Geometria e Topologia I

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1 Appunti di Geometria e Topologia I Davide L. Ferrario A.A. 2006/2007 Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca

2 c Davide L. Ferrario, 2007 Appunti del corso di Geometria e Topologia I (A.A. 2006/2007) Davide L. Ferrario davide.ferrario@unimib.it Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano-Bicocca

3 Premessa Queste sono le note per il corso di Geometria e Topologia I (primo anno del CdL in Matematica), tenuto nel secondo semestre dell A.A. 2006/2007 presso il Dipartimento di Matematica e Applicazioni dell Università di Milano-Bicocca. Gli argomenti presentati a lezione sono riassunti in modo molto schematico (e approssimativo nonché non esente da errori di varia natura); ogni settimana viene presentato un elenco di esercizi assegnati (facoltativi). La parte teorica di queste note non può essere considerata un testo su cui studiare, ma solo un compendio abbastanza dettagliato degli argomenti affrontati. Lo studio deve essere necessariamente svolto sui libri consigliati (o sui numerosi volumi presenti in letteratura e in biblioteca dedicati a questi argomenti) e sui propri appunti, possibilmente confrontando quanto si legge con quanto presentato in queste note. Gli esercizi proposti settimanalmente possono essere semplici, di media difficoltà, oppure presentare difficoltà significative (questi esercizi sono segnalati in genere con un asterisco). A volte l asterisco segnala semplicemente l importanza dell argomento affrontato nell esercizio. Milano, Maggio 2007 Davide L. Ferrario (davide.ferrario@unimib.it) i

4 Indice 1 Richiami di logica matematica 1 2 Richiami di teoria degli insiemi 4 3 Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici 6 4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico 13 5 Spazi topologici 15 6 Funzioni continue 20 7 Topologia prodotto 21 8 Spazi di identificazione e topologie quoziente 22 9 Compattezza Compattezza in spazi metrici ed euclidei Spazi metrici completi Spazi connessi Gruppi topologici Gruppi di trasformazione Spazi affini Sottospazi affini Mappe affini Incidenza e parallelismo Spazi affini euclidei Angoli e proiezioni ortogonali Spazi proiettivi Coniche proiettive Coniche affini e coniche euclidee 96

5 mar-05 Geometria e Topologia I 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini di una proprietà dell enunciato: l essere vero o falso (logica bivalente). Dunque si assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità scelto tra i due: vero oppure falso. Sistemi logici più completi possono averne altri (indeterminato, per esempio). Variabili: Lettere dell alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apici o pedici): A, x, B 1, j,... Assegnamento di valore alle variabili. Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuove proposizioni a partire da proposizioni date. negazione: p. congiunzione (AND): p q. disgiunzione (OR, p vel q): p q. disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) : p q. implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q): p = q. doppia implicazione (se e solo se): p q. Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q,... assumo valori di verità 0/1, è possibile definire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verità. p p p q p = q p q p q p q p q p q p q p q p XOR q Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date p, q, r,... si costruiscono espressioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposizioni), utilizzando le parentesi per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressioni sono sempre vere (cioè assumono valore di verità 1 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false (cioè assumono valore di verità 0 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni. Quando due espressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. A e B sono equivalenti se e solo se A B è una tautologia. Le seguenti sono tautologie: (i) A A (terzo escluso); (ii) (A A) (non contraddizione); mar-05 D.L. Ferrario

6 Geometria e Topologia I 2006-mar-05 3 (iii) ( A) A (doppia negazione); (iv) A A A, A A A; (v) A B B A, A B B A (commutatività); (vi) associatività: (A B) C A (B C); (A B) C A (B C); (vii) Leggi distributive: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C); (viii) Leggi di de Morgan: (A B) A B; (A B) B A; Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi di sillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni. (i) (A B) = A; (ii) (A = B) ( B = A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo); (iii) (A = B) A = B (modus ponens); (iv) (A = B) B = A (modus tollens); (v) (A = B) (B = C) = (A = C) (modus barbara, sillogismo ipotetico); (vi) ((A B) A) = B (sillogismo disgiuntivo). Predicati Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state assegnate (variabili libere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciato aperto. Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false). Se ci sono più variabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valore assegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate. Quantificatore universale: (per ogni, per tutti). Uso: x, p(x). Significato: Per ogni x (nell universo U), la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: x U, p(x). Quantificatore esistenziale: (esiste, esiste almeno un x). Uso: x : p(x). Significato: Esiste almeno un x (nell universo U) per cui la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: x U : p(x). D.L. Ferrario 2006-mar-05 3

7 mar-05 Geometria e Topologia I ( x, p(x)) x : p(x) (principio di negazione). ( x : p(x)) x, p(x) (principio di negazione). x, y, p(x, y) y,, xp(x, y) (principio di scambio). x : y : p(x, y) y : : xp(x, y) (principio di scambio). x : y, p(x, y) = y, x : p(x, y) (principio di scambio) mar-05 D.L. Ferrario

8 Geometria e Topologia I 2006-mar Richiami di teoria degli insiemi Concetti primitivi (non definiti): Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia). Relazione di appartenenza: x X, x X. In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi 1 si definisce un insieme come collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire se x = y oppure x y). Si assumono anche i seguenti principi: (i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. (ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzione che gli elementi di A sono esattamente gli oggetti x per cui P (x) è vera: (iii) Assioma della... Estensioni di questa notazione: A = {x : p(x)}. {x A : p(x)} Esempio: {x R : x 4} Insieme vuoto:. 2 Relazioni tra insiemi: {f(x) : p(x)} Esempio: {x 2 : x Z} {1, 2, 3}, {1, 2} (Inclusione) A B (anche A B): se x A implica x B. A è un sottoinsieme di B. A B: se B A. A = B se e solo se (A B) e (B A). Operazioni con gli insiemi: Unione A B = {x : x A x B}. Intersezione A B = {x : x A x B} (due insiemi sono disgiunti quando A B = ). Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A B = {(a, b) : a A, b B} = {(a, b) : a A b B}. 1 G. Cantor ( ). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere il criterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi (contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x x); se X appartiene a se stesso, X X, allora per definizione X X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa... 2 Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S intende che questo viene scelto e sottinteso in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali,... D.L. Ferrario 2006-mar-07 5

9 mar-07 Geometria e Topologia I Complemento di A in B A (differenza tra insiemi): A (= A c = B A) = {x B : x A}. Insieme delle parti: P(X) = 2 X = l insieme dei sottoinsiemi di X (cioè l insieme delle funzioni f : X {0, 1}). Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria può essere usato per definire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezione possono essere usati per famiglie di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J 2 U una funzione. Per ogni i J, il sottoinsieme f(i) 2 U può anche essere denotato con X i, per esempio (cf. successioni x i vs. funzioni x = f(i)). i J X i := {x U : ( i I : x X i )}, o equivalentemente 3 i J X i := {x U : x X i per qualche i I}. i J X i := {x U : ( i J, x X i )}, o equivalentemente i J X i := {x U : x X i per tutti gli i J}. In ultimo, si ricordi che una funzione f : X Y si dice iniettiva se x X, y Y, (x y = f(x) f(q)), suriettiva se y Y, x X : f(x) = y, bijettiva (biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. (2.1) Definizione. Sia f : X Y una funzione. Se B Y è un sottoinsieme di Y, la controimmagine di B è f 1 (B) = {x X : f(x) B}. 3 Si noti l uso del simbolo := usato per le definizioni o gli assegnamenti mar-07 D.L. Ferrario

10 Geometria e Topologia I 2006-mar Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici Ricordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici. (3.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme X munito di una funzione d: X X R tale che per ogni x 1, x 2,x 3 X: (i) x 1, x 2, d(x 1, x 2 ) 0 e d(x 1, x 2 ) = 0 se e solo se x 1 = x 2. (ii) Simmetria: d(x 1, x 2 ) = d(x 2, x 1 ). (iii) Disuguaglianza triangolare: d(x 1, x 3 ) d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ). La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche chiamati punti. (3.2) Esempio. Metrica su R: d: R R R, d(x, y) = x y, ha le proprietà che per ogni x, y R (i) x y 0 e x y = 0 x = y. (ii) x y = y x. (iii) x z x y + y z. Importante concetto associato al concetto di metrica/distanza: (3.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio r e centro in x 0 X (X spazio metrico): B r (x 0 ) = {x X : d(x, x 0 ) < r}. (Anche più esplicitamente B r (x 0, X)) (3.4) Nota. Una funzione f : A R R è continua nel punto x A se per ogni ɛ > 0 esiste un δ > 0 tale che x y < δ = f(x) f(y) < ɛ. Cioè, equivalentemente, f è continua in x R se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tale che y B δ (x) = f(y) B ɛ (f(x)), cioè f (B δ (x)) B ɛ (f(x)). In generale, f : A R è continua in A R se è continua per ogni x A, cioè se per ogni ɛ > 0 e per ogni x A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che f (B δ (x)) B ɛ (f(x)). Dal momento che f(a) B A f 1 B (esercizio (1.7) a pagina 13), la funzione f è continua in A se e solo se per ogni ɛ > 0 e per ogni x A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))). (3.5) Definizione. 4 Un sottoinsieme U di uno spazio metrico X si dice intorno di un punto x U se contiene un intorno circolare di x, cioè se esiste δ > 0 tale che B δ (x) U Se U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U. 4 U può non essere aperto... D.L. Ferrario 2006-mar-8 7

11 mar-8 Geometria e Topologia I (3.6) Nota. Se U è un intorno di x e U V, allora V è un intorno di V. Con questo linguaggio, la definizione di continuità in x diventa: la controimmagine f 1 (B ɛ (f(x))) di ogni intorno circolare di f(x) è un intorno di x. Notiamo che una palla è intorno di ogni suo punto (esercizio (1.10) a pagina 13). (3.7) Se f : A X Y è continua in A, allora la controimmagine di ogni palla B r (y) in Y (intervallo!) è intorno di ogni suo punto. Dimostrazione. Se x f 1 B ɛ (y), cioè f(x) B ɛ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per cui B r (f(x)) B ɛ (y). Dal momento che f è continua in x, f 1 (B r (f(x))) è intorno di x. Ma B r (f(x)) B ɛ (y) = f 1 (B r (f(x))) f 1 (B ɛ (y)) e quindi f 1 (B ɛ (y)) è un intorno di x. (3.8) Definizione. Un sottoinsieme A X di uno spazio metrico si dice aperto se è intorno di ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenuto in A, o, equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno tutto contenuto in A). (3.9) Una palla aperta B r (x) è un aperto. Dimostrazione. (Esercizio (1.10) di pagina 13) (3.10) Una funzione f : X Y è continua in X se e soltanto se la controimmagine in X di ogni palla B r (y) di Y è un aperto. Dimostrazione. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmagine di ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni palla B r (y) è un aperto. Allora, per ogni x X e per ogni ɛ > 0 f 1 (B ɛ (f(x))) è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni x e ɛ esiste δ > 0 tale che B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))), cioè f è continua. 3.1 Proprietà dei sottoinsiemi aperti Se A X è aperto, allora per ogni x A esiste r = r(x) > 0 tale che B r(x) A, e quindi A è unione di (anche infinite) palle aperte A = x A B r(x) (x). Viceversa, si può mostrare che l unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindi vale: (3.11) Un sottoinsieme A X è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle). (3.12) Corollario. L unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto. (3.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzano null altro che proprietà degli intorni circolari in R. Dato che queste proprietà valgono in generale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici mar-8 D.L. Ferrario

12 Geometria e Topologia I 2006-mar-8 9 Si possono riassumere tutti i fatti visti nel seguente teorema. (3.14) Teorema. Una funzione f : X Y (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di Y è un aperto di X. Dimostrazione. Sia V un aperto di Y. Allora è unione di intorni circolari B j := B rj (y j ) V = j J B j e dunque la sua controimmagine ( ) f 1 V = f 1 B j = f 1 B j j J j J è unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Y è un aperto di X, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di Y è un aperto di X, e quindi f è continua. La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famiglie di aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica. (3.15) Sia X uno spazio metrico. Allora l insieme vuoto e X sono aperti. (3.16) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l intersezione A B è un aperto. Dimostrazione. Sia x A B. Dato che A e B sono aperti, esistono r A e r B > 0 tali che B ra (x) A e B rb (x) B. Sia r il minimo tra r A e r B : B r B ra, B r B rb, e quindi B r A B r B( B r A B). Quindi A B è intorno di x e la tesi segue dall arbitrarietà di x. Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell insieme delle parti A 2 X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X. (3.17) L insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (3.8 ) di pagina 8) di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà: (i) A, X A, (ii) B A = B B B A, (iii) B A, B è finito, allora B B B A. (3.18) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico X: (i) Ogni elemento x X ha almeno un intorno (aperto) B x. (ii) L intersezione di due intorni circolari B 1 B 2 è un aperto, e quindi per ogni x B 1 B 2 esiste un terzo intorno circolare B di x per cui x B B 1 B 2. D.L. Ferrario 2006-mar-8 9

13 mar-8 Geometria e Topologia I (3.19) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famiglia A di tutti i sottoinsiemi aperti definita poco sopra. Si dice anche che è A è la topologia di X generata dagli intorni circolari (definiti a partire dalla metrica). (X, d) (X, d, A) Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere le famiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che due metriche sono equivalenti se inducono la stessa topologia. (3.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti se inducono la stessa topologia su X. (3.21) Due metriche d e d su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: per ogni x X e per ogni palla Br d (x) (nella metrica d) esiste r > 0 tale che Br d (x) Bd r (x) (dove Br d (x) è la palla nella metrica d ) e, viceversa, per ogni r e x esiste r tale che Br d (x) Br d (x). Dimostrazione. Supponiamo che le due metriche d e d siano equivalenti e siano x e r > 0 dati. Per (3.9) la palla Br d (x) è aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologia indotta da d : pertanto esiste r tale che Br d (x) Bd r (x). Analogamente se si scambia il ruolo di d e d. Viceversa, supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x A esiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale che ed un corrispondente r > 0 tale che Cioè, per ogni x esiste r = r (x) > 0 tale che B d r (x) A, B d r (x) Bd r (x). Br d (x) A, e quindi A è aperto nella topologia indotta da d. Analogamente, ogni aperto nella topologia indotta da d è anche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono. (3.22) Esempio. Esempi di metriche su R 2 : (i) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 (x 2 y 2 ) 2 = x y (metrica euclidea). { 0 se x = y (ii) d(x, y) = (metrica discreta). 1 altrimenti (iii) d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. (iv) d(x, y) = max i=1,2 x i y i. (v) d(x, y) = min i=1,2 x i y i (?). (vi) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 (?) mar-8 D.L. Ferrario

14 Geometria e Topologia I 2006-mar-8 11 (3.23) Esempio. Sia p N un primo 2. Sappiamo che ogni intero n Z ha una decomposizione in fattori primi, per cui esiste unico l esponente α per cui n = p α k, dove l intero k non contiene il fattore primo p. Si consideri in Z la funzione p definita da p α k p = p α ogni volta che k è primo con p, e n p = 0 quando n = 0. Sia quindi d: Z Z Q R la funzione definita da d(x, y) = x y p. Si può vedere che è una metrica su Z. D.L. Ferrario 2006-mar-8 11

15 mar-8 Geometria e Topologia I Esercizi: foglio 1 (1.1) Dimostrare che: (i) L insieme vuoto è unico. (ii) per ogni insieme A, A. (iii) per ogni insieme A, A A. (iv) per ogni insieme A, A = A. (1.2) Dimostrare (utilizzando le tautologie viste nella lezione 1) che se A, B, C e X sono insiemi arbitrari: (i) A B = B A. (ii) A B = B A. (iii) (A B) C = A (B C). (iv) (A B) C = A (B C). (v) A (B C) = (A B) (A C). (vi) A (B C) = (A B) (A C). (vii) Se A X, allora X (X A) = A. (viii) Se A, B X, allora X (A B) = (X A) (X B). (ix) Se A, B X, allora X (A B) = (X A) (X B). (1.3) Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti: (i) A B; (ii) A B = A; (iii) A B = B. (1.4) Costruire una bijezione tra l insieme delle parti P(X) di un insieme X e l insieme delle funzioni f : X {0, 1}. *(1.5) Siano A e B due insiemi e X l insieme definito da X = {{{a}, {a, b}} : a A, b B}. Mostrare che {{a}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} se e solo se a = b e costruire una bijezione X A B. *(1.6) Sia f : X Y una funzione tra insiemi. Dimostrare che, se A X e B Y sono sottoinsiemi di X e Y : (i) f (f 1 (B)) B. (ii) f è suriettiva se e solo se per ogni B Y, ff 1 (B) = B. (iii) A f 1 f(a) mar-8 D.L. Ferrario

16 Geometria e Topologia I 2006-mar-8 13 (1.7) Sia f : X Y una funzione tra insiemi, A X e B Y sottoinsiemi di X e Y. Dimostrare che: f(a) B A f 1 B. (1.8) Sia X un insieme e f : X X R una funzione tale che: (i) f(x, y) = 0 se e solo se x = y. (ii) x, y, z X, f(x, z) f(x, y) + f(z, y). Dimostrare che f è una metrica su X. (1.9) Dimostrare che ogni intervallo aperto di R è intorno di ogni suo punto. *(1.10) Dimostrare che in uno spazio metrico ogni palla è intorno di ogni suo punto (cioè è un aperto). (1.11) Dimostrare che l unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte di uno spazio metrico è un aperto. *(1.12) Sia {B j } j J una famiglia di insiemi in Y e f : X Y una funzione. Dimostrare che ( ) f 1 B j = f 1 B j j J j J (1.13) Quali tra questi sottoinsiemi di R 2 (con la metrica euclidea) sono aperti? (i) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1} {(1, 0)}. (ii) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. (iii) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 > 1}. (iv) {(x, y) R 2 : x 4 + y 4 1}. (v) {(x, y) R 2 : x 4 + y 4 1}. *(1.14) È vero che l intersezione di una famiglia qualsiasi di intorni aperti di R è un aperto? Se la famiglia è finita? *(1.15) Dimostrare che, dato uno spazio metrico X e un punto x 0 X, la funzione f(x) = d(x, x 0 ) è continua. (1.16) Dimostrare che una metrica d e la metrica 2d sono equivalenti. Quali delle metriche dell esempio (3.22) sono equivalenti? (1.17) Trovare gli errori inseriti nelle lezioni (valido anche nelle prossime lezioni). D.L. Ferrario 2006-mar-8 13

17 mar-14 Geometria e Topologia I 4 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico (4.1) Definizione. Sia A X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un punto x X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni r > 0 l intersezione B r (x) A contiene almeno un punto oltre al centro x. Idea: i punti di accumulazione di A dovrebbero essere i punti limite di successioni in A. Se A = {x n } n N X è una successione convergente, allora il limite della successione è punto limite di A. È davvero cosí? (4.2) Definizione. Sia X uno spazio metrico. Un sottoinsieme C X si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. (4.3) Il complementare in X di un chiuso è aperto. Il complementare in X di un aperto è chiuso. Quindi C X è chiuso se e solo se X C è aperto. Dimostrazione. Sia C X un chiuso e x X C. Dato che C è chiuso, x non può essere un punto di accumulazione, e quindi esiste r > 0 per cui B r (x) C =. Ma allora B r (x) (X C) e quindi X C è intorno di x. Per l arbitrarietà di x in X C si ha che X C è aperto. Viceversa, sia A X un aperto e sia C il complementare X A. Se x è un punto di accumulazione di C allora non è un punto di A: infatti, A sarebbe intorno di x, per cui ci sarebbe r > 0 tale che B r (x) A, ma allora B r (x) C A C =, cioè x non sarebbe di accumulazione per C. In altre parole, i punti di accumulazione di C sono contenuti in C e dunque C è chiuso. (4.4) L insieme C di tutti i chiusi di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà: (i) C, X C, (ii) B C = C B C C, (iii) B C, B è finito, allora C B C C. Dimostrazione. Basta considerare la proposizione (3.17) e il fatto che i chiusi sono i complementari degli aperti (dualità). (4.5) Definizione. Sia A X. L unione di A con l insieme di tutti i suoi punti di accumulazione si dice chiusura di A in X e si indica con A. (4.6) Nota. La chiusura A di A contiene A. Inolre, se A B, si ha che A B (esercizio (2.5)). (4.7) La chiusura A di A è il più piccolo insieme chiuso che contiene A (in altre parole: l intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare, è un chiuso. Dimostrazione. Per prima cosa vediamo che A è chiuso e per farlo mostriamo che X A è aperto. Se x X A, cioè x non è né punto di A né punto di accumulazione, allora in particolare esiste r > 0 per cui B r (x) A = ; d altro canto B r (x) è aperto (cioè intorno di ogni suo punto), e quindi non può contenere punti di accumulazione per A. Ma allora B r (x) A =, cioè B r (x) X A. Ora, consideriamo un insieme chiuso C che contiene A. Dato che A C, si ha che A C, ed essendo C chiuso si ha: C = C. Ma allora A C, cioè A è contenuto in tutti i chiusi che contengono A. Essendo A chiuso, in particolare A è un chiuso contenente A, e quindi la tesi mar-14 D.L. Ferrario

18 Geometria e Topologia I 2006-mar (4.8) Corollario. Un insieme A X è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura A = A. (4.9) Sia f una funzione f : X Y tra spazi metrici. Le tre proposizioni seguenti sono equivalenti: (i) f è continua (ii) A X, f(a) f(a). (iii) per ogni C Y chiuso, la sua controimmagine f 1 (C) X è chiuso. Dimostrazione. Supponiamo f continua. Mostriamo che 1 = 2. Sia x A. Se x A, allora f(x) f(a) f(a), e quindi f(x) f(a). Se x A A, allora x deve essere di accumulazione per A. Vogliamo mostrare che o f(x) appartiene a f(a) oppure ne è punto di accumulazione. Se f(x) f(a), allora non c è altro da dimostrare. Supponiamo altrimenti che f(x) f(a). Ora, dato che f è continua, per ogni r > 0 la controimmagine dell intorno circolare f 1 (B r (f(x))) è un intorno di x, e quindi esiste ɛ > 0 (che dipende da r e x) per cui B ɛ (x) f 1 (B r (f(x))). Ma x è di accumulazione per A, e quindi B ɛ (x) A {x}, cioè esiste un punto z B ɛ (x) A, z x, ed in particolare f(z) B r (f(x)) Dato che stiamo supponendo f(x) f(a) e che z A, si ha che f(z) f(a) e quindi f(z) f(x). Cioè, per ogni r > 0 l intorno B r (f(x)) contiene punti di f(a) diversi da f(x), e quindi f(x) è di accumulazione per f(a). Ora dimostriamo che (ii) = (iii). Sia C Y un chiuso e A = f 1 C la sua controimmagine in X. Dal momento che f(a) f(a), e che f(a) C, f(a) C = C, e quindi A f 1 C. Ne segue che A A, da cui A = A, visto che anche A A. Ora dimostriamo che (iii) = (i). Se A Y è aperto, allora C = Y A è chiuso in Y, e quindi f 1 C è chiuso in X, il che implica che X f 1 C è aperto. Ma X f 1 C = {x X : f(x) C} = f 1 (X C) = f 1 (A), quindi f 1 (A) è aperto. (4.10) Nota. Continuità: f(lim) = lim(f)... Ancora: Tutti i punti di uno spazio metrico sono chiusi. Infatti, se y x X e r = d(x, y), allora r > 0 e y B r/2 (y) x, cioè X {x} è aperto. D.L. Ferrario 2006-mar-14 15

19 mar-15 Geometria e Topologia I 5 Spazi topologici Se si analizzano le dimostrazioni delle proprietà finora vista degli aperti, chiusi e funzioni continue di spazi metrici, ci si rende conto che la metrica serve solo per definire la famiglia degli intorni circolari e alcune proprietà caratterizzanti. Sia X un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi A 2 X che verifica le proprietà di (3.17) consente di fatto di introdurre una definizione non solo metrica di continuità. (5.1) Definizione. Una famiglia A 2 X di sottoinsiemi di un insieme X si dice topologia se verifica le seguenti proprietà: (i) A, X A, (ii) B A = B B B A, (iii) B A, B è finito, allora B B B A. Uno spazio X munito di una topologia A 2 X (spesso indicata con la lettera τ) viene detto spazio topologico 5 e gli elementi di A si dicono gli aperti di X. È banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico consente di associare ad ogni spazio metrico una topologia come nella definizione (3.19), che è detta anche topologia metrica. Sappiamo già che spazi metrici diversi possono avere la stessa topologia metrica (se le metriche sono equivalenti). Non tutti gli spazi topologici però ammettono l esistenza di una metrica che genera la topologia (cioè, non tutti sono metrizzabili). (5.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioè quella con più aperti possibile e quella con meno aperti possibile. (i) Topologia banale: ha solo i due aperti A = {, X} 2 X poter soddisfare tutti gli assiomi della definizione (5.1)). (che devono esistere per (ii) Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono aperti A = 2 X. Questo serve a rilassare il concetto di vicinanza che è intrinseco per gli spazi metrici. (5.3) Definizione. Se X è uno spazio topologico, A X è un sottoinsieme e x A, si dice che A è un intorno di x se contiene un aperto B tale che x B A. 6 Allora x si dice punto interno di A. Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione del teorema (3.14). (5.4) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f : X Y si dice continua se per ogni aperto A Y la controimmagine f 1 A è aperto di X. Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e di chiusura può essere esteso agli spazi topologici, utilizzando il fatto che gli aperto sono per definizione intorni dei propri punti. 5 Così come uno spazio metrico X è più propriamente una coppia (X, d), anche uno spazio topologico dovrebbe essere indicato come coppia (X, τ) con τ 2 X, ma per brevità la topologia non viene espressamente indicata, se non quando necessario. 6 Alcuni definiscono intorni solo gli aperti che contengono x mar-15 D.L. Ferrario

20 Geometria e Topologia I 2006-mar (5.5) Definizione. Sia A X un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Un punto x X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni intorno B di x l intersezione B A contiene almeno un altro punto oltre a x. La chiusura A di A è definita come l unione di A con tutti i suoi punti di accumulazione. (5.6) Sia X uno spazio topologico e C X un suo sottoinsieme. Le seguenti proposizioni sono equivalenti. (i) X C è aperto. (ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Dimostrazione. Basta ripetere la dimostrazione di (4.3) sostituendo ovunque intorni aperti invece che intorni circolari. (5.7) Definizione. Un sottoinsieme C X di uno spazio topologico si dice chiuso se una delle due proposizioni equivalenti di (5.6) è verificata. Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (4.7) si può dimostrare che (vedi esercizio (2.8)): (5.8) La chiusura A di un sottoinsieme A X è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A (in altre parole: l intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare, è un chiuso. 5.1 Base di una topologia La topologia metrica è generata dalla famiglia di tutti gli intorni circolari, nel senso che gli aperti sono tutti e soli le unioni di intorni circolari. Ci si può chiedere quando una famiglia di insiemi genera una topologia in questo modo. Basta prendere le proprietà degli intorni circolari di spazi metrici di (3.18). (5.9) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi B 2 X di un insieme X si dice base se le seguenti proprietà sono soddisfatte: (i) per ogni x X esiste almeno un elemento della base B B che contiene x (equivalentemente, X = B B B). (ii) Se B 1, B 2 B e x B 1 B 2, allora esiste B x B tale che x B x B 1 B 2 (equivalentemente, B 1 B 2 è unione di elementi della base). Possiamo riscrivere (3.18) dicendo: gli intorni circolari costituiscono una base. Il modo di generare una topologia a partire da una base procede dall osservazione che gli aperti sono le unioni di intorni circolari. (5.10) Sia X un insieme. Data una base B 2 X, sia A 2 X la famiglia di tutte le unioni di elementi di B unita a. Allora A è una topologia per X ed è la più piccola topologia in cui gli elementi della base B sono aperti. Dimostrazione. Esercizio. (5.11) Definizione. La topologia generata come in (5.10) si dice topologia generata dalla base B. (5.12) Esempio. In X = N = {1, 2, 3,...} siano B i = {ki : k N} = {n N : n 0modi}. Sono una base? La topologia in N è quella metrica? È quella discreta? È metrizzabile? D.L. Ferrario 2006-mar-15 17

21 mar-15 Geometria e Topologia I 5.2 Topologia indotta Se X è uno spazio topologico, la topologia τ di X induce una topologia, detta topologia indotta per restrizione sui sottospazi Y X. Cioè, per definizione A Y è aperto se e solo se esiste U X aperto la cui intersezione con Y è A: gli aperti di Y sono tutte e sole le intersezioni A = Y U di aperti di X con Y. Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio topologico, si assume che abbiano la topologia indotta, se non esplicitamente indicato in altro modo mar-15 D.L. Ferrario

22 Geometria e Topologia I 2006-mar Esercizi: foglio 2 (2.1) Dimostrare che, se A, B X sono sottoinsiemi di uno spazio metrico: (i) A B = A B. (ii) A B A B. (2.2) Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R: (i) { 1 n (ii) { k n : n N, n > 0}. : k, n N, n > 0}. (iii) { k 2 n : k, n N}. (iv) { 1 k + 1 n : k, n N, k, n > 0}. *(2.3) Dimostrare che se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio metrico X allora (i) A B = A B; (ii) A A; (iii) (A) = A; (iv) =. Viceversa, si consideri un operatore C : 2 X 2 X con le seguenti proprietà: (i) CA CB = C(A B); (ii) A CA; (iii) CCA = CA; (iv) C =. Dimostrare che, definendo chiusi tutti i sottoinsiemi fissati dall operatore C (CA = A) si ottiene una topologia su X (cioè valgono gli assiomi.... Questi assiomi alternativi si chiamano assiomi di Kuratowski ). (2.4) Quali sono i punti di accumulazione per la successione { 1 } (per n > 0) nella retta reale { n 0 se x = y R munita della metrica discreta d(x, y) = 1 altrimenti? (2.5) Dimostrare che se A B, allora A B. *(2.6) Dimostrare che uno spazio topologico con più di due punti con la topologia banale non è metrizzabile, mentre ogni spazio topologico discreto (con topologia discreta) è metrizzabile. *(2.7) Sia X uno spazio topologico e C X un suo sottoinsieme. Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti. D.L. Ferrario 2006-mar-15 19

23 mar-15 Geometria e Topologia I (i) X C è aperto. (ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione. *(2.8) Dimostrare che la chiusura A di un sottoinsieme A X di uno spazio topologico X è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A. (2.9) Sia X un insieme e Y X un suo sottoinsieme. Dimostrare che se τ 2 X è una topologia per X, allora τ Y = {U Y : U τ} è una topologia per Y, e che l inclusione i: Y X è una funzione continua. (2.10) Sia X un insieme di tre elementi X = {a, b, c}. Le seguenti sono topologie per X: (i) {{}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}. (ii) {{}, {a}, {a, b, c}}. (iii) {{}, {a, b, c}}. Le seguenti non sono topologie (i) {{}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}. (ii) {{a}, {a, b, c}}. Quante topologie ci sono su X in tutto? Quanti sono i sottoinsiemi di 2 X? *(2.11) (Topologia dei complementi finiti) Sia X un insieme e τ 2 X la famiglia di tutti i sottoinsiemi A di X con complemento finito, cioè tali che X A ha un numero finito di elementi, unita all insieme X (si vuole che sia aperto). Si dimostri che τ è una topologia. (2.12) Consideriamo le seguenti famiglie di sottoinsiemi della retta reale R. (i) Tutti gli intervalli aperti: (a, b) = {x R : a < x < b}. (ii) Tutti gli intervalli semiaperti: [a, b) = {x R : a x < b}. (iii) Tutti gli intervalli del tipo: (, a) = {x R : x < a}. (iv) Tutti gli intervalli del tipo: (, a] = {x R : x a}. Quali sono basi? Come sono relazionate le topologie che generano (Cioè quando le topologie sono contenute una nell altra)? (2.13) Dimostrare che se f : R R è una funzione continua, allora l insieme {x R : f(x) = 0} è chiuso in R mentre l insieme {x R : f(x) > 0} è aperto in R. *(2.14) Sia A R un insieme e χ A la funzione (detta funzione caratteristica di A) definita da { 1 se x A; χ A (x) = 0 se x A; In quali punti di R la funzione χ A è continua? *(2.15) Quale topologia deve avere R affinché tutte le funzioni f : R R siano continue? *(2.16) Dimostrare che una funzione f : R R è continua se e solo se per ogni successione convergente {x n } (cioè per cui esiste x tale che lim n x n x = 0) vale l uguaglianza lim f(x n) f( x) = 0. n (2.17) Dimostrare che un insieme finito di punti di uno spazio metrico non ha punti limite mar-15 D.L. Ferrario

24 Geometria e Topologia I 2006-mar Funzioni continue Le funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare, esattamente come in (4.9) e in (3.10), che vale la seguente proposizione. (6.1) Sia f una funzione f : X Y tra spazi topologici. Le quattro proposizioni seguenti sono equivalenti: (i) f è continua (ii) A X, f(a) f(a). (iii) per ogni C Y chiuso, la sua controimmagine f 1 (C) X è chiuso in X. (iv) Se B è una base per Y, allora per ogni elemento della base B B la controimmagine f 1 B è aperto in X. (6.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua. Dimostrazione. Sia f : X Y una funzione continua e g : Y Z una funzione continua. La composizione gf : X Z è continua se e solo se (gf) 1 (A) è aperto in X ogni volta che A è aperto in Z. Ora, (gf) 1 (A) = {x X : g(f(x)) A} = {x X : f(x) g 1 (A)} = f 1 (g 1 (A)) e dunque se A è aperto anche g 1 (A) è aperto in Y (dato che g è continua), e poiché f è continua f 1 (g 1 (A)) è aperto in X. (6.3) Teorema. Sia f : X Y una funzione continua. Se A X ha la topologia indotta, allora la restrizione f A è continua. Dimostrazione. Sia B Y un aperto. La controimmagine f 1 (B) è aperta in X, dato che f è continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f A è data dall insieme {x A : f(x) B}, e quindi da A f 1 (B). Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di A. (6.4) Definizione. Una funzione f : X Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se è biunivoca e sia f che la funzione inversa f 1 sono continue. Si dice allora che X e Y sono omeomorfi (e si indica con X Y ). (6.5) Definizione. Una funzione f : X Y è (i) aperta se l immagine f(a) di ogni aperto A di X è aperta in Y. (ii) chiusa se l immagine f(c) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y. (6.6) Una funzione f : X Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietà è vera: D.L. Ferrario 2006-mar-21 21

25 mar-21 Geometria e Topologia I (i) f è biunivoca, continua e aperta. (ii) f è biunivoca, continua e chiusa. La topologia studia gli spazi a meno di omomorfismo. Infatti, una biiezione non è altro che un cambiamento di coordinate in uno spazio, e l essere omeomorfismo significa che la famiglia degli aperti viene conservata. (6.7) Esempio. Sia X l insieme delle matrici 2 2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munito della metrica d((a i,j ), (b i,j )) = max ( a i,j b i,j ). X è omeomorfo a R 4 con la metrica euclidea d((x i ), (y i )) = 4 i,j i=1 (x i y i ) 2 tramite l omeomorfismo ( ) a1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 (6.8) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezione stereografica). (6.9) Esempio. La retta è omeomorfa ad un segmento aperto: R (a, b) per ogni a < b. 7 Topologia prodotto (7.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X Y ammette una topologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla base a 1,1 a 2,1 a 1,2 a 2,2 base = {U V X Y : U è aperto in X e V è aperto in Y }. Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l insieme di aperti sopra descritto costituisca una base per X Y : esercizio (3.1). Le funzione p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y definite da p 1 (x, y) = x e p 2 (x, y) = y si dicono le proiezioni. (7.2) Se X Y ha la topologia prodotto, allora X Y Y X (sono omeomorfi), e le proiezioni p 1 : X Y X, p 2 : X Y Y sono continue e aperte. Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazi topologici X 1,X 2,..., X n, che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U 1 U 2 U n X 1 X 2 X n. (7.3) Proposizione. Una funzione f : X Y 1 Y 2 (che si può scrivere quindi come f(x) = (f 1 (x), f 2 (x))) è continua se e solo se le sue due componenti (f 1 = p 1 f e f 2 = p 2 f) sono continue. Dimostrazione. Se f è continua, allora f 1 e f 2 sono continue perché composizioni di f con le funzioni continue p 1 e p 2. Viceversa, se f 1 e f 2 sono continue, allora se V 1 V 2 Y 1 Y 2 è un aperto della base per la topologia (prodotto) di Y 1 Y 2, si ha f 1 (V 1 V 2 ) = {x X : (f 1 (x), f 2 (x)) V 1 V 2 } = {x X : f 1 (x) V 1 e f 2 (x) V 2 } = f 1 1 (V 1 ) f 1 2 (V 2 ), che è aperto perché intersezione di due aperti mar-21 D.L. Ferrario

26 Geometria e Topologia I 2006-mar (7.4) Esempio. La topologia di R n indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è uguale alla topologia prodotto. (7.5) Esempio. I I è il quadrato (pieno) di R 2. Analogamente, I n è il cubo di dimensione n. (7.6) Esempio. Le proiezioni p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y sono aperte ma possono non essere chiuse. Per esempio, se X = Y = R, C = {(x, y) R 2 : xy = 1} è chiuso, ma non è chiuso. p 1 (C) = {x R : x 0} = R {0} (7.7) Nota. Nell esercizio precedente C è chiuso perché, se si pone f : R 2 R definita da f(x, y) = xy, si ha che f è continua e C = f 1 ({1}), che è chiuso in R 2, dato che {1} è chiuso in R (con la topologia metrica). D.L. Ferrario 2006-mar-21 23

27 mar-22 Geometria e Topologia I 8 Spazi di identificazione e topologie quoziente Abbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione di funzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati. Problema: sia una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X X/ la proiezione sullo spazio quoziente (lo spazio delle classi di equivalenza). (8.1) Esempio. (i) I 0 1. (ii) R con x y x y Z. (iii) R 2 con x = (x 1, x 2 ) y = (y 1, y 2 ) x y Z 2. (iv) Striscia di Möbius. In modo equivalente, data una funzione suriettiva f : X Y, Y si può vedere come insieme delle classi di equivalenza date dalla relazione x, y X, x y f(x) = f(y). (8.2) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X Y una funzione suriettiva, allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi A Y per cui la controimmagine f 1 (A) X è aperto. Lo spazio Y si dice spazio quoziente di X rispetto alla proiezione f. (8.3) Se f : X Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è contenuta nella topologia quoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nella topologia quoziente di X). Dimostrazione. Per definizione di continuità, se f : X Y è continua e A Y è aperto nella topologia di Y, allora f 1 (A) è aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente è aperto nella topologia quoziente. (8.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico e A X un sottospazio, si scrive X/A (quoziente di X su A) per indicare lo spazio ottenuto identificando A ad un punto, che è lo spazio ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singoli punti di X A e A. (8.5) Esempio. Il toro: [0, 1] [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza... ) (i) (0, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 1). (ii) (x, 0) (x, 1) per 0 < x < 1. (iii) (0, y) (1, y) per 0 < y < 1. È omeomorfo a S 1 S 1? (8.6) Esempio. Il disco: D 1 (0, R 2 ) = D 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, quozientato rispetto alla relazione di equivalenza: { x D 2 y D 2 (x e y stanno sul bordo) x y x = y altrimenti mar-22 D.L. Ferrario

28 Geometria e Topologia I 2006-mar (8.7) Esempio. Il piano proiettivo: D 2 quozientato rispetto alla relazione: { x = y se x D 2 y D 2 x y x = y altrimenti Analogo: S 2 / dove x y x = ±y (antipodale). (8.8) Esempio. Nastro di Möbius: D.L. Ferrario 2006-mar-22 25

29 mar-22 Geometria e Topologia I Esercizi: foglio 3 (3.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U V, con U aperto in X e V aperto in Y è una base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano) X Y. (3.2) Dimostrare che se X Y ha la topologia prodotto e A X, B Y sono sottospazi, allora A B = A B, e che A B è aperto in X Y se e solo se A è aperto in X e B è aperto in Y. *(3.3) Dimostrare che [0, 1) [0, 1) è omeomorfo a [0, 1] [0, 1). (3.4) Dimostrare che R = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma che Q non ha punti interni in R. (3.5) Dimostrare che il quadrato {(x, y) R 2 : max( x, y ) = 1} è omeomorfo alla circonferenza {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}. (3.6) Dimostrare che la mappa diagonale : X X X definita da x (x, x) è continua. *(3.7) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappa quoziente. *(3.8) È vero che la mappe di proiezione p 1 : X Y X è sempre una mappa chiusa? (3.9) Sia p 1 : R 2 = R R R la proiezione sulla prima coordinata. Sia A = {(x, y) R 2 : x 0 y = 0}, e f : A R la restrizione di p 1 a A. La mappa f è aperta/chiusa? (3.10) Dimostrare che se f : X Y è una funzione tra insiemi allora la relazione x y f(x) = f(y) è una relazione di equivalenza, e la funzione f induce una funzione biunivoca tra l insieme delle classi di equivalenza e f(x) Y. *(3.11) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un nastro di Möbius? (3.12) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti spazi: (i) Cilindro = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1 z 2 1}. (ii) Cono = {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 0 z 1}. (iii) Toro ( S 1 S 1... ). (iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z = 1 e z = 1) di bordo identificate ad un punto. (v) La sfera {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. (vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto. (vii) Il piano R 2. *(3.13) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni continue su R. (3.14) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R 2 : mar-22 D.L. Ferrario

30 Geometria e Topologia I 2006-mar (i) {(x, y) : xy = 1}. (ii) (x, y) : x 2 + y 2 = 1}. (iii) {(x, y) : x 2 + y 2 1}. (iv) {(x, y) : x 3 + y 3 = 1} (e in generale, {(x, y) : x n + y n = 1}). *(3.15) Sia f : X Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste una funzione continua g : Y X (inversa destra) tale che f g è l identità di Y, allora f è una mappa quoziente. Se g = i è l inclusione di un sottospazio i: Y = A X (dove A ha la topologia indotta da X), allora il fatto che i sia inversa destra di f si legge f i = 1 Y, e cioè x A, f(x) = x, cioè la restrizione f A è uguale all identità 1 A. In questo caso la mappa f si dice retrazione. *(3.16) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x y x y Q (se la differenza è razionale); Qual è la topologia dello spazio quoziente R/? (Dimostrare che è la topologia banale.) (3.17) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappa quoziente. (3.18) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è un omeomorfismo. *(3.19) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e d Y. Dimostrare che la funzione d: X Y R definita da d ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = d X (x 1, x 2 ) 2 + d Y (y 1, y 2 ) 2 è una metrica sul prodotto X Y. Dimostrare anche che la topologia indotta da d coincide con la topologia prodotto. *(3.20) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l unione delle circonferenze {(x, y) R 2 : (x 1 n )2 +y 2 = ( 1 n )2 }, per n = 1, 2, 3... con la topologia indotta da R 2, e sia Y lo spazio ottenuto identificando tutti gli interi Z R ad un punto. Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi. (3.21) Dimostrare che le due funzioni s: R 2 R e p: R 2 R definite da s(x, y) = x + y, p(x, y) = xy sono continue. D.L. Ferrario 2006-mar-22 27

31 mar-28 Geometria e Topologia I 9 Compattezza Alcune importanti proprietà di R (dove un sottoinsieme viene detto compatto se è chiuso e limitato): (i) L immagine di un compatto è compatta. (ii) L immagine di un intervallo chiuso è un intervallo chiuso (teorema del valore intermedio). (iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso. (iv) Ogni successione di Cauchy converge. (v) Se A R è compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessione convergente. Vedremo che queste proprietà derivano da certe proprietà topologiche della retta reale. Richiamiamo gli assiomi della retta reale R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi): (9.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali: (i) Assiomi di campo: (a) x, y, z R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz). (b) x, y R, x + y = y + x, xy = yx. (c) 0 R : x Rx + 0 = x; 1 R : x R, x 0 = 1x = x. (d) x R, unico y R : x + y = 0. x R, x 0, unico y R : xy = 1. (e) x, y, z R, x(y + z) = xy + xz. (ii) Asiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine totale su R in modo tale che (a) x > y = x + z > y + z. (b) x > y, z > 0 = xz > yz. (iii) Proprietà dell ordinamento (continuo lineare): (a) (Completezza di Dedekind) La relazione d ordine < ha la proprietà dell estremo superiore (cioè ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l estremo superiore). (b) Se x < y, allora esiste un numero z R tale che x < z < y. (9.2) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per ogni x, y X, x y, esistono due intorni U x e U y di x e y rispettivamente tali che U x U y =. (9.3) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)). Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). Definiamo ora la convergenza di successioni in spazi topologici mar-28 D.L. Ferrario

32 Geometria e Topologia I 2006-mar (9.4) Definizione. Si dice che una successione {x n } in X converge ad un punto x X se per ogni intorno U x di x esiste un intero n (che dipende da U x ) tale che j n = x j U x. In tal caso si scrive e si dice che x n converge a x. lim n x n = x (9.5) Se x nk è una sottosuccessione di una successione convergente x n (con limite lim n x n = x), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite lim k x nk = x. Dimostrazione. Vedi esercizio (4.6). (9.6) (Unicità del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e {x n } una successione in X. Se lim n x n = x e lim n x n = ȳ, allora x = ȳ. Dimostrazione. Esercizio (4.7). (9.7) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto {U i } i di X (cioè una famiglia di aperti {U i } i J tale che X = i J U i ) ha un sottoricoprimento finito, cioè esiste un sottoinsieme finito di indici J 0 J tale che X = i J 0 U i (9.8) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (con la topologia metrica) è compatto. (9.9) Esempio. Sia X = {x Q : 0 x 1}. L insieme di tutti gli aperti V k,n della forma k V k,n = ( n + 1, k n ), con k, n N, k n non è un ricoprimento di X. Perché? È un ricoprimento di Y = {x Q : 1 3 x 2 3 }? 1 (9.10) Esempio. L insieme di tutti gli aperti V n della forma V n = ( n + 2, 1 ), per n N è n un ricoprimento aperto di (0, 1) R. (9.11) Esempio. L insieme di intervalli aperti se n 1: {x Q : V n = 2 + n + 1 < x < 2 + n } se n 1: {x Q : 2 n < x < 2 n + 1, } con n Z {0} è un ricoprimento dell insieme X = {x Q : 0 < x < 1}. (9.12) Se X è compatto e C X è un sottoinsieme chiuso, allora C è compatto (con la topologia indotta). D.L. Ferrario 2006-mar-28 29

33 mar-28 Geometria e Topologia I Dimostrazione. Se {U i } i J è un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso di notazione, possiamo considerare un ricoprimento di C mediante aperti dato da {C U i } i J, dove U i sono aperti di X. Dato che C è chiuso X C è aperto, e quindi {X C} {U i } i J è un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C i U i ), e quindi esiste un sottoricoprimento finito, che sarà della forma {X C} {U i } i J0 oppure {U i } i J0. In entrambi i casi, risulta C i J 0 U i, e quindi la tesi. (9.13) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso. Dimostrazione. Sia C X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamo che C è chiuso. Sia x X C. Per ogni c C, dato che X è di Hausdorff, esistono due intorni disgiunti U c e V c tali che U c V c =, c U c, x V c. Ora, {U c } c C è un ricoprimento di C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioè C U c1 U c2 U cn. L intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindi V = V c1 V c2 V cn è un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1... N, l intersezione V ci U ci =, V C =, cioè V X C e quindi X C è aperto per l arbitrarietà di x, cioè C è chiuso. (9.14) L immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta. Dimostrazione. Sia X compatto e f : X Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrare che f(x) è compatto con la topologia indotta da Y. Ogni ricoprimento aperto {U i } i di f(x) in Y induce un ricoprimento aperto {f 1 (U i )} i di X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X è compatto. La tesi segue dal fatto che per ogni i f(f 1 (U i )) U i. (9.15) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è compatto se e solo se Y è compatto mar-28 D.L. Ferrario

34 Geometria e Topologia I 2006-mar Dimostrazione. Sia f : X Y un omeomorfismo. Se X è compatto, allora f(x) = Y è compatto. Viceversa, se Y è compatto, allora X = f 1 (Y ) è compatto dato che f 1 è continua. (9.16) Teorema. Una funzione f : X Y continua e suriettiva tra X compatto e Y Hausdorff è sempre chiusa. Dimostrazione. Se C X è un chiuso di X, allora per (9.12) C è compatto. Ma per (9.14) f(c) è compatto di Y, ed un compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso per (9.13), quindi f(c) è chiuso. (9.17) Corollario. Una funzione continua, suriettiva e chiusa è una mappa quoziente Dimostrazione. Esercizio (3.7). (9.18) Corollario. Una funzione continua f : X Y, biunivoca da un compatto X a un Hausdorff Y è un omeomorfismo. Dimostrazione. È continua, biunivoca e chiusa, dunque un omeomorfismo. (9.19) Nota (Opzionale). Uno spazio X è compatto se ogni famiglia di chiusi {C i } di X con intersezione vuota ammette una sottofamiglia finita con intersezione vuota (infatti... ). Questo consente di esprimere la compattezza nel seguente modo: diciamo che un famiglia J di chiusi di uno spazio topologico X ha la FIP (finite intersection property) se J 0 J, J 0 < = i J 0 C i (l intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Si può dimostrare che X è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota (vedi esercizio (4.8)). (9.20) Nota. Se B è una base di intorni per la topologia di X, e X è compatto, allora, in particolare, ogni ricoprimento di X mediante intorni (che sono aperti) di B ammette un ricoprimento finito. Viceversa, se ogni ricoprimento mediante intorni di B ammette un ricoprimento finito, allora X è compatto (cioè ogni ricoprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito, non solo ogni ricoprimento mediante intorni della base). Infatti, se {U i } è un generico ricoprimento di X, allora (visto che ogni U i è aperto) U i = j B i,j dove i B i,j sono una famiglia di intorni della base B (ogni aperto è unione di intorni aperti della base B). Ma allora X = i U i = i B i,j = B i,j, j i,j e quindi {B i,j } i,j è un ricoprimento di X mediante aperti della base, che ammette l esistenza di un sottoricoprimento finito X = B i1,j 1 B i2,j 2 B in,j N. Dal momento che U i = j B i,j, per ogni i, j si ha B i,j U i, e quindi X = U i1 U i2 U in, D.L. Ferrario 2006-mar-28 31

35 mar-28 Geometria e Topologia I cioè {U i } i ammette sottoricoprimento finito. In altre parole, se H è l insieme dei B i,j e J l insieme degli U i, allora si può definire una funzione g : H J tale che B h U g(h) per ogni h H. Dato che X h H 0 B h per un certo sottoinsieme finito H 0 H, dovrà essere anche X h H 0 B h dove g(h 0 ) J è l insieme finito di indici cercato. i g(h 0 ) (9.21) Teorema (Tychonoff fin(i)to). Se X e Y sono due spazi topologici compatti, allora il prodotto cartesiano X Y (con la topologia prodotto) è compatto. Dimostrazione. Per la nota (9.20), è sufficiente dimostrare che ogni ricoprimento di X Y dato da aperti della base {U V } (con U aperto di X e V aperto di Y ) ammette un sottoricoprimento finito. Passo 1 : supponiamo che Y sia compatto, x 0 X un punto e N X Y un intorno di {x 0 } Y in X Y. Allora esiste un intorno W di x 0 in X tale che N W Y (l intorno W Y è detto il tubo attorno a {x 0 } Y ). Dato che {x 0 } Y è compatto (è omeomorfo a Y!) è possibile estrarre sottoricoprimenti finiti da tutti i ricoprimenti dati dagli elementi della base di intorni (per la topologia prodotto) U V (quelli che generano N con la loro unione... ). A meno di scartare qualche intorno della base, si può supporre che B i, U 1 V 1,..., U n V n ricoprono {x 0 } Y. Sia W = U 1 U 2 U n, che è un intorno aperto di x 0 con la proprietà cercata: W Y N. Passo 2 : Sia {U i V i } un ricoprimento mediante aperti della base U i V i. Dato che {x} Y è compatto, è contenuto in un sottoricoprimento finito, e l unione degli aperti di tale ricoprimento per quanto visto sopra contiene un aperto del tipo W x Y che contiene {x} Y. Quindi per ogni x X si può troare un aperto W x di X tale che W x Y è contenuto nell unione di un un numero finito di aperti del ricoprimento. Ma dato che X è compatto, esiste una famiglia finita di W i che ricopre X, e quindi il prodotto cartesiano X Y è uguale al prodotto dei tubi W xi Y, ognuno dei quali è coperto dall unione di un numero finito di aperti del ricoprimento {U i V i }. (9.22) Il teorema appena visto non è il teorema di Tychonoff: il vero teorema stabilisce che il prodotto di una famiglia qualsiasi di compatti è compatto (nella topologia prodotto); se infatti la famiglia è infinita non si può ripetere il ragionamento sopra esposto mar-28 D.L. Ferrario

36 Geometria e Topologia I 2006-mar Esercizi: foglio 4 *(4.1) Sia A R un sottoinsieme non vuoto. Un numero m R è un maggiorante se a A, a m (per definizione, un insieme limitato superiormente è un insieme con almeno un maggiorante). L insieme di tutti i maggioranti di A è chiuso? È limitato inferiormente (nota: l estremo superiore sup A è il minimo dell insieme dei maggioranti)? *(4.2) Dimostrare che se A R è un sottoinsieme di R (con la metrica euclidea), allora sup A e inf A appartengono alla chiusura A. (4.3) Sia C [a, b] R un sottoinsieme chiuso di [a, b] (chiuso nella topologia indotta su [a, b] da R). Dimostrare che C è chiuso in R. Dimostrare che la stessa proprietà è falsa per gli aperti: trovare un sottoinsieme A [a, b] R aperto nella topologia di [a, b] ma non in quella di R. (4.4) Dimostrare che uno spazio X metrizzabile è di Hausdorff. (4.5) Sia A X un sottoinsieme di X spazio topologico. Dimostrare che x X è un punto di accumulazione di A se e solo se x A {x}. (4.6) Dimostrare che ogni sottosuccessione di una successione convergente converge. (4.7) Dimostrare l unicità del limite di successioni in spazi di Hausdorff: Se X è uno spazio di Hausdorff e {x n } una successione in X, allora lim n x n = x e lim n x n = ȳ implica x = ȳ. *(4.8) Diciamo che un famiglia di chiusi di uno spazio topologico X ha la FIP (finite intersection property) se J 0 J, J 0 < = i J 0 C i (l intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota). Diciamo che X ha la FIP se ogni sua famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota: C i. i J Dimostrare che X è compatto se e solo se ha la FIP. (Suggerimento: X C i è aperto, e quindi... ). *(4.9) Dimostrare che l ultimo assioma della lista di assiomi di R è ridondante (si può dedurre dai primi 7). (4.10) È vero che se un insieme X è finito allora è compatto per ogni topologia che si considera? E il viceversa (cioè è vero che se un insieme è compatto rispetto ad ogni possibile topologia, allora ha un numero finito di punti)? (4.11) Si consideri la famiglia τ di tutti i sottoinsiemi di N = {1, 2,... } costitutita dall insieme vuoto, da N e da tutti i sottoinsiemi del tipo {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5}... È vero che τ è una topologia? Se sì, allora, rispetto a questa topologia, N è compatto? D.L. Ferrario 2006-mar-29 33

37 mar-29 Geometria e Topologia I (4.12) Determinare se l intervallo I = {x, R : 0 x 1} meno un punto x 0 I è compatto, al variare di x 0. (I x 0 = {x I : x x 0 } ). (4.13) Si consideri il sottoinsieme di R definito da X = {x R : x = pq }, p, q Z, pq Determinare quali delle seguenti affermazioni è vera (nella topologia euclidea di R): (i) X è chiuso; (ii) X è aperto; (iii) X è compatto. (4.14) Sia a n la successione di numeri razionali (n 1) definita come segue: a n = p q se n = 2p q con q dispari diverso da 0. Se n è dispari risulta quindi a n = 0 (dato che l unico modo di scrivere un numero dispari nella forma 2 p q è con p = 0). Quali sono i suoi punti di accumulazione? (4.15) Sia X R 2 l insieme definito da Quali delle seguenti sono vere? (i) X è un chiuso di R 2. X = {(x, y) R 2 : y 2 = x 3 x}. (ii) La parte X {(x, y) R 2 : x 0} è compatta. (iii) L interno di X in R 2 è vuoto. (4.16) Determinare quali dei seguenti spazi sono tra loro omeomorfi (esibendo gli omeomorfismi, altrimenti dimostrando che non ne esistono). (i) L intervallo chiuso [0, 1]; (ii) La circonferenza S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}. (iii) Il quadrato: Q = {(x, y) R 2 : (x 2 1)(y 2 1) = 0, x 2 1 y 2 }. (iv) L intervallo aperto (0, 1). (4.17) Si consideri nello spazio R la relazione: x y sin 2 x = sin 2 y. (i) È una relazione di equivalenza? (ii) Se sì, si dia a X = R/ la topologia quoziente. Lo spazio così ottenuto è compatto? mar-29 D.L. Ferrario

38 Geometria e Topologia I 2006-apr Compattezza in spazi metrici ed euclidei (10.1) Teorema. Sia X uno spazio metrico e C X un sottoinsieme. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: (i) C è compatto ( Heine-Borel). (ii) Ogni insieme infinito di punti di C ha un punto di accumulazione in C ( Bolzano- Weierstrass). (iii) Ogni successione in C ammette una sottosuccessione che converge in C (i.e. C è compatto per successioni). Dimostrazione. Cominciamo a dimostrare che (i) = (ii), cioè che (ii) = (i). Se è vero (ii), esiste un insieme infinito A C di punti di C che non ha nessun punto di accumulazione in C (cioè nessun punto di C è di accumulazione per A, e quindi in particolare nessun punto di A è di accumulazione per A). Questo significa che ogni a A non è di accumulazione, e quindi per ogni a A esiste un intorno aperto U a di a tale che U a A non contiene altri punti oltre ad a, cioè U a A = {a} (10.2) Si consideri ora il ricoprimento aperto di A: A a A U a. Per la (10.2), il ricoprimento {U a } di A non ammette nessun sottoricoprimento, e dato che se A è infinito anche il ricoprimento è infinito, risulta che A non è compatto. Per mostrare che C non è compatto, basta osservare che A è chiuso in C (dal momento che nessun punto di C è di accumulazione per A, la chiusura di A in C è uguale a A): se C fosse compatto anche A dovrebbe essere compatto, per (9.12). Quindi C non è compatto. Ora mostriamo che (ii) = (iii). Sia {x i } i J una successione di punti di C e A C l insieme dei punti di {x i } i J. Se A è un insieme finito, allora c è (in modo banale) una sottosuccessione {x i } i J0 con J 0 J che converge in C: basta prendere una successione costante. Altrimenti, A è un insieme infinito, e dunque per (ii) esiste un punto x C che è di accumulazione per A. Per definizione, questo vuol dire che per ogni ɛ > 0 l intersezione B ɛ ( x) (A { x}). Cioè, per ogni ɛ > 0 esiste y A, y x per cui y B ɛ ( x) (ricordiamo anche che y A y = x n per qualche n). Dato che X è uno spazio metrico, segue che per ogni ɛ > 0 B ɛ ( x) A ha infiniti punti (vedi anche esercizio (5.2)). Ora, definiamo la successione {n k } per induzione: si scelga y B 1 ( x) A. Allora esiste n 1 tale che x n1 = y. Supponiamo di aver definito n k. Definiamo ɛ k+1 = 1, ed allora esistono infinite scelte per k + 1 y B ɛk+1 ( x) A, dunque infinite soluzioni (intere) dell equazione x n B ɛk+1 ( x). D.L. Ferrario 2006-apr-4 35

39 apr-4 Geometria e Topologia I Dato che sono infinite, ne esiste una per n > n k, che chiamiamo n k+1. È facile vedere che la sottosuccessione {x nk } converge a x C. Infine mostriamo che (iii) = (i). Questa è la parte più difficile della dimostrazione. Per prima cosa, supponiamo di avere un ricoprimento {U i } di C costituito esclusivamente da intorni circolari U i = B ri (c i ) e mostriamo che esiste δ > 0 per cui per ogni x C l intorno B δ (x) è contenuto in qualche U i (cioè, per ogni x C esiste U i = B ri (c i ) tale che B δ (x) B ri (c i )). Se ciò non fosse vero, dovrebbe essere vero che per ogni δ > 0 esiste x = x(δ) C tale che per ogni i B δ (x) B i. Consideriamo la successione δ n = 1. Allora, per ogni n 1 si può definire n un elemento x n C per cui i : B δn (x n ) U i. (10.3) Di nuovo, consideriamo che per ipotesi (iii) è vera, e quindi la successione {x n } ammette una sottosuccessione {x nk } che converge ad un certo y C. Dal momento che C è ricoperto dagli aperti U i, esiste un aperto U iy del ricoprimento che contiene y, cioè tale che lim k x nk = y U iy. Ma per ipotesi U iy è aperto, quindi esiste un raggio r > 0 tale che B r (y) U iy, e se k è grande abbastanza si ha che x nk B r/2 (y) (dalla convergenza della sottosuccessione) e quindi per la disuguaglianza triangolare che B r/2 (x nk ) B r (y) U iy. Dato che per k abbastanza grande δ nk < r, si può trovare un k per cui 2 B δnk (x nk ) B r (y) U iy. Ma questo contraddice la definizione degli {x n } (equazione (10.3)), per cui l ipotesi è falsa. Abbiamo mostrato che esiste δ > 0 per cui per ogni x C l intorno B δ (x) è contenuto in qualche U i del ricoprimento aperto. Ora, mostriamo che per ogni ɛ > 0 l insieme C può essere ricoperto da un numero finito di intorni circolari di raggio ɛ. Se ciò non fosse vero, per un certo ɛ > 0, si scelga x 1 C; dato che B ɛ (x 1 ) non può ricoprire C (per ipotesi), esiste x 2 C tale che x 2 B ɛ (x 1 ). Analogamente, si scelga x 3 C (B ɛ (x 1 ) B ɛ (x 2 )), e per induzione ( n ) x n+1 C B ɛ (x i ). La successione (di infiniti punti distinti) esiste perché n i=1 B ɛ(x i ) non può mai coprire C. Inoltre, se h k si ha d(x h, x k ) ɛ, e quindi la successione {x i } i non può avere sottosuccessioni convergenti. Ma dato che stiamo assumendo (iii) vera, ogni successione in C deve avere almeno una sottosuccessione convergente, e questa proprità è contraddetta dall esistenza della successione {x i }. Quindi l ipotesi era falsa, e per ogni ɛ > 0 l insieme C è ricoperto da un numero finito di intorni circolari di raggio ɛ. Sia quindi C ricoperto da un numero finito di intorni circolari B ɛ (c j ) di raggio ɛ e {U i } il ricoprimento di C di intorni circolari definito sopra, con ɛ < δ. Dato che ɛ < δ, ogni per ogni intorno B ɛ (c j ) (nell insieme finito di intorni che ricopre C) esiste un intorno U i = U i(j) tale apr-4 D.L. Ferrario i=1

40 Geometria e Topologia I 2006-apr-4 37 che B ɛ (c j ) U i(j). L insieme finito di intorni {U i(j) } j ricopre C, dato che B ɛ (c j ) ricopre C, ed è quindi un sottoricoprimento finito di {U i }. Per concludere la dimostrazione, bisogna trovare sottoricoprimenti finiti per ricoprimenti aperti generici, e non solo per ricoprimenti di intorni della base di intorni circolari. Ma questo segue da (9.20). (10.4) Esempio. L intervallo [0, 1] di Q non è compatto. Per (10.1), basta trovare una successione in [0, 1] che converge a un numero irrazionale. (10.5) Sia X uno spazio metrico e C X un sottoinsieme. Se C è compatto, allora C è chiuso e limitato. Dimostrazione. Ogni spazio metrico è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)), e ogni compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso (vedi (9.13)), per cui se C è compatto di X allora C è chiuso. Dobbiamo quindi mostrare che C è limitato. Sia x 0 un punto di X e B n (x 0 ) la successione crescente di intorni circolari di raggio n N. Dato che {B n (x 0 )} n è un ricoprimento aperto di C, deve ammettere un sottoricoprimento finito, cioè deve esistere n 0 N per cui C B n0 (x 0 ), cioè C è limitato. (10.6) Teorema (Heine-Borel). L intervallo unitario [0, 1] R è compatto. Prima dimostrazione. Sia {U i } i J un ricoprimento di [0, 1] e definiamo F = {t I : [0, t] è coperto da una famiglia finita di intervalli di {U i } i J. Si vede che 0 F (e quindi F non è vuoto) e che t F, 0 s < t = s F. Si consideri m = sup F (l estremo superiore di F, che esiste per gli assiomi (9.1)). Allora t < m = t F e t > m = t F. Vediamo se m F oppure no. Dato che m [0, 1] e {U i } ricopre [0, 1], esiste i m J per cui m U im. Ma U im è aperto, e dunque esiste un intorno circolare di raggio ɛ tale che B ɛ (m) U im. Visto che m ɛ F, l intervallo [0, m ɛ] è ricoperto da un numero finito di aperti U i, che uniti ad U im costituiscono un numero finito di aperti che copre [0, m], e dunque m F, cioè F = [0, m]. Ora, se m < 1, allora un ricoprimento finito di [0, m] sarebbe anche ricoprimento finito di [0, m + ɛ] per un certo ɛ abbastanza piccolo, per cui deve essere m = 1, cioè F = [0, 1] (in altre parole, abbiamo trovato il ricoprimento finito di [0, 1]). Seconda dimostrazione. Sia {U i } i J un ricoprimento aperto di I 0 = [0, 1]. Supponiamo per assurdo che non ammetta sottoricoprimenti finiti. Dividiamo I 0 nelle due metà di lunghezza 1 2 : [0, 1] = [0, 1 2 ] [1 2, 1]. Se entrambe le metà fossero ricoperte da un numero finito di U i, cadremmo in contraddizione, per cui almeno una delle due non lo è, e la chiamiamo I 1. Dividendo I 1 in due metà, possiamo di nuovo applicare lo stesso argomento per definire I 2, e così via una successione I n di intervalli chiusi non ricopribili da un numero finito di aperti U i, di lunghezza 2 n, e con la proprietà I n I n 1 per ogni n 1. I 0 I 1 I 2 I n.... Ora, se definiamo I = I n, D.L. Ferrario 2006-apr-4 37 i=0

41 apr-4 Geometria e Topologia I osserviamo che I non può avere più di un punto (infatti, x, y I = n 0, x, y I n = n 0, x y 2 n, che implica x y = 0). Come conseguenza dell esistenza dell estremo superiore in R, si può mostrare (vedi esercizio (5.3)) che I non è vuoto, e che I = {inf(max I n ) = sup(min I n )}. Sia p I. Dato che p I, esiste i p J per cui p U ip, e quindi esiste un ɛ > 0 tale che B ɛ (p) U ip. Ma se n è abbastanza grande, I n B ɛ (p), e dunque esiste un n per cui I n B ɛ (p) U ip : ciò contraddice l ipotesi che ogni I n non si può coprire con un insieme finito di U i (un solo U ip è sufficiente!). (10.7) Corollario. Per ogni a < b R, l intervallo [a, b] è compatto. Dimostrazione. Dato che l intervallo [a, b] è omeomorfo all intervallo [0, 1], segue immediatamente da (10.6). (10.8) Teorema (Heine-Borel II). Se X = R n con la metrica euclidea, allora C è compatto se e solo se chiuso e limitato. Dimostrazione. La proposizione (10.5) è la parte solo se. Viceversa, se C R n è limitato, allora è contenuto nel parallelepipedo del tipo C [a, b] n R n, che è compatto per il corollario (10.7) unito al teorema (9.21). Quindi, se C è chiuso in X, è chiuso anche in [a, b] n e quindi è un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto, e quindi è compatto per la proposizione (9.12). (10.9) Corollario (Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme infinito e limitato in R n ha almeno un punto di accumulazione. Dimostrazione. Un insieme infinito e limitato in R n è anche, come sopra, un sottoinsieme infinito di del compatto [a, b] n per qualche a, b. Per (10.1), (ii), esiste quindi un punto di accumulazione. (10.10) Teorema. Una funzione continua f : X R definita su un dominio compatto X ha massimo e minimo. Dimostrazione. Dato che X è compatto, f(x) è compatto e quindi chiuso e limitato in R. Dato che è limitato, sia l estremo superiore M = sup(f(x)) che l estremo inferiore m = inf(f(x)) esistono finiti. Gli estremi m e M appartengono alla chiusura f(x) (vedi esercizio (4.2)), che coincide con f(x) dato che f(x) è chiuso, quindi m f(x), M f(x), e quindi sia m che M sono assunti in X, cioè m = min x X f(x), M = max x X f(x) apr-4 D.L. Ferrario

42 Geometria e Topologia I 2006-apr-5 39 Esercizi: foglio 5 *(5.1) Si consideri su N la famiglia τ di insiemi formata dall insieme vuoto e dagli tutti i sottoinsiemi di N con complementare finito. Sia X uno spazio topologico e {x n } una successione in X (vista come una funzione f : N X, definita da n N : f(n) := x n ). (i) Dimostrare che τ è una topologia per N. (ii) Dimostrare che se {x n } è una successione convergente, allora la corrispondente funzione f : N X è continua all infinito, cioè la controimmagine di ogni intorno del limite x = lim n x n X è un aperto di N (nella topologia dei complementari finiti). (iii) È vero che f è continua? (5.2) Dimostrare che un punto di accumulazione a di un sottoinsieme A X di uno spazio metrico X ha la seguente proprietà: ogni intorno di a in X interseca A in infiniti punti. *(5.3) Si consideri in un campo totalmente ordinato una famiglia di intervalli chiusi I n = [a n, b n ] decrescenti I n I n+1, per n. Si dimostri che se X ha la proprietà dell estremo superiore (cioè ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore), allora I n. n (5.4) Dimostrare che il cilindro {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1 z 2 1} con il bordo su z = 1 identificato ad un punto è omeomorfo al cono {(x, y, z) R 3 : z 2 = x 2 + y 2 0 z 1}. (5.5) Dimostrare che il toro, definito come nell esempio (8.5), è omeomorfo a S 1 S 1 (dove S 1 è la circonferenza di raggio 1). (5.6) Dimostrare che lo spazio dell esempio (8.6) è omeomorfo ad una sfera di dimensione 2. *(5.7) Dimostrare che il piano proiettivo, definito come nell esempio (8.7), è omeomorfo al quoziente S 2 /, dove x y x = ±y (antipodale). (5.8) Dimostrare che incollando lungo il bordo due nastri di Möbius si ottiene una bottiglia di Klein (che cos è una bottiglia di Klein?). (5.9) Quali dei seguenti spazi è compatto? (i) Q. (ii) La sfera S 2. (iii) La sfera S 2 meno un numero finito di punti. (iv) La sfera S 2 meno un disco chiuso. (v) La striscia di Möbius. (5.10) Dimostrare che ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff. (5.11) Consideriamo il seguente sottoinsieme di R 2 (munito della topologia euclidea): X = {(x, y) R 2 : xy Z}. D.L. Ferrario 2006-apr-5 39

43 apr-5 Geometria e Topologia I (i) È aperto? È chiuso? (ii) Consideriamo la circonferenza C di raggio 1 e centro (0, 0) di equazione x 2 + y 2 = 1. L intersezione C X è aperta nella topologia di C? È chiusa? E nella topologia di R2? (iii) Discutere della compattezza di X e C X. (5.12) Si consideri l intervallo (i) È chiuso nella topologia Euclidea? [0, 2) = {x R : 0 x < 2} R. (ii) Sia X l intervallo ( 2, 2) R con la topologia indotta da quella di R. Dato che [0, 2) è anche un sottoinsieme di X, esso è un chiuso della topologia di X? (iii) Calcolare l insieme di tutti i maggioranti di [0, 2) in R. (iv) Trovare, se esiste, un sottoinsieme Y R tale che l insieme di tutti i maggioranti di Y in R non è un chiuso di R. (5.13) Si consideri il sottoinsieme X di Q definito da X = { q q + 1 : q N}. (i) Determinare i punti di accumulazione di X. (ii) X è un chiuso di Q? (iii) Sia {a n } una successione di frazioni di Q che converge a 2 ( Q!) e Y l insieme dei suoi elementi Y = {a n : n N} Q. In questo caso Y è un chiuso di Q? (5.14) Sia C Q un sottospazio compatto di Q (campo dei numeri razionali con la topologia Euclidea). (i) Dimostrare che C è chiuso in Q. (ii) Dimostrare che C è limitato in Q. (iii) Dimostrare che C è anche un chiuso di R. (Suggerimento: Dato che l inclusione i: Q R è una funzione continua (rispetto alle topologie Euclidee di Q e R)... ) (iv) Dedurre che l interno di C è vuoto. **(5.15) Su Z sia B la famiglia di tutte le progressioni aritmetiche (U a,n = {a+kn : k Z} Z). Dimostrare che: (i) La famiglia B è una base per una topologia di Z. (ii) In questa topologia, le progressioni U a,n sono sia aperti che chiusi. (iii) L unione di un numero finito di progressioni aritmetiche è un chiuso. (iv) Se A p = U 0,p denota l insieme dei multipli del numero p, si dimostri che A = p primo, 2 non può essere chiuso, visto che il suo complementare ha un numero finito di elementi. (v) Dedurre che esistono infiniti numeri primi. (Harry Furstenberg: è una topologia metrizzabile!) A p apr-5 D.L. Ferrario

44 Geometria e Topologia I 2006-apr Spazi connessi Il teorema del valore intermedio si può esprimere in termini di connessione: (11.1) Definizione. Uno spazio topologico X è detto connesso se gli unici sottoinsiemi di X simultaneamente aperti e chiusi 7 sono e X. Quando si considera un sottospazio Y X, allora Y è connesso se è connesso nella topologia indotta da X. Osserviamo che se A X è un sottoinsieme sia chiuso che aperto, anche il suo complementare X A è sia chiuso che aperto. Quindi X = A (X A), cioè X è unione disgiunta di due aperti non vuoti. (11.2) Teorema. Uno spazio topologico X è connesso se e solo se X non è unione di due aperti non vuoti e disgiunti X = A 1 A 2. (Equivalentemente: uno spazio topologico X non è connesso se e solo se X è unione di due aperti non vuoti e disgiunti X = A 1 A 2 ). (11.3) Esempio. Sia S 0 = { 1, +1} la sfera di dimensione 0 (soluzioni dell equazione x 2 = 1). Entrambi i punti sono chiusi in R, quindi S 0 non è connesso. (11.4) Esempio. L insieme vuoto e gli spazi con un solo punto sono connessi. (11.5) Definizione. Un intervallo in R (più in generale: in un insieme ordinato) è un insieme I R contentente più di un punto, tale che x, y I, s R, x < s < y = s I. Dato che R ha la proprietà dell estremo superiore e dell estremo inferiore, gli intervalli sono tutti gli insiemi del tipo (, b],(, b),(a, b),(a, b], [a, b), [a, b], [a, + ), (a, + ), con a < b. Mostreremo che tutti gli intervalli sono connessi. Cominciamo dall intervallo chiuso (compatto) [a, b]. (11.6) Teorema. Ogni intervallo chiuso [a, b] R è connesso. Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che l intervallo [a, b] sia unione di due aperti disgiunti non vuoti [a, b] = A 1 A 2 (dove A 1, A 2, A 1 A 2 =, e quindi A 1 e A 2 sono chiusi nella topologia di [a, b]). Essendo [a, b] chiuso in R, A 1 e A 2 sono anch essi chiusi e non vuoti in R (nota: non sono necessariamente aperti! Vedi esercizio (4.3)). Dato che gli estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme chiuso di R sono contenuti nell insieme stesso (vedi esercizio (4.2)), risulta sup A i A i, inf A i A i per i = 1, 2. Consideriamo per ogni y [a, b] l insieme chiuso B y = {x A 1 : x y} = [a, y] A 1 A 1. L intersezione B = y A 2 B y = {x A 1 : y A 2, x y}. è dunque un chiuso contenuto in A 1 (che consiste di tutti i minoranti di A 2 in A 1 ). Ora, a meno di cambiare gli indici, possiamo supporre che a A 1 (e quindi a A 2, poiché A 1 A 2 = ), e quindi a B. L estremo superiore s 1 = sup B (che esiste perché B ed è limitato) appertiene al chiuso B (e quindi è un minorante di A 2 ), e dunque appartiene a A 1 (che contiene B). D altra parte, consideriamo l estremo inferiore s 2 di A 2, che appartiene a A 2 dato che A 2 è chiuso: si ha che s 2 t per ogni t A 2, e 7 In inglese: clopen. t [a, b] t > s 2 = y A 2 : t > y, D.L. Ferrario 2006-apr-11 41

45 apr-11 Geometria e Topologia I (cioè non esistono minoranti di A 2 più grandi di s 2, s 2 è il massimo dei minoranti). Quindi s 1 s 2, dato che gli elementi di B sono minoranti di A 2. Ora, se s 1 = s 2, si ha A 1 B s 1 = s 2 A 2 = s 1 = s 2 A 1 A 2, che è assurdo visto che A 1 A 2 =. Dunque deve essere s 1 < s 2. Ora, prendiamo un s [a, b] compreso tra s 1 e s 2 : sup B = s 1 < s < s 2 = inf A 2. Dato che per definizione di s 1 (estremo superiore di B) t [a, b] t > s 1 = t B, il punto s non è in B, e quindi non è in A 1. Ma s < s 2 = inf A 2, e quindo s non può essere un elemento di A 2 : e questo è assurdo, dato che per ipotesi A 1 A 2 = [a, b] (cioè s dovrebbe appartenere a A 1 oppure a A 2 ). (11.7) Nota. Vedremo che il teorema precedente può essere generalizzato nel modo seguente: Un sottoinsieme A R con almeno due punti è connesso se e solo se è un intervallo. Per la parte solo se, si cerchi di dimostrare (esercizio (6.5)) che se un insieme ha almeno due punti e non è un intervallo, allora non è connesso (si veda anche la prossima nota). (11.8) Nota. Usando la stessa tecnica di dimostrazione di (11.6), si può dimostrare che A R non è connesso se e solo se esistono x, y A, s A tali che x < s < y (cioè A è connesso se e solo se x, y A, x < s < y = s A). Infatti, se A non fosse connesso, si definiscono A 1, A 2, B, s 1 e s 2 come sopra (s 1 = sup B e s 2 = inf A 2 ), e deve risultare s 1 < s 2. Ma allora esiste s A tale che s 1 < s < s 2 basta prendere s = 1 2 (s 1 + s 2 ). Questo fa seguire dall ultimo assioma di (9.1) la connessione di R. Viceversa, se esistono x, y A e s A tali che x < s < y, allora si possono definire i seguenti sottoinsiemi (chiusi e aperti) di A: la cui intersezione è vuota e la cui unione è A. A 1 = {x A : x s} = {x A : x < s} A 2 = {x A : x s} = {x A : x > s} (11.9) Teorema. Se X è connesso e f : X Y è una funzione continua, allora f(x) Y è connesso (con la topologia indotta da Y si dice che l immagine di un connesso è connessa). Dimostrazione. Se f(x) fosse non connesso, esisterebbero A 1 f(x) e A 2 f(x) aperti disgiunti (nella topologia indotta) e non vuoti tali che f(x) = A 1 A 2. Le controimmagini f 1 A 1 e f 1 A 2 sarebbero aperti disgiunti non vuoti in X tali che X = f 1 A 1 f 1 A 2, e dunque X non sarebbe connesso. (11.10) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è connesso se e solo se Y è connesso. Dimostrazione. Come nella dimostrazione del corollario (9.15) Ricordiamo che S 0 = {±1} è lo spazio con due punti e la topologia discreta. (11.11) Uno spazio X è connesso se e solo se ogni funzione continua f : X S 0 è costante apr-11 D.L. Ferrario

46 Geometria e Topologia I 2006-apr Dimostrazione. Supponiamo che X sia connesso. Allora la sua immagine è un sottospazio connesso di S 0. Dato che S 0 non è connesso, fx non può essere S 0. Dato che fx, fx ha esattamente un elemento, e quindi f è costante. Viceversa, se X non è connesso allora esistono A 1, A 2 aperti disgiunti non vuoti tali che X = A 1 A 2. Si definisca allora la funzione f : X S 0 ponendo { +1 if x A 1 f(x) = 1 if x A 2. La funzione è ben definita, dato che A 1 A 2 = e X = A 1 A 2. È continua: basta osservare che gli aperti di S 0 sono tutti i suoi sottoinsiemi, {+1}, { 1}, S 0, e la controimmagine di ognuno di essi è aperto in X: f 1 ( ) = f 1 ({+1}) = A 1 f 1 ({ 1}) = A 2 f 1 (S 0 ) = X. E non è una funzione costante. (11.12) Siano B X e {Y w } w W sottoinsiemi connessi di uno spazio topologico X tali che w W, B Y w. Allora l unione Y = B w W Y w è connesso. Dimostrazione. Supponiamo che A 1 e A 2 siano aperti disgiunti tali che Y = A 1 A 2. Per ogni w W, A 1 Y w e A 2 Y w sono aperti disgiunti in Y w, e quindi non possono essere entrambi non vuoti, visto che Y w è connesso: cioè, Y w A 1 oppure Y w A 2. Lo stesso per A 1 B e A 2 B: supponiamo senza perdere in generalità che B A 1. Ma allora, poiché per ipotesi B Y w, deve anche essere w W, Y w A 1, e cioè Y A 1. Ma allora A 2 =. (Si può anche dimostrare usando (11.11 )) (11.13) Corollario. Siano A w, per w W, sottospazi connessi di uno spazio X tali che w A w. Allora w A w è connesso. Dimostrazione. Basta prendere uno degli A w e chiamarlo B: per ogni w W w A w A w B, e quindi si può applicare il lemma precedente. (11.14) Corollario. La retta reale R è connessa. Dimostrazione. Basta osservare che si può scrivere R = {0} R>0 [ R, R] e applicare (11.12). (11.15) Esempio. R n è connesso: è unione di rette per l origine. R n {0} è connesso. Perché? Vedi esercizio (6.2). (11.16) Teorema. Due spazi topologici X e Y sono connessi se e solo se il prodotto X Y è connesso. D.L. Ferrario 2006-apr-11 43

47 apr-11 Geometria e Topologia I Dimostrazione. Se X Y è connesso, allora X e Y, in quanto immagini delle proiezioni canoniche p 1 : X Y X e p 2 : X Y Y, sono connessi (vedi (11.9)). Viceversa, se X e Y sono connessi, allora si scelga y 0 Y : per ogni x X i sottospazi {x} Y X Y e X {y 0 } X Y sono omeomorfi rispettivamente a Y e X, e quindi entrambi connessi. Ma allora X Y = X {y 0 } x X({x} Y ), e quindi possiamo applicare (11.12) con B = X {y 0 } e Y x = {x} Y. (11.17) Definizione. Uno spazio non connesso è unione di sottospazi sia aperti che chiusi. Definiamo componenti connesse di X i sottospazi connessi massimali (cioè i sottospazi connessi di X che non sono contenuti in sottospazi connessi di X). (11.18) (Teorema del valore intermedio) Sia f : [a, b] R una funzione continua tale che f(a) < 0 e f(b) > 0. Allora esiste x 0 (a, b) tale che f(x 0 ) = 0. Dimostrazione. L intervallo [a, b] è connesso per (11.6), e quindi la sua immagine f([a, b]) = {f(x) : a x b} è connessa, e dunque un intervallo (vedi anche (11.8)). Cioè, visto che f(a) f([a, b]) e f(b) f([a, b]), anche tutti i valori intermedi y [f(a), f(b)] appartengono all immagine f([a, b]). In particolare, 0 [f(a), f(b)], e quindi 0 f([a, b]), cioè esiste x [a, b] tale che f(x) = Spazi connessi per archi Un arco (oppure un cammino) in uno spazio X è una mappa γ : [0, 1] X. Si dice che l arco parte da γ(0) e arriva a γ(1). (11.19) Definizione. Si dice che uno spazio X è connesso per archi se per ogni coppia di punti x 0, x 1 X esiste un arco γ tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1. (11.20) Se f : X Y è una funzione suriettiva e X è connesso per archi, allora Y è connesso per archi. Dimostrazione. Siano y 0, y 1 due punti di Y. La funzione è suriettiva, e dunque esistono x 0 e x 1 in X tali che f(x 0 ) = y 0 e f(x 1 ) = y 1. Dato che X è connesso, esiste un cammino γ : [0, 1] X tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1. Ma la composizione di funzioni continue è continua, e quindi il cammino ottenuto componendo γ con f: f γ : [0, 1] X Y è un cammino continuo che parte da y 0 e arriva a y 1. (11.21) Corollario. Se due spazi X e Y sono omeomorfi, allora X è connesso per archi se e solo se Y è connesso per archi. Dimostrazione. Si dimostra come nel caso della connessione e della compattezza (9.15). (11.22) Teorema. Uno spazio connesso per archi è connesso apr-11 D.L. Ferrario

48 Geometria e Topologia I 2006-apr Dimostrazione. Sia X uno spazio connesso per archi. Supponiamo che non sia connesso, e dunque che esista A X, A, A X sia aperto che chiuso. Dato che A, possiamo scegliere un punto x 0 A. Dato che A X, possiamo scegliere un punto x 1 A. Dato che X è connesso, esiste un cammino γ : [0, 1] X che parte da x 0 e arriva a x 1. La controimmagine γ 1 (A) è un sottoinsieme chiuso di [0, 1] (dato che γ è continua e A è chiuso) ed al tempo stesso un sottoinsieme aperto (dato che γ è continua e A aperto). Ma [0, 1] è connesso, quindi γ 1 A può solo essere oppure tutto [0, 1]. Ma x 0 γ 1 A, e quindi γ 1 A, e x 1 γ 1 A, e quindi γ 1 A [0, 1], e questo ci porta ad una contraddizione. (11.23) Teorema. Se X è un sottoinsieme aperto e connesso di R n, allora X è connesso per archi. Dimostrazione. Vedi esercizio (6.19) Esempio: coniche e complementari di coniche in R 2. D.L. Ferrario 2006-apr-11 45

49 apr-12 Geometria e Topologia I Esercizi: foglio 6 *(6.1) Dimostrare che gli intervalli semiaperti [a, b) sono connessi, così come gli intervalli (, a), (, a], (a, ) e [a, ) (vedi teorema (11.6) e (11.12)). (6.2) Dimostrare che R n {0} è connesso. (6.3) Dimostrare che i punti di uno spazio topologico sono connessi. (6.4) Dimostrare che Q non è connesso. Quali sono le sue componenti connesse? (Nota: Q non ha la topologia discreta!) (6.5) Dimostrare che i sottoinsiemi connessi non vuoti di R sono tutti e soli i singoli punti e gli intervalli (dove diciamo che un sottoinsieme A R è un intervallo se contiene almeno due punti distinti e se x, y A, x < s < z = s A). (6.6) Sia X un insieme con almeno due elementi. Quali sono i sottoinsiemi connessi, se X ha la topologia discreta? E se ha la topologia banale? (6.7) Determinare quali dei seguenti sottospazi di R 2 sono connessi: (i) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. (ii) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}. (iii) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. *(6.8) Supponiamo che f : X Z sia una funzione continua (dove Z, con la topologia indotta da R, ha la topologia discreta) e non costante. Dimostrare che X non è connesso. *(6.9) Dimostrare che R n {0} è connesso per n 2. Dedurne che la sfera di dimensione n S n e il piano proiettivo P 2 (R) sono connessi. (6.10) Dimostrare che le componenti connesse (definite in (11.17)) di uno spazio topologico sono disgiunte e (effettivamente) spazi connessi. *(6.11) Sia X l unione dei sottospazi A e B di R 2 definiti da A = {(x, y) R 2 : x = 0 1 y 1} e B = {(x, y) R 2 : y = cos 1 0 < x 1}. Dimostrare che X è connesso. x (Suggerimento: dimostrare prima che A e B sono connessi) 1 y x apr-12 D.L. Ferrario

50 Geometria e Topologia I 2006-apr *(6.12) Siano A = {(x, y) : 1 x 1, y = 0} e B = {(x, y) : y = x, 0 x 1 per qualche n N}. 2 n Dimostrare che X = A B è connesso y x -0.2 (6.13) Sia S n = {x R n+1 : x 2 = 1}. Dimostrare che S n è connesso. (Suggerimento: R n {0} è connesso) *(6.14) Dimostrare che S 1 non è omeomorfo ad un intervallo. (Suggerimento: S 1 meno un punto... ) *(6.15) Dimostrare che gli intervalli (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi. (6.16) Dimostrare che un insieme X è connesso se e solo se ogni volta che si scrive come X = A B con A e B allora A B oppure B A. (6.17) Dimostrare che se S R non è un intervallo (cioè se esistono x, y, z con x < s < y, x, y S e s S ) allora S non è connesso. (6.18) Dimostrare che se uno spazio ha un numero finito di componenti connesse allora esse sono sia aperte che chiuse. Trovare un esempio di spazio con infinite componenti tutte chiuse ma mai aperte. *(6.19) Dimostrare che se X R n è un sottoinsieme aperto e connesso di R n, allora è anche connesso per archi. (Suggerimento: osservare che i cammini si possono comporre nel seguente modo: se γ : [0, 1] X è un cammino che va da x 0 X a x 1 X, e γ : [0, 1] X un secondo cammino che va da x 1 a x 2, allora γ può essere riparametrizzato (utilizzando un omeomorfismo [0, 1] [1, 2]) come γ : [1, 2] X. Ma allora è possibile definire un nuovo cammino α: [0, 2] X incollando i due cammini e verificare che è ancora continuo. Ora non rimane che dimostrare la seguente cosa: se si sceglie x 0 X, lo spazio di tutti i punti raggiungibili con un cammino che parte da x 0 è un aperto ( incollando al cammino un pezzettino di cammino rettilineo... ), ma è anche un chiuso (cioè lo spazio di tutti i punti non raggiungibili con un cammino che parte da x 0 è un aperto)... ) (6.20) Sia X uno spazio topologico, e la seguente relazione in X: x y se e solo se esiste cammino γ : [0, 1] X che parte da x e arriva a y. Dimostrare che la relazione è di equivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza? D.L. Ferrario 2006-apr-12 47

51 apr-18 Geometria e Topologia I 12 Gruppi topologici Ricordiamo gli assiomi di gruppo: un gruppo è un insieme G, munito di operazione binaria (di solito indicata con la moltiplicazione) G G G che sia associativa, in cui esista l elemento neutro 1 G, e per cui ogni g G abbia un inverso g 1 (cioè un elemento g 1 tale che gg 1 = g 1 g = 1). (12.1) Definizione. Un gruppo topologico è sia un gruppo sia uno spazio topologico di Hausdorff, con in più le seguenti proprietà di continuità: (i) Il prodotto G G G, definito da (g, h) gh è una funzione continua. (ii) L inversione G G definita da g g 1 è una funzione continua. (12.2) Esempio. I campi Q e R (visti come gruppi additivi) sono gruppi topologici rispetto alla somma. I gruppi moltiplicativi Q {0}, R {0} sono gruppi topologici rispetto al prodotto. (12.3) Nota. Ogni gruppo, munito della topologia discreta, può essere visto come gruppo topologico. Per esempio, l anello degli interi Z (in cui si considera solo la struttura di somma) è un gruppo discreto infinito. (12.4) Esempio. Z/nZ è gruppo topologico (con la topologia discreta). (12.5) Sia G un gruppo topologico. Allora: Se H G è un sottogruppo di G allora (con la topologia indotta da G) è un gruppo topologico. Dimostrazione. Se H G è un sottogruppo, allora la moltiplicazione e l inversa sono mappe ottenute per restrizione: m: H H G G, i: H G H, e quindi sono continue. Questo dimostra (12.5) (insieme al fatto che un sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff). (12.6) Siano dati N spazi topologici X 1, X 2, X 3,..., X N. Consideriamo il prodotto X = X 1 X 2 X N e le proiezioni sulle componenti p 1 : X X 1, p 2 : X X 2,..., p N : X X N. Allora una funzione f : Y X 1 X 2 X N è continua se e solo se lo sono tutte le composizioni p i f : Y X i. (Di solito si scrive, per semplificare, f i = p i f) Dimostrazione. Sappiamo per (7.2) che le proiezioni p i sono continue, per cui le composizioni p i f sono continue se f è continua. Viceversa, supponiamo che le composizioni p i f siano continue e dimostriamo che f è continua. Sia A = A 1 A 2 A N un intorno (nella base canonica di intorni del prodotto X) aperto in X, e consideriamo la sua controimmagine f 1 (A). Essa si può scrivere come f 1 (A) = {y Y : f(y) A} = {y Y : p 1 (f(y)) A 1 p 2 (f(y)) A 2 p N (f(y)) A N } N = {y Y : p i (f(y)) A i } = i=1 N (p i f) 1 A i i=1 che è intersezione di aperti, e quindi aperto apr-18 D.L. Ferrario

52 Geometria e Topologia I 2006-apr (12.7) Lo spazio euclideo R n è gruppo topologico rispetto alla somma (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Dimostrazione. È una conseguenza del fatto che la somma è una funzione continua (come anche il prodotto), e del lemma (12.6). (12.8) Sia GL(n) = GL(n, R) il gruppo (chiamato gruppo lineare) di tutte le matrici invertibili n n a coefficienti reali (gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici), munito della topologia metrica indotta dalla inclusione GL(n) R n2. Allora GL(n) è un gruppo topologico. Dimostrazione. Osserviamo che lo spazio di tutte le matrici n n è isomorfo (come spazio vettoriale, per esempio) a R n2, per cui in questa lezione denoteremo con il simbolo R n2 lo spazio delle matrici n n. L inclusione GL(n) R n2 è indotta dall inclusione di GL(n) nello spazio di tutte le matrici n n. Dal momento che R n2 è metrico, GL(n) è di Hausdorff. Dobbiamo mostrare che la moltiplicazione di matrici e l inversione inducono funzioni continue m: GL(n) GL(n) GL(n) e i: GL(n) GL(n). Osserviamo che, dato che GL(n) ha la topologia indotta da R n2, le funzioni m e i sono continue se e solo se lo sono le corrispondenti funzioni m: GL(n) GL(n) R n2 e i: GL(n) R n2, e quindi, per (12.6) se tutte le composizioni con le proiezioni p i sono continue (cioè, se ogni componente è continua). Ma il prodotto di matrici (righe per colonne) si scrive come ((a i,j ), (b i,j )) ( N a i,k b k,j ), cioè è un polinomio nei coefficienti delle matrici (a i,j ) e (b i,j ). Dal momento che ogni polinomio è funzione continua, la moltiplicazione è continua. Analogamente, il determinante di una matrice è espressione polinomiale dei suoi coefficienti ed è sempre diverso da zero in GL(n), ed anche i cofattori (che compaiono nella definizione di matrice inversa) si esprimono come polinomi dei coefficienti, per cui la funzione di inversione i è continua. (12.9) Il gruppo lineare GL(n, R) non è compatto. Dimostrazione. Per il teorema (10.8) un sottoinsieme di R n2 è compatto se e solo se chiuso e limitato, e quindi GL(n, R) non è compatto perché non è limitato: contiene tutte le matrici diagonali λi n, con λ R. Non è nemmeno chiuso: infatti, nella dimostrazione di (12.8) abbiamo usato il fatto che la funzione determinante det: R n2 R è continua. Per definizione si ha GL(n, R) = {M : det(m) 0}, cioè GL(n, R) è la controimmagine del sottospazio aperto R {0} R, ed è quindi un aperto di R n2. Ma quest ultimo spazio è connesso, e quindi un aperto non vuoto con complementare non vuoto non può essere chiuso. (12.10) Sia O(n) il gruppo ortogonale, costituito da tutte le matrici ortogonali n n a coefficienti reali, e SO(n) il gruppo speciale ortogonale, costituito da tutte le matrici di O(n) con determinante +1. Allora O(n) e SO(n) sono gruppi topologici compatti. k=1 D.L. Ferrario 2006-apr-18 49

53 apr-18 Geometria e Topologia I Dimostrazione. Ricordiamo che O(n) è formato da tutte le matrici A (invertibili) di GL(n) tali che AA t = A t A = I n (dove A t indica la trasposta di A e I n la matrice identica n n). Dato che O(n) GL(n) R n2, per (10.8) dobbiamo mostrare che è chiuso e limitato. La moltiplicazione di matrici è continua, e chiaramente l operazione di trasposizione induce un omeomorfismo R n2 R n2, per cui la funzione definita da f : R n2 R n2 A AA t si può scrivere come composizione di funzioni continue. Gli insiemi costituiti da singoli punti di R n2 sono tutti chiusi, ed in particolare l insieme {I n } R n2 è chiuso. Dunque f 1 (I n ) è un sottospazio chiuso di R n2 ; ma f 1 (I n ) = {A R n2 : f(a) = I n } = {A R n2 : AA t = I n } = O(n) e dunque O(n) è chiuso. Ora, si indichino con a :,1, a :,2,... a :,n i vettori colonna di A O(n). La condizione AA t = I n si può riscrivere come { 1 se i = j a :,i a :,j = 0 se i j dove v w indica il prodotto scalare standard in R n, e dunque, considerando la prima equazione, si ha per ogni i a :,i a :,i == a 2 1,i + a 2 2,i + + a 2 n,i = 1, e quindi a i,j 1 per ogni i, j = 1,..., n, Ne segue che a 2 i,j n, i,j e dunque O(n) è limitato nella metrica euclidea di R n2. Non rimane che dimostrare che SO(n) è compatto. Ma, dato che si può scrivere come la controimmagine di 1 mediante la funzione (continua) determinante det: O(n) R, esso è un sottospazio chiuso di O(n). Allora segue da (9.12) che esso è compatto. (12.11) (Classi laterali) SO(2) S 1. O(2) = SO(2) SO(2) S 1 S 1. (12.12) Esempio. SO(n) è gruppo topologico. (12.13) Esempio. SO(2) O(2) GL(2, R). (12.14) Esempio. Gruppo delle rotazioni di R 3 : SO(3). È compatto e connesso per archi. Problema dei videogames (interpolazione di rotazioni) e della robotica (bracci e moti vincolati). (12.15) Esempio. Gruppo di simmetrie di un triangolo equilatero: è isomorfo al gruppo di permutazioni sui tre vertici? (12.16) Esempio. Gruppo ciclico {z n = 1}: è il gruppo di simmetrie di un poligono regolare? Per esempio, il gruppo di simmetrie di un quadrato? Un esagono? (12.17) Esempio. Gruppo generato dalle rotazioni di angolo π attorno ai (due) tre assi ortogonali di R apr-18 D.L. Ferrario

54 Geometria e Topologia I 2006-apr Gruppi di trasformazioni (13.1) Definizione. Sia G un gruppo e X un insieme. Si dice che G agisce (da sinistra) su X se esiste una funzione φ: G X X, denotata da (g, x) g x = gx, per cui (i) x X, 1 x = x (1 G è l elemento neutro). (ii) x X, g, h G, g (h x) = (gh) x. L insieme X si dice anche G-insieme. (13.2) Definizione. Se G agisce su X, allora per ogni x X si definiscono: (i) lo stabilizzatore di x: G x = {g G : g x = x}. (ii) L orbita di x: G x = {gx : g G}. (13.3) Sia G un gruppo e X un insieme su cui G agisce. Allora la relazione x y g G : gx = y è una relazione di equivalenza, che partiziona X in classi di equivalenza. Le classi di equivalenza sono le orbite di G in X. Dimostrazione. Per mostrare che la relazione è di equivalenza, bisogna mostrare che è riflessiva, simmetrica e transitiva. Dato che 1x = x, si ha che x x, per cui è riflessiva. Inoltre, se gx = y (cioè x y) allora g 1 (gx) = g 1 y, e quindi x = g 1 y, cioè y x. Quindi è simmetrica. Infine, è transitiva: se x y e y z, si ha che esistono g 1 e g 2 per cui g 1 x = y e g 2 y = z. Quindi (g 1 g 2 )x = g 2 (g 1 x) = g 2 y = z, cioè x z. Ora, è facile vedere che due punti stanno nella stessa classe di equivalenza se e solo se appertengono alla medesima orbita. (13.4) Definizione. L insieme di tutte le orbite (classi di equivalenza) di X secondo per l azione di un gruppo G su X si indica con X/G e si chiama spazio delle orbite. (13.5) Esempio. Il gruppo (additivo) Z degli interi agisce sulla retta reale R (vedi sotto). Lo spazio quoziente è omeomorfo alla circonferenza S 1. (13.6) Definizione. L azione di G su X si dice fedele se per ogni g G, g 1 G, la mappa indotta g : X X (da x g x) non è l identità 1 X : X X. (13.7) Definizione. L azione di G su X viene detta transitiva se per ogni x, y X esiste g G per cui g x = y. In questo caso si dice che X è uno spazio omogeneo. (13.8) Esempio. L azione di Z su R (traslazioni intere) è fedele ma non è transitiva. L azione di R su R è fedele e transitiva. (13.9) L azione è transitiva se e solo se esiste solo una G-orbita in X. Dimostrazione. Sia x X un punto fissato. Allora per ogni y esiste g G per cui g x = y, cioè ogni y in X sta nella stessa G-orbita di x, che quindi è unica. Viceversa, supponiamo esista una sola orbita: allora esiste x X per cui {g x g G} = X, e quindi per ogni y X esiste g G tale che g x = y. (13.10) Nota. Se G è un gruppo, G agisce su se stesso X = G semplicemente per moltiplicazione a sinistra. L azione è transitiva e fedele. Se H è un sottogruppo di G, anche H agisce su G per moltiplicazione da sinistra. Le orbite sono i laterali (sinistri) di H in G. La notazione G/H quindi è consistente: da un lato indica l insieme (algebrico) dei laterali sinistri di H in G, dall altro l insieme delle orbite dell azione di H su G. D.L. Ferrario 2006-apr-19 51

55 apr-19 Geometria e Topologia I (13.11) Definizione. Se G è un gruppo topologico, allora si dice che G agisce su uno spazio topologico X se esiste una funzione φ: G X X che induca una azione di G su X (come nella definizione (13.1)) con l ulteriore proprietà che la funzione è continua. Allora X si chiama G-spazio. G X X (13.12) Esempio. È facile vedere che R2 agisce su R 2 come gruppo (additivo) di traslazioni (x, y) (u, v) = (x + u, y + v). (13.13) Esempio. I gruppi GL(n, R), O(n) e SO(n) agiscono su R n in modo canonico. Come visto sopra, si può vedere facilmente che l azione è continua, cioè che agiscono come gruppi topologici su R n. (13.14) Definizione. Se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio topologico X, lo spazio delle orbite X/G è uno spazio topologico con la topologia quoziente. (13.15) Esempio. Sia G = Z (con la topologia discreta) e X = R. Allora G agisce su R mediante la somma (g, t) g+t per ogni g Z e ogni t R. Lo spazio delle orbite è uguale allo spazio R/ dell esempio (8.1). Mostriamo che è omeomorfo a S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 +y 2 = 1}. Sia f : R R 2 la funzione definita da f(t) = (cos(2πt), sin(2πt)). Si vede subito che induce una funzione f(t): R S 1 R 2, e che è continua (le funzioni trigonometriche sono continue, poi si usa (12.6)). Dal momento che f(g + t) = (cos(2πt + 2gπ), sin(2πt + 2gπ)) = (cos(2πt), sin(2πt)) = f(t), la funzione f induce una funzione sullo spazio delle orbite f : R/Z S 1. La funzione indotta f è continua: infatti, se U S 1 è un aperto di S 1, la sua controimmagine f 1 (U) in R/Z è continua se e soltanto se (per definizione di topologia quoziente) il sottoinsieme p 1 ( f 1 (U) ) R è aperto in R, dove p indica la proiezione sul quoziente p: R R/Z. Ma p 1 ( f 1 (U) ) = {t R : f (p(t)) U} = {t R : f(t) U} = f 1 (U), che è aperto, visto che f è continua. Ora, la funzione indotta f : R/Z S 1 è iniettiva: se f(t 1 ) = f(t 2 ) si ha che cos(2πt 1 ) = cos(2πt 2 ) e sin(2πt 1 ) = sin(2πt 2 ), e quindi t 2 = 2kπ + t 1 per un certo k Z, cioè esiste g Z tale che g t 1 = t 2 : i due punti t 1 e t 2 appartengono alla stessa G-orbita. È facile vedere che f è suriettiva. Osserviamo che l inclusione [0, 1] R è una funzione continua, e quindi la composizione [0, 1] R R/Z è anch essa una funzione continua, e suriettiva. Quindi la sua immagine R/Z, per (9.14), è un compatto. Ora, f è una funzione continua e biunivoca da un compatto ad uno spazio di Hausdorff (S 1 ), e quindi un omeomorfismo per (9.16) apr-19 D.L. Ferrario

56 Geometria e Topologia I 2006-apr (13.16) Esempio. Sia G = Z 2 R 2 il reticolo degli interi (h, k) R 2. Allora R 2 /G è omeomorfo a S 1 S 1. Sappiamo dall esempio precedente che R/Z S 1. Per prima cosa mostriamo che la funzione definita da f : R 2 /Z 2 R/Z R/Z S 1 S 1 (x, y) + Z 2 (x + Z, y + Z) è ben posta. Se (x, y )+Z 2 = (x, y)+z 2 R 2 /Z 2, allora per definizione x x Z e y y Z, e quindi x + Z = x + Z e y + Z = y + Z. È iniettiva: se (x + Z, y + Z) = (x + Z, y + Z), allora x x Z e y y Z, e quindi (x, y ) + Z 2 = (x, y) + Z 2 R 2 /Z 2. Analogamente si può mostrare che è suriettiva. Dimostriamo che è continua: denotiamo con P : R 2 R 2 /Z 2 la proiezione sul quoziente e con p p la mappa p p: R R R/Z R/Z (che è continua). Se U R/Z R/Z è un aperto, allora (p p) 1 (U) è aperto in R R, e quindi è aperto in R 2 (che è identificato con R R tramite la mappa f : R 2 R R che induce f). Ma il sottoinsieme di R 2 dato da f 1 (p p) 1 (U) coincide con P 1 (f 1 (U)), che quindi è aperto. Ora, per definizione di topologia quoziente f 1 (U) è aperto se e solo se P 1 (U) è aperto in R 2, e quindi f 1 (U) è aperto. Di nuovo, una funzione biunivoca da uno spazio compatto ad uno spazio di Hausdorff è un omeomorfismo. (13.17) Esempio. Si consideri l azione di SO(2) sulla circonferenza unitaria S 1. Ogni elemento di SO(2) agisce ruotando la circonferenza su se stessa: ogni punto ha stabilizzatore banale e l azione è transitiva e fedele. Fissiamo e 0 = (1, 0) S 1. L orbita di e 0 è tutto S 1, e quindi c è una funzione continua f : SO(2) S 1 definita da f(g) = g e 0. L azione è transitiva, e quindi f è suriettiva. Inoltre lo stabilizzatore è banale, e quindi f è iniettiva. Dato che SO(2) è compatto e S 1 di Hausdorff, f è un omeomorfismo tra SO(2) e S 1. (13.18) Esempio. Consideriamo ora l azione di SO(3) su S 2 (la sfera di dimensione 2, centro nell origine e raggio 1, contenuta in R 3 ). L azione è ancora transitiva (perché?), fedele, ma ogni punto ha uno stabilizzatore non banale (cosa sono le rotazioni di R 3 che fissano un punto?). (13.19) Esempio. Il gruppo Z/2Z agisce su S 2 ponendo g x = x. (13.20) Esempio. Le isometrie di uno spazio metrico X costituiscono un gruppo topologico che agisce su X. Quali sono le isometrie di R? Le isometrie di C = R 2? Di R 3? D.L. Ferrario 2006-apr-19 53

57 apr-19 Geometria e Topologia I Esercizi: foglio 7 (7.1) Sia G un gruppo e H G un sottogruppo. L insieme G/H è definito come l insieme di tutti i laterali, cioè di tutti gli insiemi del tipo {gh : h H} per qualche g (fissato) in G. Equivalentemente, sia H la relazione in G definita da: x H y x 1 y H. Dimostrare che la relazione H è di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono proprio i laterali di H in G. (7.2) Dimostrare che GL(n, R) non è limitato. (7.3) Si scriva la funzione GL(n) GL(n) R n2 definita da A AA t (dove A t indica la trasposta di A) come composizione di funzioni continue. (7.4) Sia G un gruppo topologico e H G un sottogruppo. Dimostrare che la chiusura H di H in G è anch esso un sottogruppo. (7.5) Dimostrare che Z è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R. (7.6) È vero che Q è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R? (7.7) Dimostrare che GL(n) e O(n) non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema (11.9 ) con la mappa determinante) *(7.8) Dimostrare che se S R è un sottogruppo discreto (nel senso che ha la topologia discreta), allora è isomorfo a Z (cioè è un gruppo ciclico infinito). (7.9) Sia nz Z il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero n N. L azione da sinistra g x = g + x fa agire G = nz su Z. L azione è fedele? È transitiva? Cosa è l insieme delle classi di equivalenza? (7.10) Mostrare che il quoziente R 2 /Z 2 è compatto. *(7.11) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y 2 1} R 2 tale che X/G sia omeomorfo al cilindro S 1 [0, 1]. *(7.12) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y 2 1} R 2 tale che X/G sia omeomorfo al nastro di Möbius. *(7.13) Si consideri S 2 con l azione antipodale di G = Z 2 (gruppo di due elementi) data da g x = x se g 1. Che cosa è S 2 /G? È compatto? È connesso? (7.14) Trovare un azione sul toro che abbia come spazio quoziente un cilindro. (7.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto x X rispetto ad un azione di un gruppo topologico G è un sottogruppo chiuso di G. (7.16) Si consideri il gruppo G generato da una rotazione nel piano di angolo θ, che agisce sulla circonferenza S 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1} R 2. Studiare, al variare di θ, la topologia dello spazio quoziente S 1 /G. (7.17) Siano r 1 e r 2 riflessioni lungo due rette passanti per l origine in R 2. Mostrare che la composizione r 1 r 2 è una rotazione apr-19 D.L. Ferrario

58 Geometria e Topologia I 2006-apr *(7.18) Sia G = Q e X = R, con azione data da g x = g + x per ogni g Q e x R. Dimostrare che è un azione di gruppo topologico. È transitiva? Lo spazio quoziente X/G è di Hausdorff? (7.19) Si consideri l azione di GL(1) = R {0} su R data dalla moltiplicazione g x = gx. Quali sono le orbite? (7.20) Sia G = R (gruppo additivo) e X = R 2, con azione data da g (x, y) = (g + x, g + y) per ogni g G e ogni (x, y) X. Che cosa è lo spazio delle orbite? (7.21) Consideriamo la stessa azione dell esercizio precedente. Che cosa è lo spazio delle orbite per l azione di Z G = R su X? È compatto? È connesso? È Hausdorff? (7.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie G di un quadrato Q in R 2? Che cosa è (cioè, descriverlo esplicitamente) lo spazio quoziente Q/G. (7.23) Sia X uno spazio su cui un gruppo topologico X agisca in modo transitivo. Dimostrare che lo spazio è omogeneo, cioè per ogni coppia di punti c è un omeomorfismo f : X X che manda x in y (cioè un cambio di coordinate che manda x in y). Rispetto a quale gruppo R è omogeneo? E R n? (7.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su O(n). Più in generale, se G è un gruppo topologico e H G un sottogruppo, determinare un gruppo che agisce transitivamente sullo spazio quoziente G/H. *(7.25) Dimostrare che se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio X, allora la proiezione sullo spazio delle orbite X X/G è una mappa aperta. Se G è finito, è anche chiusa. (Suggerimento: se U X è un aperto, allora p(u) è aperto (chiuso) se e solo se GU = {g x : g G, u U} è aperto (chiuso) in X.) (7.26) Dimostrare che se G (gruppo topologico) agisce su X, allora per ogni g G la mappa x g x è un omeomorfismo. **(7.27) Sia G un gruppo topologico d N G un suo sottogruppo normale (dal punto di vista algebrico) e chiuso (dal punto di vista topologico) in G. Sia G/N il quoziente (quoziente dal punto di vista algebrico, insieme dei laterali), con la topologia quoziente. (i) Dimostrare che la proiezione p p: G G G/N G/N è una mappa quoziente. (ii) Dimostrare che la moltiplicazione G G G induce una moltiplicazione m: G/N G/N G/N, che è continua. (iii) Dimostrare che G/N è un gruppo topologico. (7.28) Sia l 2 un intero. Sia Z l C l insieme delle radici l-esime dell unità Z l = {z C : z l = 1}. Dimostrare che Z l è un gruppo topologico, che agisce su C per moltiplicazione a sinistra g z = gz (g Z l, z C). Al variare di l, determinare lo spazio quoziente C/Z l. D.L. Ferrario 2006-apr-19 55

59 apr-26 Geometria e Topologia I 14 Spazi metrici completi (14.1) Definizione. Una successione {x n } n in uno spazio metrico si dice di Cauchy se per ogni ɛ > 0 esiste un intero N = N(ɛ) per cui n, m > N = d(x n, x m ) < ɛ. (14.2) Una successione convergente in uno spazio metrico è di Cauchy. Dimostrazione. Se lim n x n = x, allora per ogni ɛ > 0 esiste n 0 > 0 tale che n > n 0 = d( x, x n ) < ɛ. Quindi se n, m > n 0 si ha (per la disuguaglianza triangolare) d(x n, x m ) d(x n, x) + d( x, x m ) < 2ɛ, e quindi la successione è di Cauchy. (14.3) Ogni successione di Cauchy è limitata. Dimostrazione. Per definizione, esiste N 1 tale che m, n N = d(x n, x m ) < 1. Ma allora in particolare per ogni n N d(x n, x N ) < 1 e quindi per ogni n 1 d(x n, x 1 ) M = max{d(x 1, x 2 ), d(x 1, x 3 ),..., d(x 1, x N )} + 1, e dunque {x n } B M (x 1 ) è limitata. (14.4) Definizione. Uno spazio metrico X si dice completo se ogni successione di Cauchy in X converge in X. (14.5) Uno spazio metrico X è completo se e solo se ogni successione di Cauchy in X ammette una sottosuccessione convergente. Dimostrazione. È ovvio che se è completo allora ognu successione di Cauchy converge, e dunque basta prendere la successione stessa {x n }. Supponiamo invece che ogni successione di Cauchy ammetta una sottosuccessione convergente. Sia {x n } una successione di Cauchy e {x nk } la sottosuccessione convergente a x X. Per ogni ɛ > 0 esiste N tale che ed un K tale che k > K = n k > N e Ma allora se n > N si ha per ogni k > K m, n > N = d(x n, x m ) < ɛ/2, d(x nk, x) < ɛ/2. d(x n, x) d(x n, x nk ) + d(x nk, x) < ɛ, cioè {x n } converge a x. (14.6) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e d Y. Allora X Y è uno spazio metrico con la metrica prodotto definita da d ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = d X (x 1, x 2 ) 2 + d Y (y 1, y 2 ) 2 Dimostrazione. Esercizio (3.19) apr-26 D.L. Ferrario

60 Geometria e Topologia I 2006-apr (14.7) Se X e Y sono spazi metrici completi, allora X Y con la metrica prodotto è uno spazio metrico completo. Dimostrazione. Esercizio (8.1). (14.8) Un sottospazio S X di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso in X. Dimostrazione. Esercizio (8.2). (14.9) La retta reale R è uno spazio metrico completo. Per ogni n 1 lo spazio euclideo R n è completo. Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che R è completo. Se {x n } è una successione di Cauchy, allora per (14.3) è una successione limitata che per (10.9) ha una sottosuccessione convergente ad un limite in R (se non fosse infinita sarebbe immediato trovare il limite... ). Ma per (14.5) allora {x n } converge in R, e dunque R è completo. La seconda parte dell enunciato segue da (14.7). (14.10) Nota. Il campo Q non è completo: basta trovare successioni convergenti a numeri irrazionali. D.L. Ferrario 2006-apr-26 57

61 apr-26 Geometria e Topologia I Esercizi: foglio 8 *(8.1) Dimostrare che se X e Y sono spazi metrici completi, allora X Y con la metrica prodotto è uno spazio metrico completo. *(8.2) Un sottospazio S X di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso in X. *(8.3) Si consideri Q con la topologia generata dagli intervalli aperti (a, b), con a, b Q, a < b (generata dalla metrica d(x, y) = x y, notiamo che è una metrica a valori razionali). Dimostrare che se {x n } e {y n } sono due successioni di Cauchy in Q, allora la somma {x n +y n } e il prodotto {x n y n } sono successioni di Cauchy in Q. (Suggerimento: per la moltiplicazione usare il fatto che ogni successione di Cauchy è limitata (14.3 )) *(8.4) Consideriamo l insieme R di tutte le successioni di Cauchy su Q. Dimostrare che R è un anello commutativo con unità, cioè che valgono i seguenti assiomi: (i) x, y, z R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz). (ii) x, y R, x + y = y + x, xy = yx. (iii) 0 R : x Rx + 0 = x; 1 R : x R, x 0 = 1x = x. (iv) x R, unico y R : x + y = 0. (v) x, y, z R, x(y + z) = xy + xz. *(8.5) Sia R come nell esercizio precedente l anello delle successioni di Cauchy, e N R il sottoinsieme definito da N = {{x n } R : lim x n = 0 Q}. n Mostrare che N è un ideale in R, cioè che N è un sottogruppo additivo e se {x n } è una successione di Cauchy e {z n } una successione di Cauchy convergente a zero allora la successione {z n x n } converge a zero. Dedurre che il quoziente (algebrico) R := R/N è un anello (cioè l insieme di classi di equivalenza di successioni di Cauchy, dove {x n } {y n } lim n (x n y n ) = 0). *(8.6) Dimostrare che R, definito come quoziente nell esercizio precedente, è un campo, che contiene il campo dei razionali Q come sottocampo. (Suggerimento: basta far vedere che se {x n } N, allora esiste ɛ > 0 per cui se n è abbastanza grande x n > ɛ (oppure x n < ɛ), e dunque... ) *(8.7) Dimostrare che la relazione di ordine di Q può essere estesa a R ponendo x < y y x > 0 (e dunque è sufficiente descrivere l insieme dei numeri reali positivi, cioè le classi di equivalenza di successioni di Cauchy che sono definitivamente positive), e cioè che R è un campo ordinato. *(8.8) Dimostrare che R (definito sopra) è completo (cioè che ogni successione di Cauchy in R converge). (Suggerimento: una successione in R è una successione di classi di equivalenza di successioni: possiamo scrivere la successione {x n } come {[a n,k ]}, dove x n è uguale alla classe di equivalenza [a n,k ] della successione di Cauchy (in k) {a n,k } k ) apr-26 D.L. Ferrario

62 Geometria e Topologia I 2006-apr *(8.9) Dimostrare che R ha la proprietà dell estremo superiore (cioè che ogni sottoinsieme limitato superiormente ha estremo superiore in R). (Suggerimento: utilizzare un argomento di tipo bisezione di intervalli per associare ad un insieme limitato superiormente una successione decrescente di intervalli chiusi, e quindi la successione di Cauchy degli estremi razionali di questi intervalli; vedi la seconda dimostrazione di (10.5 )) *(8.10) Se invece della metrica euclidea in Q si ripete il procedimento degli esercizi precedenti partendo dalla metrica discreta su Q, cosa si ottiene? Cosa sono le successioni di Cauchy? Il quoziente R/N è ancora una estensione del campo dei razionali Q? Quale? D.L. Ferrario 2006-apr-26 59

63 apr-26 Geometria e Topologia I Esercizi: foglio 9 (9.1) Consideriamo il sottoinsieme Q Q dei numeri razionali positivi o nulli: Q = {x Q : x 0}. Lo scopo di questo esercizio (e dei seguenti) è di rivisitare la costruzione delle sezioni di Dedekind in termini di connessione (così come la costruzione di Cantor dei numeri reali come completamento di Q è fatta in termine di convergenza di successioni di Cauchy). 8 Sappiamo che Q e Q non sono connessi (perché?): esistono quindi due aperti-e-chiusi non vuoti A 1,A 2 Q tali che A 1 A 2 = Q. Definiamo le sezioni di Q come segue: una sezione α Q è un intervallo aperto e limitato di Q contenente lo 0, cioè (i) 0 Q; (ii) p α = ɛ > 0, B ɛ (p) α (α è aperto). (iii) p α = [0, p) α (α è un intervallo che contiene lo 0); (iv) α è limitato (equivalentemente, α Q, dal momento che α è un intervallo che contiene 0). Dimostrare che le sezioni (definite come sopra) soddisfano le seguenti proprietà: (i) α non è vuoto e α Q; (ii) Se p α e q Q e q < p allora q α; (iii) Se p α allora p < r per qualche r α. (9.2) Sia S l insieme di tutte le sezioni di Q. Consideriamo la funzione f : Q {0} S definita da f(q) = α = [0, q), per ogni q Q {0}. Dimostrare che è iniettiva (non è definita in 0). *(9.3) Dimostrare che la relazione di inclusione α < β α β α β è una relazione di ordine totale su Q, cioè: (i) Se α e β sono sezioni in S, allora una sola delle relazioni seguenti è vera: α < β, β < α, β = α. (ii) (proprietà transitiva): se α, β e γ sono in S, e α < β β < γ, allora α < γ. *(9.4) Dimostrare che l insieme delle sezioni S ha la proprietà dell estremo superiore: ogni insieme non vuoto e limitato in S ammette estremo superiore. (Suggerimento: se A S è un insieme limitato e non vuoto, allora si può definire l unione U = α A α le sezioni sono sì elementi di S, ma sono anche intervalli di numeri razionali, e quindi è possibile definire l unione... poi si dimostra che l unione in effetti è una sezione, e quindi U S... è un maggiorante di A, ed è poi possibile vedere che è il minimo dei maggioranti... ) *(9.5) Ora dobbiamo mostrare che la somma e il prodotto, definite in Q, si estendono a S. Definiamo la somma come α + β = {a + b : a α, b β} e il prodotto come αβ = {ab : a α, b β}. 8 Questa non è la costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind apr-26 D.L. Ferrario

64 Geometria e Topologia I 2006-apr Dimostrare che la somma e il prodotto di sezioni sono ancora sezioni. Dimostrare che la funzione f dell esercizio (9.2) conserva le operazioni di somma, prodotto e la relazione d ordine: f(p + q) = f(p) + f(q), f(pq) = f(pq), p < q = f(p) < f(q). *(9.6) Dimostrare che se α, β S, e α < β, allora esiste un unico γ S tale che β = α + γ. (9.7) Dimostrare che se α S, allora esiste un unico β tale che αβ = 1 (dove identifichiamo 1 = [0, 1) = f(1). *(9.8) Ora siano S + e S due copie di S, e sia R = S {0} S +. Se α S, allora indicheremo con +α (o anche semplicemente con α) l elemento corrispondente in S +, e con α l elemento corrispondente di S. Definire operazioni di addizione, moltiplicazione e la relazione d ordine su R in modo che R risulti un campo ordinato. *(9.9) Mostrare che la funzione f di (9.2) si estende in modo naturale ad una inclusione di campi Q R. (Vale la pena di concludere osservando che R = R... ). D.L. Ferrario 2006-apr-26 61

65 mag-3 Geometria e Topologia I 15 Spazi affini Sappiamo come è definita l azione di un gruppo G su un insieme e l azione di un gruppo topologico su uno spazio topologico. Ricordiamo anche che cosa è uno spazio vettoriale su un campo K (per esempio, K = R, K = C). (15.1) Definizione. Uno spazio vettoriale V è un gruppo abeliano (additivo) su cui il campo degli scalari K agisce ; l azione di un campo K su un gruppo abeliano è data in termini di una legge di composizione ( prodotto per uno scalare ) con le proprietà seguenti. (k, v) K V kv V (i) Per ogni k K la funzione indotta v V kv V è un omomorfismo del gruppo additivo V (cioè è additiva, manda lo zero nello zero,... ) (ii) Per ogni k 1, k 2 K, v V : (a) (k 1 + k 2 )v = k 1 v + k 2 v, (b) (k 1 k 2 )v = k 1 (k 2 v) (iii) 1v = v. (15.2) Esempio. Sia R n il prodotto diretto di n copie di R. Ha per elementi le n-uple di numeri reali, ed è un gruppo additivo rispetto alla somma componente-per-componente. Il prodotto di uno scalare per una n-upla è il modello di prodotto di scalare per vettore più in generale. Infatti, in molti contesti non si distingue il concetto di vettore (riga o colonna) dal concetto di n-upla. L idea di spazio affine è l applicazione della omogeneità degli spazi vettoriali (vedi definizione (13.7)) rispetto al gruppo delle traslazioni: a meno di traslazioni, gli intorni dei punti R n sono gli stessi. 9 Si può dire che uno spazio affine è uno spazio che localmente è come uno spazio vettoriale, e dati due punti c è ben definita una unica trasformazione (traslazione) che manda un punto nell altro (trasporto parallelo). Vedremo poi come da questa idea si deducono i concetti di parallelismo e incidenza. (15.3) Definizione. Uno spazio affine X su un campo K è un insieme X (insieme di punti) su cui agisce in modo fedele e transitivo uno spazio vettoriale X su K (considerato solo come gruppo additivo insieme delle traslazioni). Gli elementi di X si chiamano punti, gli elementi di X si dicono vettori affini o traslazioni, e il campo K viene detto campo dei coefficienti. 9 La parola affine fu usata per la prima volta da Eulero, ma la geometria affine fu riconosciuta come disciplina soltanto dopo il l avvio del programma di Erlangen di Felix Klein ( ) cioè il famoso discorso tenuto nel 1872 da Klein nell Università di Erlangen, in cui Klein propone una unificazione delle geometrie note al tempo (euclidea piana e dello spazio, non-euclidea, proiettiva, affine,... ) con una interpretazione in termini di gruppi di simmetria o meglio gruppi di trasformazioni: gli spazi tradizionali sono spazi omogenei rispetto ad una opportuna scelta del gruppo di trasformazioni (le similitudini e le rototraslazioni per la geometria euclidea, le trasformazioni lineari per la geometria affine,... ) e le proprietà che si studiano sono quelle invarianti rispetto all azione di tale gruppo (angoli, lunghezze,... ). Questo approccio ha avuto una significativa influenza sul modo in cui la geometria è stata insegnata e divulgata nei successivi ( 50) anni mag-3 D.L. Ferrario

66 Geometria e Topologia I 2006-mag-3 63 (15.4) Sia X uno spazio affine e X lo spazio vettoriale (su campo K) associato. Allora esiste (unica) una funzione X X X, indicata da (A, B) AB (indicato anche come AB = B A), con le seguenti proprità: (i) A X, v X, unico B X : AB = v. (ii) A, B, C X, AB + BC = AC. Dimostrazione. L azione di X su X è per definizione transitiva: dunque per ogni scelta di A e B in X esiste v X tale che v + A = B. Ora, se v, w X sono due vettori di X tali che v + A = B e w + A = B, allora si ha v + A = w + A, cioè il vettore v w fissa il punto A ((v w) + A = A). Ma se v w fissa il punto A allora, dal momento che (essendo l azione transitiva) ogni punto di X si può scrivere come z + A per qualche z X, per ogni B X si ha (v w) + B = (v w) + (z + A) = (v w + z) + A = (z + (v w)) + A = z + (v w + A) = z + A = B e dunque v w fissa ogni punto di X. Ma l azione è fedele, e quindi deve essere v = w (cioè per ogni A, B in X esiste unico v X per cui B = v +A. Si può dunque indicare con AB = v. Ora mostriamo che A, B, C X, AB + BC = AC. Infatti, per definizione risulta AB + A = B BC + B = C e quindi C = BC + B = ( BC + AB) + A che per definizione (e commutatività) si legge come AC = AB + BC. (15.5) Supponiamo di avere un insieme non vuoto X e uno spazio vettoriale X, insieme con una funzione X X X, indicata da (A, B) AB che soddisfa i due assiomi: (i) A X, v X, unico B X : AB = v. (ii) A, B, C X, AB + BC = AC (assioma di Chasles. 10 ) Allora X è spazio affine rispetto all azione (v, A) X X A + v, dove si definisce A + v l unico punto B X tale che AB = v (primo assioma). 10 Michel Chasles, matematico francese ( ). D.L. Ferrario 2006-mag-3 63

67 mag-3 Geometria e Topologia I Dimostrazione. Vedi esercizio (10.1). (15.6) Esempio. X = X = R n. Allora lo spazio affine si indica con A n (R). Analogamente, per K = C, lo spazio affine n-dimensionale si indica con A n (C). (15.7) Definizione. Una retta nello spazio affine X è un sottoinsieme di X che si può scrivere come r = {x 0 + tv : t K} per un certo x 0 X e v X {0}. 11 Si dice che la retta passa per un punto se il punto appartiene alla retta. Lo spazio vettoriale v X di dimensione uno generato da v è la giacitura della retta. (15.8) Due rette r = {A + tv : t K} e s = {B + tw : t K} coincidono se e solo se i vettori v e w sono linearmente dipendenti (cioè se le giaciture coincidono) e A s B r. Dimostrazione. Supponiamo che r = s. Allora è ovvio che A s B r. Ora, dato che A s, esiste t A K tale che A = B +t A w; analogamente, esiste t B K tale che B = A+t B v. Segue che B A = t A w = t B v, cioè t A w + t B v = 0. Se t A 0 oppure t B 0, allora abbiamo dimostrato che v e w sono linearmente dipendenti. Altrimenti, t A = 0 = t B cioè A = B. Ma allora, dato che A+v r = s, esiste t K tale che A + v = A + t w, e quindi v t w = 0 (ancora, v e w sono linearmente dipendenti). Viceversa, supponiamo che A s e B R e che v e w siano linearmente dipendenti. Segue che A = B + t A w per un certo t A K e che esiste t K, t 0, tale che v = t w; quindi r = {A + tv : t K} = {B + t A w + tv : t K} = {B + t A w + tt w : t K} = {B + (t A + tt )w : t K} = {B + tw : t K} = s (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca r (la parallela a r passante per A). Tale retta ha la stessa giacitura di r. Due rette sono quindi parallele se hanno la stessa giacitura. Dimostrazione. Per definizione esistono un punto x 0 e un vettore v 0 per cui r = {x 0 + tv : t K}, e non esiste t K per cui x 0 + tv = A (dato che r non passa per A). La retta r = {A + tv : t K} 11 In altre parole, una retta è l orbita del punto x 0 X mediante l azione di un sottogruppo 1-dimensionale ( = K) dello spazio di traslazioni X mag-3 D.L. Ferrario

68 Geometria e Topologia I 2006-mag-3 65 passa certamente per A. Supponiamo che r r. Allora esistono t 1, t 2 K tali che e quindi A + t 1 v = x 0 + t 2 v r r, A = x 0 + (t 2 t 1 )v = A r che è assurdo. Abbiamo mostrato che esiste una retta che non interseca r. Supponiamo di avere due rette s e s tali che s r = e s r = e passanti per A. Allora si possono scrivere con le equazioni s = {A + tw} e s = {A + tw }. Per la proposizione (15.8) le due rette coincidono se e solo se w e w sono linearmente dipendenti. Analogamente a quanto visto sopra, s r = se e solo se non esistono t 1 e t 2 K tali che A + t 1 w = x 0 + t 2 v, cioè se e solo se l equazione vettoriale (nelle incognite t 1 e t 2 ) t 1 w t 2 v = x 0 A non ha soluzioni, il che avviene se e solo se il vettore x 0 A non appartiene al sottospazio di K 2 generato da w e v. Ora, se v e w sono linearmente indipendenti allora tale sottospazio coincide con K 2, per cui la soluzione c è. Affinché la soluzione non esista è necessario che v e w siano dipendenti. Abbiamo quindi mostrato che w è necessariamente multiplo di v. Dato che lo stesso vale per w, risulta che w e w sono linearmente dipendenti e quindi s = s. Osserviamo che valgono le seguenti proprietà: Se X è un piano affine, allora (i) Per ogni due punti distinti passa una unica retta. (ii) Per ogni retta r e punto A r, esiste una unica retta per A che non interseca r (detta parallela). (iii) Esistono almeno 4 punti che non contengono terne di punti allineate. (15.10) Esempio. Sia GF (p k ) il campo finito di ordine p k (prossimo anno, algebra). Primo p 2. Allora, A 2 (GF (p k )) è un piano affine sul campo GF (p k ). Se Per p = 2, k = 1, A 2 (GF (2)) quanti punti ha? Quante rette? Che legame ha con un tetraedro? (15.11) Nota. Segue che esiste una relazione di equivalenza tra rette (relazione di parallelismo: r s r = s r s = ). In particolare, un piano affine ha una struttura di incidenza, nel senso che si ha un insieme P di punti, un insieme R di rette, e una relazione di appartenenza : P R {0, 1}. (15.12) Nota. Supponiamo che una retta di un piano affine X abbia un numero finito di punti, n (deve essere n 2) perché... Il piano si dice di ordine n. Dimostriamo che tutte le rette hanno n punti, che per ogni punto passano n + 1 rette, e che in totale ci sono n 2 punti e n 2 + n rette. Dimostrazione. Sia r la retta con n punti e sua P un punto non su r (che esiste per il (iii)). Sia x il numero di rette per P e n il numero di punti di r. Delle x rette, una sola è parallela a r (per (ii)); le x 1 rette hanno intersezione con r e passano per P. Let intersezioni delle rette con r sono necessariamente distinte, per cui x 1 n. D altro canto per ogni punto R di r esiste una unica retta passante per R e per P (e queste rette sono tutte distinte): quindi x 1 n, cioè per ogni punto non sulla retta r passano n + 1 rette distinte. D.L. Ferrario 2006-mag-3 65

69 mag-3 Geometria e Topologia I Ora, siano P e Q due punti distinti. Per (iii), esiste sicuramente una retta l che non contenga né P né Q (altrimenti, tutte le rette contengono almeno P oppure Q: tutte le rette intersecano la retta per P e Q: non ci possono essere punti al di fuori di questa retta (per l assioma delle parallele): tutti i punti sono allineati). Il numero di rette per P e Q è uno in più del numero di punti di l, e dunque il numero di rette per P è uguale al numero di rette per Q. Ora, se l è una retta e la retta r ha n punti, allora scegliamo un punto P non su l e non su r (ancora, P deve esistere per (iii), altrimenti tutti i punti sono in l r, e quattro punti distinti necessariamente contengono tre punti allineati... ). Segue che r e l hanno lo stesso numero di punti, e per l arbitrarietà di l la tesi. Ora, se x è il numero totale di punti e y il numero totale di rette, abbiamo: ny = (n + 1)x (15.13) (contando i punti al variare delle rette, alla fine ogni punto è stato contato esattamente n + 1 volte). Ma possiamo contare anche le rette con le coppie di punti distinti: per ognuna delle x(x 1)/2 coppie di punti distinti c è una retta, ed ogni retta è contata n(n 1)/2 volte in questo modo. Dunque x(x 1) = yn(n 1). (15.14) Risolviamo le due equazioni (15.13) e (15.14) otteniamo subito x = n 2 e y = n 2 + n. (15.15) Esempio. Quadrato magico latino di ordine n: matrice n n con i numeri {1, 2,..., n} in cui ogni riga e ogni colonna contiene ogni numero esattamente una volta. = le somme delle righe e delle colonne sono uguali a n(n + 1)/2, oppure, se si somma k Z ad ogni coefficiente della matrice, n(n + 1)/2 + nk. La tabella di moltiplicazione di un gruppo G di ordine n è di fatto un quadrato magico:... Un piano affine di ordine n genera n 1 quadrati magici n n: fissiamo un punto O del piano e due rette x e y distinte per O. Ci sono n = n 1 altre rette per O distinte, n rette parallele a x e n rette parallele a y. Sia z una delle n 1 rette per O diversa da x e y. Allora i fasci di rette parallele saranno x 1,..., x n, y 1,..., y n e z 1,..., z n. Fissato z, appunto, sia A la matrice n n con coefficienti a i,j determinati da a i,j = k x i y j z k. Quindi al variare di z nell insieme delle n 1 rette per O otteniamo n 1 quadrati magici (esercizio (10.19)). Quanti sono i quadrati magici di ordine n? C è anche la nozione di quadrati magici ortogonali che risolve alcuni interessanti problemi combinatorici e scientifici (esperimenti): Due quadrati magici a i,j e b i,j sono ortogonali se le coppie ordinate (a i,j, b i,j ) sono tutte distinte al variare di i, j. Problema dei 36 ufficiali (L. Euler, 1782): c è una delegazione di 36 ufficiali, ognuno dei quali appartiene ad uno dei 6 reggimenti (a, b, c, d, e, f). I 6 gradi sono (α, β, γ, δ, ɛ, ϕ), cioè colonnello, tenente-colonnello, maggiore, capitano, tenente, sottotenente. Possono formare un quadrato 6 6 in modo tale che ogni grado e reggimento è rappresentato in ogni riga e in ogni colonna (equivalentemente, in ogni riga e in ogni colonna non compaiono mai due reggimenti uguali o due gradi uguali)? (Quadrato greco-latino, perché gli elementi possono essere rappresentati da aα, aβ,... fɛ, fϕ) mag-3 D.L. Ferrario

70 Geometria e Topologia I 2006-mag-3 67 È possibile definire il rapporto (ratio) AC : AB di tre punti allineati in uno spazio affine A, B, C come quell unico ρ tale che AC = ρ AB. (15.16) Teorema (Talete ( )). Siano l i, i = 1, 2, 3 tre rette parallele distinte di un piano affine X, e r 1, r 2 altre due rette non parallele a l i, con intersezioni P i,j = r i l j. Allora P 1,1 P 1,3 : P 1,1 P 1,2 = P 2,1 P 2,3 : P 2,1 P 2,2 = ρ. Viceversa, se B è un punto di r 1 tale che allora B = P 1,3 r 2. P 1,1 B : P 1,1 P 1,2 = ρ, Dimostrazione. Esercizio (10.11) a pagina 72. D.L. Ferrario 2006-mag-3 67