Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni

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1 Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Foglio di esercizi n. 2 a.a Soluzioni Gli esercizi sono presi dal libro di Manetti. Per svolgere questi esercizi, studiare con cura i paragrafi 3.5, 3.6, 3.7, 4.1 e 4.2 del libro. È consigliato svolgere tutti gli esercizi del libro. Riportiamo qui il testo per chi non ha ancora il libro. Sul libro ci sono (a volte) suggerimenti sulllo svolgimento. Definizione Una funzione continua ed iniettiva f : X Y si dice una immersione (topologica) se gli aperti di X sono tutti e soli i sottoinsiemi del tipo f 1 (A), al variare di A tra gli aperti di Y. Esercizio 1. Dimostrare che f : X Y è un immersione se e solo se induce un omeomorfismo fra X e il sottospazio topologico f(x). Dire se la funzione f dell esercizio 3.47 (svolto in classe) è un immersione oppure no. Gli aperti di f(x) (con la topologia indotta da Y ) sono tutti e soli gli insiemi della forma B f(x), con B aperto in Y. Poiché f : X f(x) è continua e biunivoca, è un omeomorfismo se e solo se è aperta. Dunque f : X f(x) aperta A X, A aperto = f(a) aperto in f(x) A X, A aperto = B aperto in Y : f(a) = B f(x) Si ha f 1 (B f(x)) = f 1 (B) e poiché f è iniettiva f 1 f(a) = A. Quindi l ultima condizione dice A X, A aperto = B aperto in Y : A = f 1 (B) e cioè f è un immersione. La funzione dell esercizio 3.47 non è un immersione in quanto X e la sua immagine Y non sono omeomorfi.

2 Esercizio Due sottoinsiemi A e B di uno spazio topologico X si dicono separati se non sono aderenti, e cioè se Dimostrare che: A B = A B = 1. Se F, G X sono entrambi aperti o entrambi chiusi, allora A = F G e B = G F sono separati. 2. Se A, B X sono separati, allora A e B sono entrambi aperti e chiusi in A B. 1.a Supponiamo F e G aperti. Consideriamo l intersezione A B. Se x B = (G F ) allora in particolare x G. Poiché G è aperto, esiste un intorno U di x tale che x U G. Allora U A = U (F G) = e quindi x / A e dunque A B =. Usando il fatto che F è aperto, si dimostra analogamente che A B = e quindi A e B sono separati. 1.b Supponiamo F e G chiusi. Consideriamo l intersezione A B. Se x B = (G F ) allora in particolare x / F. Poiché F è chiuso, esiste un intorno U di x tale che U F =. Poiché A = (F G) F si ha U A = e quindi x / A e dunque A B =. Usando il fatto che G è chiuso, si dimostra analogamente che A B = e quindi A e B sono separati. 2. Siano A, B X separati. Osserviamo che questo implica che A B = e cioè sono disgiunti. Si ha: 1. A B = = A (X B) = A (X B) = A 2. B B = B (X B) =. Dunque (A B) (X B) = A e poiché (X B) è aperto in X, si ha A aperto in A B. Poiché B è il complementare di A in A B, si ha che B è chiuso in A B. Scambiando i ruoli di A e B si ha che B è aperto e A è chiuso in A B e dunque la tesi.

3 Esercizio 3.51 Siano X, Y spazi topologici, A X, B Y sottoinsiemi. Dimostrare che A B = A B In particolare, il prodotto di due chiusi è chiuso nel prodotto. Facciamo due osservazioni preliminari: 1. Sia X uno spazio topologico e A X. Sia x X un punto e fissiamo U = {U i } i I un sistema fondamentale di intorni di x. Allora: x A i I U i A (cioè basta controllare quello che capita per un sistema fondamentale di intorni e non per tutti gli intorni). 2. Siano X, Y spazi topologici, x X, y Y e siano U = {U i } i I un sistema fondamentale di intorni di x e V = {V j } j J un sistema fondamentale di intorni di y. Poniamo W ij = U i V j X Y. Allora: W = {W ij } (i,j) I J è un sistema fondamentale di intorni di (x, y) X Y. Dimostriamolo in dettaglio. Sia W un intorno di (x, y) in X Y. Allora esiste un aperto A tale che (x, y) A W. Poiché una base di aperti nella topologia prodotto è data dai prodotti di aperti, esistono due aperti A x X e A y Y tali che (x, y) A x A y W. Poiché x A x e A x è aperto, A x è un intorno di x e quindi esiste un intorno fondamentale U i U tale che x U i A x e analogamente esiste V j V tale che y V j A y. Abbiamo perciò: (x, y) U i V j A x A y A W e quindi abbiamo trovato un intorno W ij W contenuto in W. Questo dice che W è un sistema fondamentale di intorni. Dimostriamo ora l enunciato richiesto. Siano x X, y Y e fissiamo U = {U i } i I un sistema fondamentale di intorni di x e V = {V j } j J un sistema fondamentale di intorni di y. (x, y) A B x A e y B i I U i A e j J V j B (i, j) I J (U i V j ) (A B) (x, y) A B

4 Esercizio Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare che la funzione distanza d : X X R è continua rispetto alla topologia prodotto. Osserviamo che per x X un sistema fondamentale di intorni di x è dato dalle palle aperte B ɛ (x) di centro x e raggio ɛ. Sia (x 0, y 0 ) X X e sia d(x 0, y 0 ) = α. Fissiamo ɛ > 0. Per dimostrare che d è continua nel punto (x 0, y 0 ) dobbiamo trovare un intorno W di (x 0, y 0 ) tale che d(w ) (α ɛ, α + ɛ) (la topologia su R è naturalmente quella euclidea). Siano A = B ɛ/2 (x 0 ) e B = B ɛ/2 (y 0 ) le palle aperte di raggio ɛ/2 e centro rispettivamente x 0 e y 0. Allora W = A B è un aperto in X X che contiene (x 0, y 0 ) e quindi è un intorno. Se (x, y) A B si ha, per la diseguaglianza triangolare e anche d(x, y) d(x, x 0 ) + d(x 0, y 0 ) + d(y 0, y) < α + ɛ α = d(x 0, y 0 ) d(x 0, x) + d(x, y) + d(y, y 0 ) < d(x, y) + ɛ Dunque, per ogni (x, y) A B = W si ha e quindi la tesi. α ɛ < d(x, y) < α + ɛ

5 Esercizio Dimostrare che uno spazio topologico X è di Hausdorff se e solo se per ogni suo punto x vale {x} = U U I(x) Confrontare questa proprietà con la definizione di spazio T1 (Esercizio 3.12) Supponiamo che per ogni x X si abbia {x} = U I(x) U. Se x, y X con x y allora y / {x} = U I(x) U e quindi esiste un intorno U di x tale che y / U. Questo vuol dire che esiste un intorno V di y tale che U V = e questa è la definizione di spazio di Hausdorff. Viceversa, supponiamo che lo spazio X sia di Hausdorff e fissiamo x X. Per ogni punto y x esistono un intorno U di x e un intorno V di y tali che U V =. Allora y / U e quindi per ogni y x si ha y / U I(x) U. Abbiamo dunque la tesi.

6 Esercizio Sia f : X Y continua e Y di Hausdorff. Provare che il grafico Γ = {(x, y) X Y y = f(x)} è chiuso nel prodotto. Ricordiamo il Teorema 3.69: Y è di Hausdorff se e solo se la diagonale è chiusa nel prodotto. Consideriamo allora la diagonale e la funzione = {(x, y) Y Y x = y} h : X Y Y Y data da h(x, y) = (f(x), y). La funzione h è continua, come si dimostra immediatamente usando la proprietà universale del prodotto (vedi anche Esercizio 3.49 sul libro di Manetti) e basta osservare che Γ = h 1 ( ) Dunque: Y Hausdorff = chiuso = Γ chiuso.

7 Esercizio 4.6 Siano n 2 e f : S n R una funzione continua. Denotiamo con A il sottoinsieme dei punti t f(s n ) tali che la controimmagine f 1 (t) è un insieme di cardinalità finita. Dimostrare che A contiene al più due punti. Trovare tre esempi di funzioni continue tali che A abbia cardinalità 0, 1 e 2 Osserviamo in generale che, se f : X Y è una funzione continua tra spazi topologici, Z Y e W = f 1 (Z), la funzione f induce, per restrizione, una funzione continua f : X \ W Y \ Z. Consideriamo ora f : S n R continua. Poiché S n è connesso, l immagine f(s n ) è connessa e quindi è un intervallo I della retta reale (oppure un punto). Un intervallo della retta reale contiene al massimo due estremi. Notiamo che poiché S n è compatto, sappiamo anche che I è compatto, e quindi I = [a, b] e cioè contiene esattamente due estremi (oppure è un punto, nel caso a = b). Questo esercizio è stato dato prima dello studio della compattezza e in effetti questa informazione non serve. Il punto importante è che un intervallo ha al massimo due estremi. Sia ora t I, poniamo Z = {t}, W = f 1 (Z) e supponiamo che W sia un insieme finito di punti. Allora S n \ W è ancora connesso. Infatti S n meno un punto è omeomorfo a R n e quindi S n meno k punti è omeomorfo a R n meno k 1 punti. Poiché n 2, R n meno un numero finito di punti è connesso per archi e quindi connesso. Dunque: f(s n \ W ) = I \ {t} è ancora connesso. Ma l unico modo di rimuovere un punto da un intervallo lasciandolo connesso è rimuovere un estremo. Dunque ci sono al massimo due possibilità per il punto t e questa è la tesi. È facile trovare esempi in cui A ha cardinalità 0 oppure 2: A = 0 Si può prendere f : S n R costante, per esempio f(x) = 0 per ogni x. In questo caso A =. A = 2 Consideriamo S n = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 x x 2 n 1 = 1}. Si può prendere f : S n R data da f(x 1,..., x n+1 ) = x n+1, la proiezione sull asse verticale. Si ha f(s n ) = [ 1, 1] e A = { 1, 1}, i valori minimo e massimo della funzione f. Infatti f 1 = {(0,..., 0, 1)}, f 1 = {(0,..., 0, 1)} e per 1 < t < 1 la controimmagine f 1 (t) è il parallelo di latitudine t ed è una sfera S n 1. Poiché n 2, S n 1 ha infiniti punti e t / A. Questo secondo caso suggerisce come fare per il caso di cardinalità 1: A = 1 consideriamo S n = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 x x 2 n 1 = 1}. Si può prendere f : S n R data da f(x 1,..., x n+1 ) = x n+1. In questo caso f(s n ) = [0, 1] e A = {1}. Si ha f 1 (1) = {(0,..., 0, 1), (0,..., 0, 1)} e per 1 < t < 1 la controimmagine f 1 (t) è la coppia di paralleli di latitudine t e t ed è quindi una coppia di sfere S n 1. Poiché n 2, S n 1 ha infiniti punti e t / A. Nel caso n = 2, disegnare le funzioni appena descritte. particolarmente evidente. La tesi risulterà

8 Esercizio 2. Dimostrare che ogni omeomorfismo trasforma componenti connesse in componenti connesse e cioè: se f : X Y è un omeomorfismo e C X è una componente connessa di X, allora f(c) è una componente connessa di Y. Concludere che due spazi omeomorfi hanno lo stesso numero di componenti connesse. Sia f : X Y un omeomorfismo e sia g : Y X l omeomorfismo inverso. Sia C una componente connessa di X. Allora f(c) è connesso ed è quindi contenuto in una componente connessa D di Y. Applicando g si ottiene f(c) D = C = g(f(c) g(d) Dunque g(d) contiene una componente connessa ma, essendo connesso, deve essere g(d) = C e quindi f(c) = D, cioè l immagine di una componente connessa è una componente connessa. Sia C(X) l insieme delle componenti connesse di X e analogamente per Y. La funzione f induce una funzione f : C(X) C(Y ), che associa ad ogni componente connessa C di X la componente connessa f(c) di Y. Poiché f è biunivoca, è chiaro che due componenti connesse distinte di X hanno immagini componenti connesse distinte di Y e cioè la funzione f è iniettiva. Si ha g f = ḡ f e g f = id X = id C(X), f g = id Y = id C(Y ) e dunque le funzioni f e ḡ sono inverse l una dell altra. Questo significa che sono biunivoche e cioè C(X) e C(Y ) hanno la stessa cardinalità.