Serie e Trasformata di Fourier

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1 Serie e Trasformata di Fourier Corso di Analisi Funzionale Prof. Paolo Nistri Cancelli, D Angelo, Giannetti

2 Polinomio di Fourier Si consideri la successione costituita dalle restrizioni delle funzioni all intervallo. Si verifica che è ortogonale in, munito del prodotto scalare canonico e ogni funzione ha norma Essa genera dunque un sottospazio di, costituito dalle funzioni: Gli elementi di tale sottospazio si chiamano polinomi trigonometrici di ordine n.

3 Polinomio di Fourier Un altra base di (costituita da funzioni a valori reali) è: Ogni è dunque esprimibile nella seguente forma: con: (sfruttando il teorema di Pitagora).

4 Polinomio di Fourier Lemma. Sia s.v. con prodotto scalare, un insieme di vettori che generano il sottospazio. Per ogni esiste un unico tale che è ortogonale a tutti i vettori di. si chiama proiezione ortogonale di su ed è dato da:

5 Polinomio di Fourier Se possiamo calcolare la sua proiezione ortogonale su, essa avrà l espressione appena vista con coefficienti: Il polinomio così ottenuto si chiama polinomio di Fourier di ordine della funzione : Utilizzando la base reale il polinomio di Fourier diventa:

6 Serie di Fourier con: La successione dei polinomi di Fourier di rappresenta la Serie di Fourier:

7 Serie di Fourier La disuguaglianza di Bessel diventa: Passando al limite per si ottiene:

8 Serie di Fourier: convergenza Problema: capire se, e in che senso, la serie di Fourier di un assegnata funzione converga alla funzione che l ha generata, ovvero se: (dove la norma è quella di ). Poiché : Quest ultima è vera sse sussiste l uguaglianza di Bessel!

9 Serie di Fourier: convergenza Quindi sse: Questa uguaglianza è l identità di Parseval. Problema: è interessante sapere se converge ad puntualmente, cioè per ogni, e sotto quali condizioni la convergenza della serie di Fourier è uniforme.

10 Covergenza puntuale Sia una funzione definita sull intervallo. Perché si possa sviluppare in serie di Fourier basta che gli integrali che definiscono i coefficienti siano convergenti. Dunque.

11 Covergenza puntuale Osservazione. Se la serie di Fourier di converge per ogni, essa converge per ogni reale, in quanto le somme parziali e la somma sono funzioni periodiche di periodo, e si ha che. Dunque se la assegnata non verifica la condizione non può aversi la convergenza nei punti e. La serie di Fourier inoltre non cambia se la viene alterata in un insieme di punti di misura nulla (nel senso di Lebesque). Segue che il comportamento puntuale della serie di Fourier di dipende dal comportamento locale di (in un intorno di ). (teorema di localizzazione)

12 Covergenza puntuale Per ogni si ha che la successione dei coefficienti di Fourier è infinitesima: come è evidente dalla disuguaglianza di Bessel, che afferma la convergenza della serie al primo membro e quindi l appartenenza delle successioni e a.

13 Covergenza puntuale Lemma di Riemann-Lebesque. Per ogni si ha che: Poiché: per e naturale si ottengono i coefficienti di Fourier. Anche per le funzioni di classe si ha la convergena 0 della successione dei coefficienti di Fourier.

14 Covergenza puntuale rect tri

15 Convergenza puntuale Sia, si ha che: Poiché:

16 Convergenza puntuale Con un cambiamento di variabili diventa: Introducendo il nucleo di Dirichlet, si ottiene:

17 Convergenza puntuale Il nucleo di Dirichlet gode delle seguenti proprietà: è una funzione pari; è periodica di periodo ; l integrale su un intervallo pari al periodo vale 1; ha il massimo in e vale si annulla nei punti

18 Convergenza puntuale Nucleo di Dirichlet

19 Convergenza puntuale Teorema di localizzazione di Riemann. Il comportamento nel punto della serie di Fourier di dipende esclusivamente dai valori assunti dalla funzione stessa nell intorno, con ad arbitrio. Per le proprietà del nucleo di Dirichlet, si può scrivere: e la relazione di limite diventa:

20 Convergenza puntuale ( * ) Quindi condizione sufficiente affichè la serie di Fourier converga, nel punto, alla somma,è che valga la relazione ( * ). Criterio di Dini (1). Se la funzione: è sommabile sull intervallo, allora vale la ( * ).

21 Convergenza puntuale Criterio di Dini (2). Se esistono finiti i limiti sinistro e destro: e se per sono verificate le condizioni: (Condizioni di Hölder) allora la serie di Fourier converge in alla somma:

22 Convergenza puntuale Osservazione. Le condizioni di Hölder sussistono, con, se la funzione è di classe a tratti sull intervallo ovvero se tale intervallo può essere scomposto in sottointervalli in cui è continua insieme alla sua derivata nel sottointervallo aperto e nei punti estremi esistono finiti i limiti destro e sinistro della e della sua derivata.

23 Convergenza totale Definizione. Sia una successione di funzioni continue sull intervallo [a,b]; diremo che la serie, cioè quella avente come somme parziali le funzioni è totalmente convergente se è convergente la serie a termini positivi Cancelli, D Angelo, Giannetti

24 Convergenza Totale Uniforme La convergenza totale implica quella uniforme, cioè la convergenza della norma infinito Valutando la norma delle differenze tra due somme parziali, siano e con, si ottiene L ultima quantità può rendersi arbitrariamente piccola scegliendo n abbastanza grande, poiché la serie a termini positivi verifica le condizioni di Cauchy in quanto convergente. Dunque la successione delle somme parziali verifica la condizione di Cauchy rispetto alla norma infinito e dunque converge uniformemente ad una funzione continua Cancelli, D Angelo, Giannetti 2

25 Criterio di Convergenza Uniforme Proposizione. Se è derivabile quasi ovunque con derivata prima continua a tratti, allora la sua serie di Fourier converge totalmente, dunque uniformemente alla funzione L ipotesi sulla derivata prima significa che esiste una scomposizione finita dell intervallo tale che, su ciascun intervallo aperto della scomposizione stessa, continua e nei punti di discontinuità è presente una discontinuità di prima specie è Cancelli, D Angelo, Giannetti 3

26 Convergenza secondo Cesaro Se è una successione numerica dotata di limite, allora la successione delle medie aritmetiche ammette lo stesso limite Operazione di regolarizzazione Conserva il comportamento del limite delle successioni regolari Cancelli, D Angelo, Giannetti 4

27 Polinomi di Fejér L idea di applicare il procedimento di Cesaro alle serie trigonometriche si deve al matematico ungherese Fejér. Sia dunque un assegnata funzione di classe, e sia il suo polinomio di Fourier di ordine n. è il polinomio di Fejér di di ordine n. Cancelli, D Angelo, Giannetti 5

28 Nucleo di Fejér È possibile definire, come nel caso del nucleo di Dirichlet, il nucleo di Fejér: con le relative proprietà: è una funzione pari non negativa è una funzione periodica di periodo Cancelli, D Angelo, Giannetti 6

29 Convergenza polinomio di Fejér Proposizione. Per ogni la successione dei relativi polinomi di Fejér converge uniformemente alla funzione Si osservi che la successione dei polinomi di Fejer non costituisce una serie, nel senso che il polinomio non si ottiene da mediante l aggiunta di un termine. Cancelli, D Angelo, Giannetti 7

30 Serie di Fourier: Convergenza in media quadratica Sia uno spazio vettoriale con prodotto scalare; se esiste una successione ortonormale in esso, per ogni, la disuguaglianza di Bessel Implica che la successione dei coefficienti di Fourier di rispetto alla successione appartiene allo spazio Cancelli, D Angelo, Giannetti 8

31 Teorema di Riesz-Fischer L appartenenza della successione allo spazio è necessaria affinché essa sia la successione dei coefficienti di Fourier di un elemento della spazio Se lo spazio è completo, dunque uno spazio di Hilbert vale anche il viceversa Teorema. Sia una successione ortonormale nello spazio di Hilbert e una successione di, cioè tali che esiste allora un elemento tale che, per ogni vale: e Cancelli, D Angelo, Giannetti 9

32 Successione ortonormale totale (massimale) Proposizione. Sia uno spazio vettoriale con prodotto scalare, una successione ortonormale in esso; per ogni fissato sono equivalenti le proposizioni i) ii) Se i) e ii) sono verificate per ogni,allora si ha iii) Se è completo (dunque uno spazio di Hilbert), allora iii) implica i) e ii) per ogni La successione è totale in Cancelli, D Angelo, Giannetti 10

33 Lemma, proposizione e corollario Lemma. La successione: (1) è totale in, munito del prodotto scalare di Proposizione. La successione (1) è totale nello spazio e dunque è una base dello stesso spazio. Corollario. Per ogni di vale l identità di Parseval Cancelli, D Angelo, Giannetti 11

34 Serie di Fourier: ulteriori risultati (1/2) Tutti i risultati stabiliti fino a questo punto si estendono a funzioni periodiche di periodo arbitrario T>0. Lo spazio, oppure ammette come base ortogonale la famiglia di funzioni a valori complessi Tali funzioni ammettono T come quadrato della norma Cancelli, D Angelo, Giannetti 12

35 Serie di Fourier: ulteriori risultati (2/2) La serie di Fourier di un assegnata funzione sommabile su [0,T], che si suppone prolungata con periodo T a tutta la retta reale, si scrive in una delle due forme: dove La serie di Fourier può essere espressa anche mettendo in evidenza lo spettro di ampiezza e di fase: Cancelli, D Angelo, Giannetti 13

36 Effetto Gibbs (1/6) Cancelli, D Angelo, Giannetti 14

37 Effetto Gibbs (2/6) Sostituendo il generico coefficiente è possibile riscrivere la serie di Fourier troncata all n termine: cioè: moltiplicando per moltiplicatore e denominatore: Cancelli, D Angelo, Giannetti 15

38 Effetto Gibbs (3/6) Sviluppando l integrale: Questa funzione ha massimo in Cancelli, D Angelo, Giannetti 16

39 Effetto Gibbs (4/6) Risolvendo cioè: Cancelli, D Angelo, Giannetti 17

40 Effetto Gibbs (5/6) Cancelli, D Angelo, Giannetti 18

41 Effetto Gibbs (6/6) Cancelli, D Angelo, Giannetti 19