COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA DI BASE. Prova scritta del 26 gennaio 2005

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1 Prova scritta del 26 gennaio 2005 Esercizio 1. Posto B = x R 2 : x 2 2}, sia f n } una successione di funzioni (misurabili e) integrabili in B tali che f n f q.o. in B e, per ogni n N, f n (x) 2 x 3 per q.o. x B, f n (x)dx 7. Dire perché la funzione limite f è misurabile e mostrare che essa è anche sommabile in B. B Esercizio 2. Si consideri il seguente sottoinsieme dello spazio H = L 2 ( π, π) X = u H : u(x) = a cos x + b sin x, x ( π, π), per una coppia (a, b) R 2 } e la funzione 1 if π x < 0 f(x) = 0 if x = 0 1 if 0 < χ π. a) Dire perché f H e perché X è un sottospazio di H. b) X è chiuso in H? c) Trovare la proiezione di f su X. Esercizio 3. Posto, per x R, u(x) = max 1, minx, 1} } e f n (x) = x 0 (u(t)) n dt, n N, a) studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione f n in R; b) per n fissato in N, trovare k 0, 1, 2,...} tale che f n C k (R) e f n C k+1 (R). c) Che cosa si può dire della convergenza della successione delle derivate f n? 1

2 Prova scritta del 18 febbraio 2005 Esercizio 1. Posto, per k N, A k = x = (x 1, x 2 ) R 2 : x 1 k 1, x 2 e x 1 }, si consideri la seguente serie di funzioni in R 2 u k (x), dove u k (x) := x 1 x 2 χ Ak (x) k=1 e, con notazione standard, χ A denota la funzione caratteristica di un insieme A R 2. a) Si dica perché la serie di funzioni converge q.o. ad una funzione misurabile f : R 2 R. b) Si controlli se f è sommabile e si calcoli la somma (finita o infinita) della serie numerica u k (x) dx. R 2 k=1 c) Si determini per quali α R la serie di funzioni x 1 α u k (x) converge uniformemente in R 2. k=1 Esercizio 2. Si consideri lo spazio vettoriale E = u C 0 ([0, π]) : u(0) = 0} munito della norma u = max u(t) : t [0, π]}, u E. a) Dire perché lo spazio E è completo, cioè è uno spazio di Banach. b) Verificare che u a := max 0 t π definiscono altre due norme in E. u(t) 1 + sin t, u b := max t u(t), u E, 0 t π c) Provare che a è equivalente a e che invece b non è equivalente a. d) Controllare infine che lo spazio E munito della norma b non è completo. 2

3 Prova scritta del 5 luglio 2005 Esercizio 1. Posto, per n N (con N che qui parte da 1) e x R \ 0}, f n (x) := max 0, nx 1/2 1 }, f n (0) := 0, si consideri la seguente serie di funzioni in R f n (x). a) Si studi la convergenza q.o. della serie di funzioni in R, indicando con s la funzione misurabile somma della serie. b) Determinare eventuali sottoinsiemi misurabili A R sui quali f n converge uniformente a s. c) Controllare la sommabilità di f n in R qualunque sia n N. d) Studiare il carattere della serie numerica f n (x) dx. R e) Valutare l integrabilità e l eventuale sommabilità di s in R. Esercizio 2. Si consideri la forma a(x, y) := 2 n x n y n, che associa ad ogni coppia di successioni reali x = (x 1, x 2,...) e y = (y 1, y 2,...) tali che la serie 2 n x n y n sia convergente, un numero reale. Si chiede a) se la forma a(, ) definisce un prodotto scalare in un certo spazio vettoriale reale X; b) se tale spazio X ha qualche relazione con lo spazio l 2 a voi noto. 3

4 Prova scritta del 27 settembre 2005 Esercizio 1. Ci interessiamo a successioni di funzioni, definite su tutto l asse reale, che convergono o non convergono puntualmente alla funzione identicamente nulla u(x) := 0 x R. (i) Per ognuna delle seguenti successioni di funzioni u n (x)}, precisate, per x R e n N, dalle formule seguenti 1. u n (x) = xe n x ; 0 se x = 0 2. u n (x) = 1/(nx) se x 0 ; 3. u n (x) = (max2 x + 5, 0}) n ; nx se 0 < x 1/n 4. u n (x) = 0 altrove 5. u n (x) = n arctan(x 4) ; 3 se x + n 7 6. u n (x) = 0 se x + n > 7 ; ; dire, motivando le risposte, se a) u n converge uniformente a u ; b) u n converge puntualmente ma non uniformente a u ; c) u n non converge puntualmente a u. (ii) Se f n } è una successione nella condizione a) e g n } è una successione nella condizione b), possiamo concludere che la successione prodotto f n g n } converge uniformemente a u? Esercizio 2. tale che Nello spazio euclideo R 3 sia E n } una successione di insiemi misurabili m(e n ) = 5, con m che denota la misura tridimensionale di Lebesgue. Posto F k = n=k E n, provare che l insieme A = x R 3 : x F k per tutti i k 125} è misurabile e calcolarne la misura. Esercizio 3. Sviluppare in serie di Fourier nello spazio L 2 ( π, π) la funzione f(x) = x rispetto al sistema ortonormale completo (2π) 1/2, π 1/2 sin(nx), π 1/2 cos(nx)}. 4

5 Prova scritta del 28 ottobre 2005 Esercizio 1. Dare un esempio di operatore lineare e continuo T : R 3 R 2 tale che la sua norma T L(R 3 ;R 2 ) sia esattamente uguale a 5. Si chiede naturalmente di motivare per bene la risposta data. Esercizio 2. Nello spazio euclideo R N sia Ω un sottoinsieme misurabile e f : Ω R una funzione sommabile in Ω. Dimostrare che la funzione h definita da h(x) = 3 1 f(x), x Ω, è sommabile in Ω se e solo se Ω ha misura finita. Aggiungo qui un esercizio assegnato in uno scrittino di un (analogo) appello in data 19 novembre 2004 Esercizio 3. Posto X = C 0 ([0, 1]), sia T l applicazione definita da T : X X, (T u)(t) := 2u(t) sinh(u(t)), u X, t [0, 1]. (a) L operatore T è lineare? (b) T è continuo in 0 (elemento nullo di X)? (c) T mappa limitati di X in limitati di X? (d) Esiste una costante reale L > 0 tale che T u X L u X per ogni u X? (e) L operatore T è iniettivo? 5

6 Prova scritta del 9 dicembre 2005 Esercizio 1. Scrivere un esempio di serie di potenze reale del tipo an (x x 0 ) n che converga uniformemente nell intervallo [7, 12) e al contempo non converga per x [3, 7). Esercizio 2. Posto e n se x < n f n (x) = n2 x 2 0 se x n, discutere la convergenza puntuale ed uniforme della serie di funzioni f n in R. Esercizio 3. Sia X l insieme delle (classi di) funzioni f : (1, + ) R misurabili (e tra loro uguali q.o.) tali che x f(x) 2 dx < +. (1,+ ) 1. Mostrare che X è un sottoinsieme di L 2 (1, + ). 2. Controllare che X è un sottospazio di L 2 (1, + ). 3. Provare che X è denso in L 2 (1, + ). 4. Posto f, g X = (1,+ ) provare che, X è un prodotto scalare in X. xf(x)g(x)dx f, g X, 5. Dimostrare che X è completo, cioè che X è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare di cui sopra (suggerimento: utilizzare la completezza di L 2 (1, + )). 6. Dare un esempio di operatore T lineare e continuo da L 2 (1, + ) nello spazio X (munito della norma associata al prodotto scalare, X ), operatore che abbia norma non nulla. 6

7 Prova scritta del 26 gennaio 2006 Esercizio 1. Posto, per x R e n N, 2 n se 2 n < x < 2 n+1 f n (x) = 0 altrove, si risponda alle seguenti domande. a) Perché le funzioni f n sono (misurabili e) integrabili in R? b) Studiare la convergenza q.o. della successione f n } in R. c) È possibile applicare alla successione f n} i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale? Se si, quali? Se no, perché? Esercizio 2. Si consideri il sottoinsieme di R 3 X = (x, y, z) R 3 : x + 2y = z}. a) Mostrare che X è un sottospazio di R 3. È chiuso? b) Individuare ed esplicitare il sottospazio Y = X. c) Calcolare la proiezione del vettore (1, 5/2, 0) su X. d) Calcolare la proiezione del vettore (1, 5/2, 0) su Y. Esercizio 3. Sia f : R 2 R una funzione continua tale che f(0, 0) = 0 e inoltre Si ponga inoltre, per (x, y) R 2 e n N, lim f(x, y) = 0. (x,y) 2 + f n (x, y) = f(nx, ny) e g n (x, y) = (x y)e n y x f n (x, y). a) Dimostrare che f n 0 puntualmente in R 2. b) Provare che se f non è identicamente nulla la convergenza f n 0 non è mai uniforme in R 2. c) Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione g n } in R 2. 7

8 Prova scritta del 27 febbraio 2006 Esercizio 1. Siano A = (0, + ), B = A \ N, f(x) = 1/x per x A. Per ognuno dei seguenti punti, fornire un esempio di successione di funzioni f n } n N tale che le f n : A R siano tutte misurabili e inoltre a) f n f uniformemente in A; b) f n f uniformemente in B ma f n f uniformemente in A; c) f n f puntualmente ma non uniformemente in A; d) f n f puntualmente in B ma non in A. Esercizio 2. Si consideri il sottoinsieme di R 2 E = (x, y) R 2 : x min 1, 2 }}. 1 + y 2 Sia inoltre u n } n N una successione di funzioni misurabili che converge q.o. in E ad una funzione u. a) Provare che E è misurabile secondo Lebesgue e calcolarne la misura. b) Si chiede se arctan u n arctan u q.o. in E. c) Dire, motivando la risposta, se arctan u n arctan u in L 1 (E). d) Dire, motivando la risposta, se arctan u n arctan u in L (E). Esercizio 3. Indicati con l 1 lo spazio delle successioni reali x = (x 1, x 2,...) tali che la serie x n sia convergente e con l lo spazio delle successioni reali y = (y 1, y 2,...) limitate, tali spazi siano muniti delle rispettive norme x 1 = x n e y = sup y n. n 1 Si consideri l applicazione T : x = (x 1, x 2,...) y = (y 1, y 2,...), con y n = a) Controllare che T è ben definita da l 1 in l. b) Mostrare che T : l 1 l è un operatore linerare e continuo e calcolarne la norma. c) L operatore T : l 1 l è iniettivo? è suriettivo? 2n k=1 x k. 8

9 Prova scritta del 22 giugno 2006 Esercizio 1. Si consideri, al variare di λ R, la seguente serie di potenze ( (sin λ) n 1 cos λ ) (x + 2λ) n. n a) Per ogni λ R determinare centro e raggio di convergenza; b) per λ = π/4 individuare con precisione l insieme di convergenza x R : la serie (sin λ)n ( 1 cos λ n) (x + 2λ) n converge}, motivando la risposta data. Esercizio 2. il limite Sia f L 1 (0, + ) C 1 ([0, + )). Calcolare, giustificando la risposta, n+π lim f(x)dx. n n/2 Esercizio 3. Fornire un esempio di operatore lineare e continuo T : R L 2 (R) con norma T L(R;L 2 (R)) esattamente uguale a 1. 9

10 Prova scritta del 1 agosto 2006 Esercizio 1. serie Discutere, al variare di α R, la convegenza puntuale e uniforme della x n α( 1 + nx2), x R. Esercizio 2. Siano Ω un aperto di R 3 con misura di Lebesgue m(ω) < + e f : Ω R una funzione misurabile e tale che f(x) 2 dm < +. Ω Posto A n = x Ω : f(x) n} per ogni n N, dimostrare la convergenza della serie m(a n ). Esercizio 3. che la serie Sia l 2 lo spazio di Hilbert delle successioni reali x = (x 1, x 2,...) tali x n 2 converga, munito dell usuale prodotto scalare. Per λ fissato in R, si consideri l applicazione T λ : l 2 R definita da 85 T λ (x) = λ n x n. n=3 a) Valutare, in dipendenza del parametro λ R, se T λ (l 2 ) giustificando per bene le risposte date. b) Per i valori λ per i quali T λ (l 2 ), calcolare T λ (l 2 ). 10

11 Prova scritta del 27 settembre 2006 Esercizio 1. Trovare il raggio di convergenza della serie di potenze reale n=0 (2 arctan n) n n n + 5 cos ( π 2 (n + 1) ) x n. Discutere poi la convergenza o meno della serie nei due estremi dell intervallo di convergenza. Esercizio 2. Sia f : [0, 1] R una funzione continua e non decrescente. Calcolare, motivando adeguatamente la risposta data, il lim n 1 0 f ( nx + 1 ) dx. nx + 2 Esercizio 3. Sviluppare in serie di Fourier la funzione periodica dispari che coincide con x 2 per x [0, π) e vale 0 per x = π, rispetto al sistema ortonormale completo (2π) 1/2, π 1/2 sin(nx), π 1/2 cos(nx)}. 11

12 Prova scritta del 22 dicembre 2006 Esercizio 1. Sviluppare cos x in una serie di potenze reale di centro π/4. Una volta scritta la serie, calcolarne il raggio di convergenza. Esercizio 2. Posto, per j N e x R, j se 2 j k x 2 j (k + 1) f j,k (x) = 0 altrove, k = 0, 1,..., 2 j 1, ordinare le f j,k in una successione g n } in questo modo g 1 = f 1,0, g 2 = f 1,1, g 3 = f 2,0, g 4 = f 2,1, g 5 = f 2,2, g 6 = f 3,0, g 7 = f 3,1, g 8 = f 3,2, g 9 = f 3,3, g 10 = f 4,0, ecc. a) Studiare la convergenza puntuale e uniforme di g n su R. b) Le funzioni g n sono integrabili in R? c) È possibile applicare alla successione g n} qualche teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale? Motivare adeguatamente le risposte. Esercizio 3. che la serie Sia l 1 lo spazio di Banach delle successioni reali x = (x 1, x 2,...) tali x n converga e la sua somma fornisca la norma dell elemento x. Proporre un esempio di due sottospazi X, Y di l 1, che siano diversi da l 1 e dal sottospazio costituito dal solo vettore nullo, tali che a) X sia un chiuso di l 1 ; b) Y sia denso in l 1. 12