X è una applicazione olomorfa di X in P 1 (C) Esercizio 8 Una applicazione olomorfa è aperta, se non è costante. Esercizio 9 Una funzione olomorfa limitata è costante. Esercizio 10 L insieme delle funzioni olomorfe su una superficie di Riemann compatta si riduce alle costanti. Più in generale, le applicazioni olomorfe da una superficie di Riemann compatta ad una non compatta sono costanti. Esercizio 11 La definizione di funzione meromorfa coincide con quella usuale quando X C. Esercizio 12 Siano X una superficie di Riemann e Y un sottoinsieme di C n tali che esista un omeomorfismo i : X Y ; supponiamo che le funzioni Z k i : X C siano olomorfe, dove Z k : C n C è la funzione che restituisce la k esima coordinata del punto. Allora X non è compatta. 2 Mappe conformi e limitate Come è noto, una funzione f : U V, U e V aperti di R 2, si dice conforme se conserva gli angoli orientati tra curve regolari. Si può dimostrare che tale funzione deve essere olomorfa, se è in C 1 (R 2, R 2 ). Esercizio 13 Se f : D D è una funzione olomorfa tale che f(0) = f (1) (0) =... = f (m 1) (0) = 0 due curve che si intersecano in 0 con angolo α vengono mappate in due curve che si intersecano nell origine con angolo mα. Esercizio 14 Una funzione olomorfa è conforme se e solo se è iniettiva. Un dominio semplice D è un aperto connesso di C; un dominio a bordo regolare è un dominio semplice il cui bordo sia una curva regolare a tratti. Diamo per buono il teorema di Jordan per cui una curva semplice chiusa disconnette il piano in due parti sole, di cui una limitata. Questa verrà indicata come il dominio racchiuso dalla curva. Esercizio 15 Siano C e C due curve semplici chiuse regolari a tratti. Sia f una funzione olomorfa su C e sulla parte di piano da essa racchiusa. Se f mappa C su C di modo che, percorrendo il punto z la curva C in senso positivo, il punto f(z) percorra C in senso positivo ed esattamente una volta in ogni punto, allora f mappa il dominio racchiuso da C sul dominio racchiuso da C iniettivamente. Esercizio 16 Nelle ipotesi dell esercizio precedente, la lunghezza di C è data da L = f (z) dz C Esercizio 17 Sia f : D C olomorfa e iniettiva e sia A l area dell immagine di D. Dimostrare che A π f (0) 2. Esercizio 18 Una funzione olomorfa che mappa l interno di un cerchio nell interno di un altro cerchio in maniera iniettiva e surgettiva è una trasformazione lineare fratta. 2
3 Una funzione olomorfa su un dominio D e tale che f(z) leqm su D si dice (ovviamente) limitata su D; nel seguito supporremo che M = 1. Esercizio 19 Sia f : D D una funzione limitata su D; supponiamo che f(a 1 ) =... = f(a n ) = 0 con a i < 1. Allora n f(0) a i Esercizio 20 converge. Esercizio 21 Sia f : D D limitata con infiniti zeri a 1, a 2,... in D. Allora log a i Sia f : D C tale che Re(f) > 0 in D; allora se si ha f(z) = a n z n a n 2 n = 1, 2,... e tale limitazione è sharp. Esercizio 22 Sia f : D D limitata; allora f (z) 1 f(z) 2 1 z 2 Esercizio 23 Sia f : D D limitata; allora f(z 1 ) f(z 2 ) z 1 z r 2 ogni volta che z 1, z 2 r con r < 1. Esercizio 24 Se f : D D è limitata, f(0) = 0 e f (0) = a, allora f è iniettiva nel cerchio di raggio a r 0 = a 2 Esercizio 25 Sia f : D C olomorfa e sia ω n = exp(2iπ/n); se determinare lo sviluppo in serie di f(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z g n (z) = 1 n (f(ω nz) + f(ω 2 nz) f(ω n nz)) dedurne che h(z) = g( n z) è olomorfa in D e che, se f è limitata, anche h lo è. Esercizio 26 Utilizzando l esercizio precedente, dimostrare che a n 1 a 0 2, per i coefficienti di una funzione limitata. 3
4 3 Trasformazione di domini semplicemente connessi Supposto valido il teorema di Jordan, non è difficile vedere che un dominio delimitato da una curva semplice chiusa è semplicemente connesso. Se abbiamo un biolomorfismo f : D D tra due domini semplicemente connessi, delimitati da curve semplici chiuse C e C (sempre regolari a tratti), è naturale chiedersi quando f si possa estendere alle chiusure di D e D e con che regolarità sia possibile farlo. Esercizio 27 Sia C una curva regolare a tratti, semplice e chiusa; allora per ogni suo punto z 0 esiste un raggio r per cui, se 0 < ρ < r, la circonferenza di raggio ρ e centro z 0 interseca C in due punti soli. Esercizio 28 Sia z 0 un punto di C e siano J 1 e J 2 due archi regolari a tratti che terminano in z 0. Dimostrare che esiste un raggio r per cui, se 0 < ρ < r, la circonferenza di raggio ρ e centro z 0 interseca J 1 e J 2 in un solo punto ciascuno. Esercizio 29 Sia f : D D un biolomorfismo, siano z 0, J 1, J 2 e ρ come sopra. Sia z i,ρ l intersezione di J i con la circonferenza di raggio ρ e centro z 0. Dimostrare che lim f(z 1,ρ) f(z 2,ρ ) = 0 ρ 0 Hint: Scrivere d(ρ) = f(z 1,ρ ) f(z 2,ρ ) θ2 θ 1 f (z) ρdθ dove l integrale è sull arco di circonferenza, ed applicare Cauchy-Schwarz. Esercizio 30 Sia J 1 un arco regolare a tratti che termina in z 0 C e siano z i punti su J 1 che tendono a z 0. Allora i punti limite della successione {f(z n )} stanno in C. Esercizio 31 Dimostrare che, se vi sono due punti limite a e b su C, allora esistono due archi A 1 e A 2 in D, regolari a tratti, che intersecano entrambi J 1 un numero infinito di volte e tali che le loro immagini tramite f hanno distanza sempre maggiore o uguale a M > 0, per qualche M. Esercizio 32 Dimostrare che f si estende a f : D C D C e che quest ultima è una funzione continua. Nel caso di bordi particolarmente regolari, è possibile estendere la funzione f in maniera analitica, come ad esempio mostra il principio di riflessione di Schwarz per l asse reale o la circonferenza. Tale risultato si può generalizzare ad archi analitici, ovvero archi t z(t) con t R e z(t) analitica reale. Esercizio 33 Supponiamo che f : D D sia un biolomorfismo e che un arco J del bordo di D sia portato in un arco J del bordo di D. Se sia J che J sono archi analitici, allora f si estende ad una funzione olomorfa da D J a D J. 3.1 Poligoni Supponiamo ora di voler studiare i biolomorfismi (se ne esistono 1 ) tra il disco unitario (o il semipiano superiore) e un poligono. 1 Il teorema di uniformizzazione di Riemann garantisce che due aperti semplicemente connessi sono biolomorfi. 4
5 Nel seguito, sia P un poligono (aperto) di n lati nel piano complesso, con angoli πα 1,..., πα n, con α i = n 2. Esercizio 34 Supponiamo che esista un biolomorfismo f : H P. Sia P l immagine di P tramite un omotetia di fattore ρ e centro l origine, o una rotazione di angolo θ e centro l origine, o una traslazione di un vettore w. Scrivere un biolomorfismo g : H P in ciascuno dei casi precedenti. Esercizio 35 Definiamo l operatore D dalle funzioni olomorfe in H alle funzioni meromorfe con la seguente formula: D(f) = f Dimostrare che D(f) = D(g) se e solo se f(z) = Ag(z) + B con A, B C. Esercizio 36 Se f : H P è un biolomorfismo, dimostrare che D(f) : H C si estende a g : C C, meromorfa. Determinare i poli di g e i termini negativi del suo sviluppo di Laurent in essi. Esercizio 37 Usando l esercizio precedente scrivere g(z) = h(z) + k f µ i (z a i ) ni dove h non ha poli. Dimostrare che h è costante e determinarne il valore. Esercizio 38 Determinare f, sapendo che la g(z) precedentemente trovata è l estensione di D(f). Esercizio 39 Determinare il biolomorfismo f : D P. Esercizio 40 Nel caso in cui P sia un triangolo, scegliere un biolomorfismo f : H P (fissando le costanti di integrazione) e determinare la lunghezza dei lati di f(h) (fissando le costanti, si sceglie un rappresentate di una classe di similitudine dei triangoli, quindi ha senso parlare di lunghezze). Esercizio 41 Svolgere l esercizio precedente nel caso in cui P sia un rettangolo (attenzione: a meno di mappe affini di C, possiamo cambiare a nostro piacimento al più due punti della retta reale; gli altri poli della mappa sono uno all infinito e uno in un punto non meglio identificato della retta reale). Determinare quindi una mappa che porta H in un quadrato. Esercizio 42 Determinare un biolomorfismo tra H e C \ P. 3.2 Poligoni curvilinei Negli esercizi precedenti abbiamo determinato un biolomorfismo tra H e un poligono. Ora accenniamo a come risolvere un problema un poco più generale: ammettiamo che i lati di P possano essere archi di circonferenza, ovvero che P sia un poligono curvilineo. Ovviamente, dovremo ora considerarlo a meno di similitudini e inversioni circolari, quindi a meno di mappe lineari fratte. Esercizio 43 Definiamo l operatore S sulle funzioni olomorfe da H in C: ( ) f S(f) = f 1 ( ) f 2 2 f Dimostrare che S(f) = 0 se e solo se f(z) = az + b cz + d 5
6 Esercizio 44 Esprimere S(f g) in termini di f, g, S(f), S(g). Esercizio 45 Dimostrare che S(f) = S(g), se f e g si ottengono l una dall altra con una trasformazione lineare fratta. Esercizio 46 Utilizzare l invarianza di S, per calcolare S(f) nel caso in cui f : H P sia un biolomorfismo con un poligono con lati curvilinei e angoli πα 1,..., πα n. Dimostrare che S(f) = 1 2 n 1 αi 2 n (z a i ) 2 + β i (z a i ) + γ dove gli a i sono i poli di f, e determinare, nell ipotesi in cui f sia regolare all infinito (cioè non abbia un polo), le relazioni che devono soddisfare γ e i β i. Esercizio 47 Nel caso in cui P sia un triangolo curvilineo, determinare una f che realizzi un biolomorfismo tra H e P. Nota delirante e probabilmente inutile: S si chiama derivata Schwarziana ed è un importante invariante nella geometria differenziale sul proiettivo, visto che ignora le mappe lineari fratte, che sono gli automorfismo di P 1 (C). In un qualche senso, S è l operatore più naturale quando si vuole lavorare a meno di proiettività; se si considera una famiglia di diffeomorfismi locali in p P 1 (C), dipendente dal tempo (ovvero, per ogni t R + si sceglie un applicazione olomorfa f t da un intorno di p in sè, di modo che la funzione (t, z) f t (z) sia anche C rispetto a t) allora si ha che, per ɛ abbastanza piccolo [g(z), g(f ɛ (z)), g(f 2ɛ (z)), g(f 3ɛ (z))] = [z, f ɛ (z), f 2ɛ (z), f 3ɛ (z)] 2ɛ 2 S(g) + O(ɛ 3 ) dove [a, b, c, d] è il birapporto tra quattro punti del proiettivo e g è un diffeomorfismo di P 1 (C). 6
Corso di Geometria III - A.A. 2016/17 Esercizi
Corso di Geometria III - A.A. 216/17 Esercizi (ultimo aggiornamento del file: 2 ottobre 215) Esercizio 1. Calcolare (1 + 2i) 3, ( ) 2 + i 2, (1 + i) n + (1 i) n. 3 2i Esercizio 2. Sia z = x + iy. Determinare
DettagliGEOMETRIA B Esercizi
GEOMETRIA B 2016-17 BARBARA NELLI A.A. 2016-17 Alcuni degli esercizi sono presi dal libro DC [1]. 1. Esercizi Esercizio 1.1. Sia α : I R 3 una curva parametrizzata e sia v R 3 un vettore fissato. Assumiamo
DettagliCorso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulle funzioni di variabile complessa (1)
Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulle funzioni di variabile complessa 1) Marco Bramanti Politecnico di Milano November 7, 2016 1 Funzioni olomorfe e campi di
DettagliR. Capone Analisi Matematica Integrali multipli
Integrali multipli Consideriamo, inizialmente il caso degli integrali doppi. Il concetto di integrale doppio è l estensione della definizione di integrale per una funzione reale di una variabile reale
DettagliVi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi
ESERCIZI DI GEOMETRIA 3 Vi prego di segnalare ogni inesattezza o errore tipografico a mll@unife.it Spazi metrici, spazi topologici, applicazioni continue ed omeomorfismi Esercizio 1. Sia (X, d) uno spazio
DettagliForme differenziali lineari e loro integrazione
Forme differenziali lineari e loro integrazione Integrazione di una forma differenziale in due variabili Siano L(, ) e ( ) consideriamo l espressione M, due funzioni definite e continue in un insieme connesso
Dettagli1 Distanza di un punto da una retta (nel piano)
Esercizi 26/10/2007 1 Distanza di un punto da una retta (nel piano) Sia r = {ax + by + c = 0} una retta. Sia P = (p 1, p 2 ) R 2 un punto che non sta sulla retta r. Vogliamo vedere se si può parlare di
DettagliApplicazioni del grado di una mappa. 23 marzo 2007
Applicazioni del grado di una mappa 23 marzo 2007 Grado di una Mappa Definizione Sia f : M N una mappa simpliciale da una varietà di dim n, chiusa e connessa, triangolata con una certa orientazione, ad
DettagliESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 2006/2007
ESERCIZI I ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 006/007 1 FUNZIONI IN UE VARIABILI (I parte) Insiemi di definizione eterminare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni in due
DettagliFunzioni meromorfe e sfera di Riemann
CAPITOLO 7 Funzioni meromorfe e sfera di Riemann 7.1. Superfici di Riemann. Abbiamo già osservato che un immediata conseguenza della costruzione della sfera di Riemann è la seguente proprietà delle funzioni
DettagliTeoria in sintesi 10. Teoria in sintesi 14
Indice L attività di recupero Funzioni goniometriche Teoria in sintesi 0 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno Obiettivo Determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche
Dettagli3 ) (5) Determinare la proiezione ortogonale del punto (2, 1, 2) sul piano x + 2y + 3z + 4 = 0.
1 Calcolo vettoriale 1 Scrivere il vettore w =, 6 sotto forma di combinazione lineare dei vettori u = 1, e v = 3, 1 R w = v 4u Determinare la lunghezza o il modulo del vettore, 6, 3 R 7 3 Determinare la
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliFacoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. 1 CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE
Facoltà di Architettura Valle Giulia Corso di Laurea Specialistica Quinquennale U.E. Istituzioni di Matematica 2 a.a. 2007-2008 http://www.dmmm.uniroma.it/persone/capitanelli CALCOLO INTEGRALE PER LE FUNZIONI
DettagliTeorema dei residui: applicazioni
Teorema dei residui: applicazioni Docente:Alessandra Cutrì ichiamo: Teorema dei residui Teorema dei esidui:sia f H(A \ {z, z 2,... z N }), z, z 2,... z N singolarità isolate per f e sia γ una curva chiusa,
Dettagli0.1 Arco di curva regolare
.1. ARCO DI CURVA REGOLARE 1.1 Arco di curva regolare Se RC(O, i, j, k ) è un riferimento cartesiano fissato per lo spazio euclideo E, e se v (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k è una funzione a valori vettoriali
DettagliANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 16 febbraio 2016 - Soluzioni compito 1
ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 6 febbraio 206 - Soluzioni compito E Calcolare, usando i metodi della variabile complessa, il seguente integrale
DettagliGENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI
Capitolo 1 GENERALITA SULLE CURVE DIFFERENZIABILI Definizione 1. Sia I un intervallo aperto della retta euclidea E 1 e sia α : I E n, con n 2, un applicazione differenziabile. La sua immagine C = α(i)
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compito, secondo semestre 2012/2013 Primo compito. Si consideri la regione stokiana E di R 3 definita dalle disuguaglianze: { + y 2 a 2 0 z tan α)x b) dove
DettagliPrincipio dell argomento e Biolomorfismi
CAPITOLO 8 Principio dell argomento e Biolomorfismi 8.1. Il Principio dell argomento. Una conseguenza molto importante del Teorema dei Residui è il seguente Teorema 8.1.1: (Principio dell argomento) Ω
DettagliIl teorema di rappresentazione
APITOLO 6 Il teorema di rappresentazione. Introduzione Lemma.. Sia una circonferenza e sia A il cerchio racchiuso: riesce 2π i Dimostrazione. Primo caso: z / A = 0 se z / A se z A La funzione = é analitica
DettagliScritto d esame di Analisi Matematica II
Capitolo 2: Scritti d esame 145 Pisa, 1 Gennaio 2005 e gli insiemi f(x, y) = x 2 x 2 y + y, A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 6, x 0, y 0}, B = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}. (a) massimo e minimo di f(x, y) in A,
DettagliPiano di Gauss, sfera di Riemann e disco di Poincaré
Piano di Gauss, sfera di Riemann e disco di Poincaré Enrico Vitali Dipartimento di Matematica F. Casorati Università degli studi di Pavia 13-16 giugno 2017 1. Il campo C dei numeri complessi: il piano
DettagliDidattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 Trasformazioni geometriche
Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 Trasformazioni geometriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi
DettagliUniversita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)
Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................
DettagliAnalisi e Geometria 1
Analisi e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Esercizi Numeri complessi. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi. a) z + i) i) + i) i) b) z + i) i) + i) + + i) i) + i) + i) c) z
DettagliEsercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia
Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia dott.ssa Marilena Ligabò November 24, 2015 1 Esercizi sulla notazione scientifica Esercizio 1.1. Eseguire il seguente calcolo utilizzando
DettagliCorso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 5 a.a Soluzioni
Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 5 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 10.1,
DettagliUniversità di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott.
Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Franco Obersnel Lezione : struttura di IR n, prodotto scalare, distanza e topologia.
Dettagliquando il limite delle somme di Riemann esiste. In tal caso diciamo che la funzione è integrabile sul rettangolo.
Integrali multipli Consideriamo, inizialmente il caso degli integrali doppi. Il concetto di integrale doppio è l estensione della definizione di integrale per una funzione reale di una variabile reale
DettagliCorso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni
Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 2 a.a. 2015-16 Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.5, 3.6,
DettagliCorso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia
Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Esercizi di preparazione allo scritto a.a. 2015-16 Esercizio 1. Dimostrare che Topologia 1. d(x, y) = max 1 i n x i y i definisce una distanza su R n. 2. d(x,
DettagliAnalisi Matematica II
Analisi Matematica II Limiti e continuità in R N Claudio Saccon 1 1 Dipartimento di Matematica, Via F. Buonarroti 1/C,56127 PISA email: claudio.sacconchiocciolaunipi.it sito web: http://pagine.dm.unipi.it/csblog1
Dettagli3) Enunciare e dimostrare le regole di trasformazione algebriche e analitiche della trasformata di Fourier.
Lecce, 16/4/2008 1) Calcolare il valor principale del seguente integrale: x + 1 (x 2 + 4)x dx Y (t) 3Y (t) + 2Y (t) = H(t 1) e t t > 0, Y (0) = 0, Y (0) = 1, 3) Enunciare e dimostrare le regole di trasformazione
DettagliGeometria I- Diario delle lezioni L. Stoppino, Università dell Insubria, a.a. 2015/2016
Geometria I- Diario delle lezioni L. Stoppino, Università dell Insubria, a.a. 2015/2016 Martedì 29 settembre (2 ore). Introduzione del corso. Definizione di spazio topologico. Primi esempi: 1) topologia
DettagliI numeri complessi. Andrea Corli 31 agosto Motivazione 1. 2 Definizioni 1. 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3
I numeri complessi Andrea Corli 3 agosto 009 Indice Motivazione Definizioni 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3 4 Radici di un numero complesso 4 5 Equazioni di secondo grado e il teorema fondamentale
DettagliClassificazione Singolarità isolate, Serie di Laurent, Residui, Teorema dei residui e applicazioni
Classificazione Singolarità isolate, Serie di Laurent, Residui, Teorema dei residui e applicazioni Docente:Alessandra Cutrì Richiamo:Zeri di Funzioni olomorfe (o analitiche) Sia f : A C C A aperto connesso,
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003
Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,
DettagliNote sulle funzioni di variabile complessa
Note sulle funzioni di variabile complessa Carlo Sinestrari Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata Queste note contengono alcuni risultati sulle funzioni di variabile complessa esposti
DettagliFunzioni Complesse di variabile complessa
Funzioni Complesse di variabile complessa Docente:Alessandra Cutrì Richiami sui numeri complessi Indichiamo con C il campo dei Numeri complessi z = x + iy C, ses x, y R i := 1 (Rappresentazione cartesiana
DettagliEsame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s
Problema 1 Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s. -4 Sia f la funzione definita da: f()=- Punto 1 Disegnate il grafico G di f()=-. La funzione f()=- è una funzione polinomiale (una cubica).
Dettagli1 Preliminari sugli angoli
26 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Preliminari sugli angoli (Questa seione e inserita per completea ma non e parte del programma del corso) Consideriamo in R 2 la circonferena S 1 di centro (, ) e raggio
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliFibrazioni tra sfere e Teorema di Hopf
Fibrazioni tra sfere e Teorema di Hopf Circolo dei Matematici Giacobini 30 gennaio 2011 (Unipd) Hopf 30 gennaio 2011 1 / 14 Heinz Hopf trova, nel 1931 (Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre
DettagliTeorema delle Funzioni Implicite
Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliSoluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2007/2008
Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi 19 giugno 008 1. La proposizione è falsa. Per trovare un controesempio ad essa, si consideri un qualunque piano
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.2 Funzioni Complesse Una funzione complessa di variabile complessa f : E C, E C è un applicazione ce associa un numero complesso f(z) ad ogni z E, con E sottoinsieme del
Dettagli1 Integrali curvilinei
Integrali curvilinei Richiamo: + x dx x + x + x log ) + + x. Exercise Verificare la formula precedente. Exercise Calcolare a + b x dx, con a, b qualsiasi. Exercise 3 Calcolare la lunghezza dell arco di
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE Misura degli angoli Seno, coseno e tangente di un angolo Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche Angoli notevoli Grafici delle funzioni goniometriche GONIOMETRIA : scienza
Dettagli(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.
Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di
DettagliFunzioni vettoriali di variabile scalare
Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.
DettagliLe Funzioni di Bessel
Le Funzioni di Bessel Serie di Laurent del prodotto Siano f, g : C due funzioni olomorfe in un anello := {z C r < z z 0 < R}, r < R. Allora f(z)g(z) è olomorfa in e quindi si potrà scrivere come una serie
DettagliI teoremi della funzione inversa e della funzione implicita
I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1
DettagliComplementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 1
Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 1 7 Campi vettoriali. Siano S, S d-sottovarietà differenziabili di R n : un applicazione f : S R è detta una funzione su S; un applicazione
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
DettagliGli enti geometrici fondamentali
capitolo 1 Gli enti geometrici fondamentali 1. Introduzione 1 2. La geometria euclidea come sistema ipotetico-deduttivo 2 Teoremi e dimostrazioni, 3 3. Postulati di appartenenza 4 4. Postulati di ordinamento
DettagliLe trasformazioni geometriche nel piano cartesiano. x = ϕ(x', y') τ 1 : G(x', y') = 0. la sua inversa.
τ : P P' oppure P'=τ(P) P immagine di P trasformato di P secondo τ se α è una figura geometrica α =τ(α) è la figura geometrica trasformata x' = f (x, y) τ : y' = g(x, y) espressione analitica della trasformazione
DettagliCampi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti
Campi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti 1) Dire se la forma differenziale è esatta. ω = 2 2 (1 + 2 2 ) 2 d + 2 2 (1 + 2 2 ) 2 d 2) Individuare in quali regioni sono esatte le seguenti forme
DettagliSoluzioni dei quesiti della maturità scientifica A.S. 2009/2010
Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica AS 009/010 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi giugno 010 Quesito 1 Un generico polinomio di grado n si può scrivere nella forma p(x) a 0 + a 1 x + + a n x n dove
DettagliELIO CABIB. Esami di Analisi 2
ELIO CABIB Esami di Analisi ELIO CABIB cabib@uniud.it professore di Analisi Matematica Università di Udine Esami di Analisi Indice Appelli 997-98 3//998..................................... 6//998.....................................
DettagliSISSA - Università di Trieste Corso di Laurea Specialistica in Matematica A. A. 2004/2005 Appunti sulla Teoria delle Funzioni
SISSA - Università di Trieste Corso di Laurea Specialistica in Matematica A. A. 2004/2005 Appunti sulla Teoria delle Funzioni Boris DUBROVIN March 16, 2005 Contents 1 Introduzione 3 1.1 Numeri complessi,
DettagliSoluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento)
Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Relazioni 1) Quali delle seguenti relazioni sono di equivalenza? x, y R {0} xry x/y Q x, y Z xry x + y è divisibile
Dettagli1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli
1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli A) 1 2 B) [ A) 2 x 1; B) (-, - 3) ( - 3, 0) ( 0, + ) ] 2) Riferendoti al grafico rappresentato completa a) Il dominio
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliSoluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti
Esercizio 1 (G. Ziglio). (6 punti) Calcolare il volume della porzione di spazio E interna alla sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 ed esterna al cono di equazione z 2 = x 2 + y 2 E = (x, y, z) R x 2
Dettagli8 Simulazione di prova d Esame di Stato
8 Simulazione di prova d Esame di Stato Problema Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario Si consideri la famiglia di funzioni f α () = a e a con a parametro reale
DettagliLe derivate parziali
Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire
DettagliLezione 2 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale
Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi 1 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale Sistemi di riferimento e spostamento 2 Sistemi di riferimento e spostamento
DettagliDidattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica
Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica
DettagliCorsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9.
Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II Padova, 19.9.2016 Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare
DettagliProblema ( ) = 0,!
Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente
DettagliProgramma di matematica Classe: II BL Docente: Alessandra Mancini Anno scolastico: 2015/2016
Programma di matematica Classe: II BL Docente: Alessandra Mancini Anno scolastico: 2015/2016 NUCLEI DISCIPLINARI OBIETTIVI SPECIFICI 1. RIPASSO Saper operare con: 0.1 scomposizioni 0.2 frazioni algebriche
DettagliForme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti
Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green......................... 2 2 Esercizi sul Teorema di Stokes......................... 4 3 Esercizi sul Teorema di
DettagliAnalisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola:
Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B luglio 7 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali Esercizio [8 punti] Data la matrice
DettagliDue rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.
Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti
DettagliTest A Teoria dei numeri e Combinatoria
Test A Teoria dei numeri e Combinatoria Problemi a risposta secca 1. Determinare con quanti zeri termina la scrittura in base 12 del fattoriale di 2002. 2. Determinare quante sono le coppie (x, y) di interi
DettagliProgrammazione per Obiettivi Minimi. Matematica Primo anno
Programmazione per Obiettivi Minimi Matematica Primo anno Saper operare in N, Z e Q. Conoscere e saper applicare le proprietà delle potenze con esponente intero e relativo. Saper operare con i monomi.
DettagliCONOSCENZE e COMPETENZE per MATEMATICA
e COMPETENZE per MATEMATICA LA MISURA DELLE GRANDEZZE GEOMETRICHE E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI definizione di classe di grandezze geometriche; conoscere le classi geometriche: lunghezze, ampiezze, aree;
DettagliAlgebra Lineare e Geometria. Il teorema fondamentale dell algebra. 1 Non c è un ordine totale sull insieme dei complessi
Università di Bergamo Anno accademico 2008 2009 Primo anno di Ingegneria Algebra Lineare e Geometria Il teorema fondamentale dell algebra 1 Non c è un ordine totale sull insieme dei complessi Vogliamo
DettagliRisposta La curva r è regolare a tratti per via di quanto succede della sua rappresentazione parametrica nel punto t = 1: pur riuscendo
ANALISI VETTORIALE OMPITO PER LE VAANZE DI FINE D ANNO Esercizio Sia r(t) la curva regolare a tratti x = t, y = t, t [, ] e x = t, y = t, t [, ]. alcolare la lunghezza di r, calcolare, dove esistono, i
DettagliUn serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio?
Quesiti ord 011 Pagina 1 di 6 a cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio,. R. Sofia Quesito 1 Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale
DettagliVettori applicati. Capitolo Richiami teorici. Definizione 1.1 Un sistema di vettori applicati Σ è un insieme
Capitolo 1 Vettori applicati 1.1 Richiami teorici Definizione 1.1 Un sistema di vettori applicati Σ è un insieme {(P i,v i ), P i E, v i V, i = 1,...,N}, (1.1) dove P i è detto punto di applicazione del
DettagliDEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA
DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA Sia dato un sistema con vincoli lisci, bilaterali e FISSI. Ricaviamo, dall equazione simbolica della dinamica, il teorema
DettagliRiflessioni e proposte didattiche sull uso di strumenti tecnologici La bellezza dei numeri complessi resa evidente dall uso del software
Riflessioni e proposte didattiche sull uso di strumenti tecnologici La bellezza dei numeri complessi resa evidente dall uso del software Cristiano Dané Liceo Sc A Volta di Torino Indice La gestione degli
DettagliGEOMETRIA COMPLESSA (Superfici di Riemann - prima parte) anno acc. 2010/2011
(Superfici di Riemann - prima parte) anno acc. 2010/2011 Superfici di Riemann: definizione Una varietà (analitica) complessa di dimensione n, X, è uno spazio topologico X di Hausdorff, a base numerabile
DettagliSuperfici di Riemann, teorema di Riemann-Roch e applicazioni
Scuola Normale Superiore - Colloquio del terzo anno Superfici di Riemann, teorema di Riemann-Roch e applicazioni Denis Nardin Divisori su di una superficie di Riemann Definizione di divisore. Grado di
DettagliEsercizi di Analisi Matematica I
Esercizi di Analisi Matematica I (corso tenuto dal Prof Alessandro Fonda) Università di Trieste, CdL Fisica e Matematica, aa 2012/2013 1 Principio di induzione 1 Dimostrare che per ogni numero naturale
DettagliAnalisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005
Analisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005 Prova orale il: Docente: Determinare, se esistono, il massimo ed il minimo assoluto della funzione
DettagliSENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO
Goniometria e trigonometria Misurare gli angoli nel sistema circolare L unità di misura del sistema circolare è il radiante def. Un radiante è la misura di un angolo alla circonferenza che sottende un
DettagliFissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,
Dettaglix(y + z)dx dy dz y(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz y 2 zdx dy dz Esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue.
/3/23 Calcolare dove x(y + z)dx dy dz = {(x, y, z) R 3 : x, y, z, x + y + z }. Calcolare y(x 2 + y 2 + z 2 )dx dy dz dove = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 z, x 2 + y 2 + z 2 3zx y }. Calcolare dove y
DettagliIL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero
IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno
DettagliDidattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica
Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica
DettagliIngegneria Tessile, Biella Analisi II
Ingegneria Tessile, Biella Analisi II Esercizi svolti In questo file sono contenute le soluzioni degli esercizi sui campi vettoriali (cf foglio 5 di esercizi) Attenzione: in alcuni esercizi il calcolo
Dettagli1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi:
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Test di autovalutazione 1. Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi: (a) A = {z C : z, 0 arg z /} (b) B = {w
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici Sfere Coordinate sferiche e sfere in forma parametrica Sfere, rette e piani Circonferenze nello spazio Circonferenze in forma parametrica 2 2006 Politecnico di Torino
DettagliTEOREMA DI GREEN ( ) D ; C è il contorno orientato del dominio D considerato
Le formule f d dy = f (, y ) dy TEOEMA I GEEN [] f d dy = f (, y ) d [] note come formule di Green sono due relazioni semplici ma molto importanti fra gli integrali estesi ad un dominio piano e gli integrali
Dettagli