A.A. 2015/16 REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI

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1 A.A. 2015/16 ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE 12 crediti, I semestre Docenti: Prof. Gennaro Infante per i primi 6 crediti ed io per i rimanenti 6 crediti. REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI IMPORTANTE: Dove non specificato altrimenti, tutti i risultati riportati sono stati dimostrati (completamente o dando l idea della dimostrazione) PRIMA PARTE: LEZIONI TENUTE DAL PROF. INFANTE In questa prima parte del corso verranno dati prima i risultati fondamentali inerenti la misura di Peano-Jordan e quelli della misura di Lebesgue. Si procederà quindi allo studio dei risultati fondamentali dell integrale di Lebesgue, fino al Teorema di Fubini sugli integrali iterati. Lun , 2 ore (Tot. 2 ore) Presentazione del Corso. Convergenza puntuale ed uniforme di successioni di funzioni. Mar , 2ore (Tot.4ore) Intervalli e plurintervalli superiormente semiaperti. Misura interna ed esterna secondopeano-jordan. Mer , 2 ore (Tot. 6 ore) Integrazione secondo Riemann in R^n. Ven , 2 ore (Tot. 8 ore) Iperpiani, griglie ed intervalli in R^n. Misura dei compatti e degli aperti di R^n. Proprieta' di monotonia della misura per gli aperti ed i compatti. Lemma sulla separazione degli intorni. Lun , 2 ore (Tot. 10 ore) Subadditivita' finita sugli aperti. Subadditivita' numerabile sugli aperti. Superaddivitita' finita sui compatti. Misura esterna ed interna per insiemi limitati secondo Lebesgue. Misura di Lebesgue in R^n. Caratterizzazione degli insiemi misurabili Mar , 2 ore (Tot. 12 ore) Proprieta' della misura interna ed esterna. Misura di Lebesgue per insiemi illimitati. Mer , 2 ore (Tot. 14 ore). Numerabile additivita' per insiemi illimitati. L'insieme di Dirichlet

2 Mar , 2 ore (Tot. 16 ore). Successioni monotone di insiemi. L'insieme di Dirichlet. L'insieme di Cantor generalizzato. Mer , 2 ore (Tot. 18 ore). Misurabilita' di insiemi illimitati mediante aperti e compatti. L'insieme di Vitali Ven , 2 ore (Tot. 20 ore) Funzioni misurabili. Funzioni semicontinue. Lun , 2 ore (Tot. 22 ore) Funzioni semplici Approssimazione di una funzione misurabile mediante funzioni semplici Mar , 2 ore (Tot. 24 ore) Integrale di Lebesgue per funzioni semplici Integrale di Lebesgue per funzioni misurabili non-negative Proprieta' dell'integrale di Lebesgue Mer , 2 ore (Tot. 26 ore) Teorema di Beppo Levi di convergenza monotona. Lemma di Fatou Alcune conseguenze del Teorema di Beppo Levi Ven , 2 ore (Tot. 28 ore) Osservazioni sugli insiemi di misura nulla Confronto fra l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue nel caso continuo Mar , 2 ore (Tot. 30 ore) Criterio di Vitali-Lebesgue per l'integrazione secondo Riemann Sommabilita' di funzioni di segno variabile Assoluta continuita' dell'integrale di Lebesgue Mer , 2 ore (Tot. 32 ore) Teorema di convergenza dominata di Lebesgue Integrabilita di funzioni non sommabili di segno variabile Ven , 2 ore (Tot. 34 ore) Misura negli spazi prodotto Misura dei prodotti cartesiani Lun , 2 ore (Tot. 36 ore) La misurabilita' del sottografico di una funzione misurabile

3 Mar , 2 ore (Tot. 38 ore) Sezioni di insiemi misurabili Teorema sulle sezioni di insiemi misurabili Mer , 2 ore (Tot. 40 ore) Relazione fra la misurabilita' di una funzione e la misurabilita' del suo sottografico Relazione fra gli integrali di Lebesgue e di Riemann Ven , 2 ore (Tot. 42 ore) Domini normali Lun , 2 ore (Tot. 44 ore) Teorema di Fubini Mar , 2 ore (Tot. 46 ore) Uso del teorema di Fubini nel caso di domini normali Funzioni a variazione limitata Teorema di decomposizione di Jordan Mer , 1 ora (Tot. 47 ore) Teorema di Fubini per la derivabilità di una serie di funzioni monotone Ven , 2 ore (Tot. 49 ore) Seminario sulla costruzione di funzioni non essenzialmente integrabili secondo Riemann tenuto dallo studente Vincenzo Martello DAL 24 NOVEMBRE INIZIA LA SECONDA PARTE DEL CORSO TENUTA DA ME In questa seconda parte del corso prima si dimostrerà il teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue e poi si studieranno gli spazi L p delle funzioni a p-esima potenza sommabile Lun , (tot. 2 ore) Teorema 1: Disuguaglianza di Chebychev Teorema 2 sulla Misura di densità f rispetto ad una misura Teorema 3 sull assoluta continuità dell integrale di Lebesgue Teorema 4 su continuità ed integrabilità degli integrali dipendenti da un parametro Mar , (tot. 4 ore) Teo 5 di Lebesgue: una funzione monotona è derivabile con derivata finita q.o. (solo enunciato) Teo 6 sull integrale indefinito: L integrale indefinito di una funzione integrabile è uniformemente continuo ed a variazione limitata che uguaglia l integrale del modulo della funzione (per la

4 dimostrazione si usa il fatto che la convergenza integrale implica la convergenza in misura (esercizio usare la disuguaglianza di Chebychev -) Mer , (tot. 6 ore) Teo 7 di Riesz: Ogni successione convergente in misura ammette una sottosuccessione convergente q.o. Teorema 8 sulla derivabilità degli insiemi misurabili Teorema 9: l integrale indefinito è una primitiva q.o. della funzione integranda Ven , (tot. 8 ore) Funzioni assolutamente continue. Teorema 10: L integrale indefinito di una funzione integrabile è assolutamente continuo. Controesempio di funzione non assolutamente continua: la funzione di Lebesgue. Teorema 11: costanza delle funzioni assolutamente continue con derivata nulla q.o. Mar , (tot. 10 ore) Teorema 12: Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Teorema 13: Le funzioni assolutamente continue sono tutte e sole gli integrali indefiniti di funzioni integrabili. Def. di liminf e limsup destri e sinistri. Definizione delle 4 derivate del Dini Ven , (tot. 12 ore) Teorema 14 Funzione di Weierstrass continua sempre e non derivabile mai Dimostrazione facile dell irrazionalità di π di Niven Teorema 15 di Eulero 1 = π2 con la dimostrazione di Eulero n 2 6 Lun (tot. 14 ore) Lezione non tenuta per assenza studenti per ponte dell Immacolata Mar , (tot. 16 ore) Lezione non tenuta per Festa dell Immacolata Ven , , (tot. 18 ore) Definizione di ricoprimento di Vitali Teoema 16 Teorema del ricoprimento di Vitali Lun , , (tot. 20 ore) Teoremi 17 e 18 sugli Integrali dipendenti da un parametro Teorema 19 di Lebesgue: una funzione monotona è derivabile con derivata finita q.o. Mar , (tot. 22 ore)

5 Richiami di analisi funzionale: spazi metrici, topologia indotta da una metrica, palle aperte e chiuse. Metriche equivalenti Spazi normati e di Banach. di spazi normati (funzioni limitate e uniformemente continue definite su un aperto, funzioni continue a supporto compatto) Teorema (senza dimostrazione) A dimensione finita tutte le norme sono equivalenti Ven , (tot. 24 ore) Funzionali lineari limitati Teorema 20: Sia f un funzionale lineare su uno spazio normato X: Allora f è limitato sse è lipschitziano sse è uniformemente continuo sse è continuo sse è continuo in un punto Teorema 21: Il duale X* di uno spazio normato è sempre di Banach.