UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO. La convergenza delle serie di Fourier: proprietà classiche e moderne. Luca Brandolini

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO La convergenza delle serie di Fourier: proprietà classiche e moderne Luca Brandolini

2 Analisi di Fourier Le serie (e più in generale) l analisi di Fourier sono uno strumento matematico utilizzato molti contesti diversi: Risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali Filtraggio di segnali e/o immagini Compressione di segnali e/o immagini L idea fondamentale consiste nel tentare di scrivere un oggetto complesso come somma di oggetti più semplici e di ricostruire poi le proprietà dell oggetto composito a partire dalla conoscenza delle proprietà degli oggetti semplici. Uno dei problemi centrali dell analisi di Fourier, storicamente il primo, è quello di determinare sotto quali condizioni una funzione periodica possa essere espressa come la somma (eventualmente infinita) di seni e coseni, le funzioni periodiche per antonomasia, ed in quale senso la somma rappresenti la funzione. 2

3 Preludio 3

4 Serie di Fourier 4

5 L onda quadra Consideriamo la funzione onda quadra di periodo 2π 5

6 L onda quadra y x 6

7 L onda quadra y x 7

8 Convergenza della serie di Fourier Questo semplice esempio mostra due fenomeni: La convergenza nell intorno di punti regolari Il fenomeno di Gibbs nei pressi dei punti di discontinuità 8

9 Convergenza nei punti regolari La convergenza della serie di Fourier per funzioni regolari in tutti i punti non è difficile da dimostrare. Se una funzione è regolare solo nell intorno di un punto si può usare il principio di localizzazione: Se f(x) si annulla in un intervallo e allora la serie di Fourier converge a zero in ogni punto dell intervallo in cui la funzione è nulla. 9

10 Il fenomeno di Gibb s Questo fenomeno è stato osservato nel 1898 da Josiah Willard Gibbs (ingegnere, fisico e chimico statunitense) in risposta ad una breve nota di Albert Michelson su Nature Nel caso della funzione onda quadra se si indica con S N la somma dei primi N termini della serie di Fourier allora per N grande S N (π/2-π/n)>1.17 e S N (π/2+ π/n)<

11 Convergenza delle serie di Fourier 11

12 Nucleo di Dirichlet y x 12

13 Sviluppi successivi Il metodo di Dirichlet è stato il punto di partenza per altri criteri di convergenza (Jordan, Dini, Legesgue,..). Nel 1876 du Bois-Reymond ha trovato un esempio di funzione continua la cui serie di Fourier non converge in un punto. Nel corso del XX secolo la nascita dell integrale di Lebesgue e delle tecniche analitiche moderne hanno portato a risultati come quello di Kolmogorov ( ) e di Carleson ( ) Hunt. 13

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15 Serie in forma complessa 15

16 Serie di Fourier multiple 16

17 Compressione di immagini Serie di Fourier doppie (più precisamente la versione discreta di tale sviluppo) vengono utilizzate nella compressione delle immagini Accanto una immagine non compressa (600x600 = circa 1MB) 17

18 Compressione di immagini Accanto un immagine compressa in formato JPEG (circa 70KB). La compressione avviene dividendo l immagine in quadrati di 8x8 pixel. Ognuno di questi quadrati viene pensato come una funzione periodica della quale vengono calcolati i coefficienti di Fourier. La compressione avviene trascurando i coefficienti più piccoli. 18

19 Compressione di immagini 19

20 JPEG e fenomeno di Gibbs 20

21 Un esempio di serie di Fourier doppie 21

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31 Il teorema di Fejer 31

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33 Medie di Bochner-Riesz 33

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36 Un contesto più generale 36

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