ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE. T(f) = g(x)f(x)dx

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1 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE.. Esercizi svolti.. Operatori lineari Esercizio.. Si consideri il funzionale T : C(,) R, dove g è la funzione g(x) = T(f) = g(x)f(x) dx, { se < x se < x < () Dimostrare che T è un operatore continuo. La linearità è ovvia. Per dimostrare che T è continuo basta mostrare che è limitato. Sia f C(, ) Tf = g(x)f(x)dx sup f(x) x [,] = 2 f. g(x) dx abbiamo dimostrato che T è limitato e vale la seguente stima T = sup f C,f Tf f 2. 2) Per calcolare T consideriamo la successione se x < n, f n (x) = nx se n x n, se n < x. Si dimostra facilmente che Quindi T = 2. f n =, Tf n = 2 n, Tf n lim = 2. n f n

2 2 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Esercizio.2. Si consideri l operatore LetT : L 2 (,) L 2 (,) be defined as T : L 2 (,) L 2 (,), dove g è la funzione (Tf)(x) = g(x)f(x), g(x) = { x se < x 2, se 2 < x <. () Dimostrare che T è un operatore continuo. ) La linearità è ovvia. Per dimostrare che T è continuo basta mostrare che è limitato. Sia f L 2 (,), allora Tf 2 2 = = 4 2 g(x) 2 f(x) 2 dx 4 f 2 2, x 2 f(x) 2 dx f(x) 2 dx abbiamo dimostrato che T è limitato e vale la seguente stima T = sup f L 2,f Tf 2 f ) Per calcolare T consideriamo la successione { n se f n (x) = 2 n x 2, otherwise. Si dimostra facilmente che Tf n 2 2 = n = n n ( 2 3 x 2 dx ( 2 ) ) 3. n Quindi Tf n 2 2 lim n f n 2 2 = n 3 ( 2 3 ( 2 ) ) 3 = n 4, da cui segue che T = 2.

3 Esercizio.3. Si consideri l operatore ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 3 T : L (,) L (,), (Tf)(x) = e t f(t)dt. () Dimostrare che T è un operatore continuo. ) La linearità è ovvia. Per dimostrare che T è continuo basta mostrare che è limitato. Sia f L (,), allora Tf = sup x [,] = sup x [,] (Tf)(x) e t f(t)dt e t f(t) dt e f. Abbiamo dimostrato che T è limitato e vale la seguente stima T = sup f L,f Tf f e. 2) Per calcolare T consideriamo la successione { n if f n (x) = n x, altrimenti. Si dimostra facilmente Inoltre si ha che Tf n (x) = f n = n ndx =. { n e t dt se x ( n,), n altrimenti. e quindi Quindi da cui T = e. Tf n = n n e t dt ( ) n e e n. Tf n ( ) lim = lim n f n n e e n = e, n

4 4 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Esercizio.4. Si consideri l operatore T : L (R) R T(f) = arctan(x) f(x) dx. () Dimostrare che T è un operatore continuo. R ) La linearità è ovvia. Per dimostrare che T è continuo basta mostrare che è limitato. Sia f L (R), allora Tf = arctan(x)f(x) dx R π f(x) dx 2 R = π 2 f. abbiamo dimostrato che T è limitato e vale la seguente stima T = sup f L,f Tf f π 2. 2) Per calcolare T consideriamo la successione Si ha che f n = Tf n = Si dimostra facilmente che da cui T = π 2. R f n (x) = χ [n,n+] (x). arctan(x)f n (x)dx = Tf n lim = lim n f n n n+ n n+ n arctan(x) dx arctan(x)dx = π 2. Esercizio.5. Si consideri l operatore T : l 2 l 2, (Tx) n = n +n 2x n, con x = (x n ) n. () Dimostrare che T è un operatore continuo.

5 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 5 ) La linearità è ovvia. Per dimostrare che T è continuo basta mostrare che è limitato. Sia x l 2, allora Tx 2 l = (Tx) 2 n 2 n= n 2 = (+n 2 ) 2 x n 2 n= x n 2 = x 2 l. 4 2 poiché sup n n N +n 2 = 2. Then, we have proved that T is a bounded linear operator and that n= T = sup x l 2,x Tx l 2 x l ) Per calcolare T consideriamo la successione e = (e n) n N = (δ n ) n N. Abbiamo che Te l 2 e = l 2 2. e quindi T = 2.

6 6 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE.2. Esercizi. Esercizio.6. T : L (,) L (,), (Tf)(x) = f(x). x () Dimostrare che T è un operatore continuo. Esercizio.7. Si consideri l operatore T : L 2 (,) L (,), (Tf)(x) = f(x). () Dimostrare che T è un operatore continuo. x 4 Esercizio.8. Si consideri l operatore T : l 2 l 2, (Tx) n = n +n x n, con x = (x n ) n. () Dimostrare che T è un operatore continuo. Esercizio.9. Si consideri l operatore dove g è la funzione g(x) = T : L 2 (,) L 2 (,), (Tf)(x) = g(x)f(x), { e x se < x 2, se 2 < x <. () Dimostrare che T e un operatore continuo. Esercizio.. Si consideri il funzionale T : C([,]) R, dove g è la funzione (Tf)(x) = g(x) = g(x)f(x) dx, { se x < 3 se 3 x <. () Dimostrare che T è un funzionale continuo.

7 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 7 Esercizio.. Si consideri il funzionale T : L (R) R, x 4 Tf = +x 4f(x)dx. () Dimostrare che T e un operatore continuo. R Esercizio.2. Si consideri l operatore T : L (,) L (,), (Tf)(x) = sin(y)f(y)dy. () Dimostrare che T e un operatore continuo. Esercizio.3. Si consideri l operatore dove g è la funzione g(x) = T : L (,) L (,) (Tf)(x) = g(x)f(x), { sin(2πx) se < x 2, se 2 < x <. () Dimostrare che T è un operatore continuo. Esercizio.4. Si consideri l operatore T : L (,) L (,), (Tf)(x) = g(x)f(x), dove g è la funzione ( ) g(x) = x 2 x. () Dimostrare che T è un operatore continuo.

8 8 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 2.. Esercizi risolti. 2. Convergenze deboli Esercizio 2.. Si consideri la successione di funzioni {f n } n, con f n (x) = sin(nx), x (,). () Dimostrare che {f n } n è uniformemente limitata in L p (,) per ogni p [, ]. (2) Dimostrare che f n converge debole a in L p (,) per ogni p [, ]. (3) Dimostrare che f n converge debole a in L (,). () Sia p [, ), allora f n p p = =, f n (x) p dx sin(nx) dx dove si è usato che sin(y) per ogni y R. (2) Per dimostrare che f n in L p (,) bisogna mostrare che per ogni g L q (,) f n (x)g(x)dx, n. Sia p (, ) e consideriamo prima funzioni test del tipo g(x) = χ [a,b] (x) con a,b [,] tali che a < b. Si ha che b sin(nx) dx = n cos(nb) cos(na) a 2, n. n In particolare, questo implica che la convergenza vale per ogni combinazione lineare di funzioni caratteristiche di intervalli. Poichè le funzioni a gradino sono dense in L q (,), per ogni g L q (,) si può trovare una sequenza di funzioni a gradino g k tali che g k g forte in L q (,). Quindi f n (x)g(x)dx f n (x) g(x) g k (x) dx+ f n (x)g k (x)dx f n p g g k q + f n (x)g k (x)dx C g g k q + f n (x)g k (x)dx = (I)+(II) Sia ε >, allora esiste k = k(ε) tale che (I) ε 2, quindi per k fissato esiste n = n(ε,k) = n(ε) tale che (II) ε 2. Quindi, per ogni g Lq (,) si ha che f n (x)g(x)dx, n.

9 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 9 Infine, il caso p = segue dal fatto che poiché (,) ha misura finita si ha che L (,T) L q (,). (3) Si ricorda che (L (,)) = L (,). Per dimostrare che f n in L (,) bisogna dimostrare che per ogni g L (,) f n (x)g(x), n. Poiché L (,) è separabile e le funzioni a gradino sono un insieme denso, ragionando come nel punto (2) si dimostra che f n in L (,). Esercizio 2.2. Sia f : R R la funzione periodica di periodo 2 tale che { se x < f(x) = se x <. Si consideri la successione {f n } n, dove f n (x) = f(nx), x (,). () Determinare per quali p [, ) la funzione f L p loc (R). (2) Calcolare la media di f, denotata con f, sul periodo. (3) Dimostrare che {f n } n è uniformemente limitata in L p (,). (4) Dimostrare che f n converge debole a f in L p (,). (5) Dimostrare che f n non converge forte a f in L p (,). () Sia p [, ). Poiché f è periodica di periodo 2, si ha che f p è anche periodo periodica con periodo al massimo 2. Per dimostrare che f L p loc, basta quindi mostrare che f L p (,). Allora, f p p = f(x) p dx = Quindi f L p loc (R) per ogni p [, ). (2) La media di f sul periodo è definita come f = 2 f(x)dx dx = 2. Quindi, f = dx dx =. 2 (3) Sia p come nel punto (), quindi p [, ). Calcolando la norma L p di f n si ha Sia k N tale che f n p p = f(nx) p dx = n n 2k n < 2(k +), f(y) dy.

10 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE quindi 2(i+) f n p p = k f(x) p dx+ f(x) p dx n i= 2i n 2k ( ) 3 f(x) p dx (4) Sia p (, ) e siano a < b < e consideriamo come funzione test in L q (,) and f(x) = χ [a,b] (x). Dimostriamo prima che b f n (x)dx, n. Siano l,k N tali che Quindi, b a = n a n (k )T na kt lt nb (l+)t. f n (x)dx = n 2k na Poiché f =, si ha che nb na f(x)dx+ n b a f(x)dx l 2(i+) i=k 2i f n (x)dx 2 n T f(x)dx+ n f(x) dx. Poiché, f L p loc (R) e Lp loc (R) L loc (R) si ha che b f n (x)dx n. a nb 2l f(x)dx In particolare, questo implica che la convergenza vale per ogni combinazione lineare di funzioni caratteristiche di intervalli. Poichè le funzioni a gradino sono dense in L q (,), per ogni g L q (,) si può trovare una sequenza di funzioni a gradino g k tali che g k g forte in L q (,). Quindi f n (x)g(x)dx f n (x) g(x) g k (x) dx+ f n (x)g k (x)dx f n p g g k q + f n (x)g k (x)dx C g g k q + f n (x)g k (x)dx = (I)+(II) Sia ε >, allora esiste k = k(ε) tale che (I) ε 2, quindi per k fissato esiste n = n(ε,k) = n(ε) tale che (II) ε 2. Quindi, per ogni g Lq (,) si ha che f n (x)g(x)dx, n.

11 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Infine, il caso p = segue dal fatto che poiché (,) ha misura finita si ha che L (,T) L q (,). (5) Poiché f =, per dimostrare che f n non converge forte in L p (,) basta dimostrare che esiste f n p, n. Dai calcoli del punto (3) segue che dato n N esiste k N tale che Quindi, f n p p = n k 2(i+) i= 2i f n p p n Quindi f n p per n. f(x) p dx+ n k 2(i+) i= 2i n 2k f(x) p dx = k n f p p = k n 2 n. f(x) p dx Esercizio 2.3. Sia {f n } n la successione di funzioni f n (x) = ne nx, x (,). Dimostrare che: () f n quasi ovunque. (2) {f n } n è uniformemente limitata in L ((,)). (3) {f n } n non converge forte a in L ((,)). (4) {f n } n non converge debole a in L ((,)). () Ovvio. (2) Calcolando la norma si ha che f n = ne nx dx = ( e n ). (3) {f n } n non converge forte a in L p (, ) perchè () eq:7 f n p p = f n p p = ( e n ), (2) eq:8 e quindi lim f n =. n (4) Per dimostrare che {f n } n non converge debole in L (,) è sufficiente esibire φ L (,) tale che f n (x)φ(x)dx. (3) eq:22 Considerando φ = si ha che (3) è soddisfatta.

12 2 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Esercizio 2.4. Sia < p < e {f n } n la successione di funzioni Dimostrare che: f n (x) = n pe nx, x (, ). () f n quasi ovunque. (2) {f n } n è uniformente limitata in L p ((, )). (3) {f n } n non converge forte a in L p ((, )). (4) {f n } n converge debole a in L p ((, )). (5) {f n } n converge forte a in L q ((, )) for q < p. ) Ovvio. 2) Calcolando la norma si ha che f n p p = = p ne npx dx 3) {f n } n non converge forte a in L p (, ) perchè e quindi e y dy = (4) eq:7 p. f n p p = f n p p =, (5) eq:8 p lim n f n p p = p. 4) Siano a < b < e consideriamo come funzione test in L q (,) and f(x) = χ [a,b] (x). Quindi abbiamo che b npe nx dx = b ne nx dx a n p a = nb e y dy n p pn p na, n. In particolare la convergenza vale per ogni combinazione lineare di funzioni caratteristiche di intervalli. Poichè le funzioni a gradino sono dense in L q (, ), per ogni g L q (, ) si può trovare una sequenza di funzioni a gradino g k tali che g k g forte in L q (, ). Quindi f n (x)g(x)dx f n (x) g(x) g k (x) dx+ f n (x)g k (x)dx f n p g g k q + f n (x)g k (x)dx C g g k q + f n (x)g k (x)dx = (I)+(II)

13 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 3 Sia ε >, allora esiste k = k(ε) tale che (I) ε 2, quindi per k fissato esiste n = n(ε,k) = n(ε) tale che (II) ε 2.Quindi, per ogni g Lq (,) si ha che f n (x)g(x)dx, n. 5) Sia q < p, allora f n q q = n q pe nqx dx = qn q p e y dy n. Esercizio 2.5. Sia {f n } n la successione di funzioni f n (x) = χ [n,n+] (x), x (, ). Dimostrare che: () f n quasi ovunque in (, ). (2) {f n } n è uniformemente limitata in L p (, ) per ogni p [, ]. (3) f n in L p (, ) per ogni p [, ]. (4) f n in L p (, ) for ogni p (, ) e f n in L (, ). (5) f n non converge debole in L (, ). () Per ogni x (, ) esiste N N tale che N > x e f n (x) = for per n > N. Quindi la convergenza quasi ovunque segue facilmente. (2) Sia p [, ). Allora, f n p p = Nel caso p = basta notare che n+ n sup f n = x (, ) dx =. (6) eq:23 per ogni n N. (3) La successione non può convergere forte a in L p (, ) per ogni p [, ] poiché f n p = f n p =. (4) Per dimostrare la convergenza debole L p (, ) per p (, ) dobbiamo provare che per ogni φ L q (, ) con q = p/(p ) si ha che f n (x)φ(x)dx n. (7) eq:24 Notiamo che se p > allora q <. Quindi f n (x)φ(x)dx (χ [n,n+] (x)) p(χ [n,n+] (x)) p φ(x) dx ( χ [n,n+] (x) φ(x) q ) q dove si è usata la disuguaglianza di Hölder e (6). Considerando la sequenza φ n (x) = χ [n,n+] (x) φ(x) q si ha che

14 4 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE - φ n quasi ovunque in (, ). - φ n φ q L (, ) per ogni n N quasi ovunque in (, ). quindi usando il Teorema della Convergenza Dominata (7) segue. (5) Per dimostrare che f n non converge debole in L (, )è sufficiente esibire φ L (, ) tale che f n (x)φ(x)dx. (8) eq:25 Prendendo φ = notando che f n è positiva segue facilmente che la (8) vale.

15 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Esercizi. Esercizio 2.6. Sia < p < e {f n } n la successione di funzioni Dimostrare che f n (x) = n p +n 2 x 2 x (, ). () f n quasi ovunque. (2) {f n } n è uniformente limitata in L p (,+ ). (3) {f n } n non converge forte a in L p (,+ ). (4) {f n } n converge debole a in L p (,+ ). (5) {f n } n converge forte a in L q (,+ ) per q < p. Esercizio 2.7. Sia < p < e {f n } n la successione di funzioni Dimostrare che f n (x) = n p log(+n 2 x 2 ) +n 4 x 4 x (, ). () f n quasi ovunque. (2) {f n } n è uniformente limitata in L p (,+ ). (3) {f n } n non converge forte a in L p (,+ ). (4) {f n } n converge debole a in L p (,+ ). (5) {f n } n converge forte a in L q (,+ ) per q < p. Esercizio 2.8. Sia < p < e {f n } n la successione di funzioni Dimostrare che n p sin(nx)χ [,/n] (x) x (,). () f n quasi ovunque. (2) {f n } n è uniformente limitata in L p (,+ ). (3) {f n } n non converge forte a in L p (,+ ). (4) {f n } n converge debole a in L p (,+ ). (5) {f n } n converge forte a in L q (,+ ) per q < p. Esercizio 2.9. Sia {f n } n la successione di funzioni f n (x) = e x 2 χ [n,n+] (x) x (, ). Dimostrare che () f n quasi ovunque. []. (2) {f n } n è uniformente limitata in L p (,+ ) per ogni p [, ]. (3) {f n } n non converge forte a in L p (,+ ) per ogni p [, ]. (4) {f n } n in L p (,+ ) per ogni p (, ). (5) {f n } n non converge debole a in L (,+ ).

16 6 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Esercizio 2.. Sia {f n } n la successione di funzioni f n (x) = logx +logx χ [n,n+](x) x (, ). Dimostrare che () f n quasi ovunque in (, ), (2) {f n } n è uniformente limitata in L p (,+ ) per p [,+ ), (3) {f n } n non converge forte a in L p (,+ ) per p [,+ ), (4) {f n } n converge debole a in L p (,+ ) per p (,+ ), (5) {f n } n non converge debole a in L (,+ ). Esercizio 2.. Sia {f n } n la successione di funzioni f n (x) = x2 +x 2χ [n,n+](x) x (, ). Dimostrare che () f n quasi ovunque in (, ), (2) {f n } n è uniformente limitata in L p (,+ ) per p [,+ ), (3) {f n } n non converge forte a in L p (,+ ) per p [,+ ), (4) {f n } n converge debole a in L p (,+ ) quando p (,+ ), (5) {f n } n non converge debole a in L (,+ ).

17 3.. Esercizi risolti. ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 7 3. Teoria Spettrale Esercizio 3.. Sia T il seguente operatore T : l 2 l 2, (Tx) n = x n 2 n. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro. ) Sia x l 2, allora Tx 2 2 = n N x 2 n 4 n n Nx 2 n = x ) T è compatto. Infatti T è limite di operatori di rango finito nella norma degli operatori. Consideriamo l operatore { (Tx) n se n N T N = se n > N, Notiamo che T N è un operatore di rango finito e quindi compatto. Inoltre, T T N 2 = sup Tx T n x 2 2 x 2 4 n n>n Poichè la serie geometrica é convergente si ha che T T N as N. 3) Poichè T è compatto per il Teorema di Schauder abbiamo che σ(t) = {} σ p (T) e σ p (T) è numerabile. Sia λ R, allora λ σ p (T) se esiste x soluzione di Tx = λx, cioè per ogni n N x n 2 n = λx n. Segue che λ n = 2 sono autovalori e gli autovettori relativi a λ n n sono e n = {e n j } j N = {δ j,n } j N. Per concludere, σ(t) = {} { } 2 n. n N

18 8 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Esercizio 3.2. Sia T : C([, ] C([, ]) il seguente operatore (Tf)(x) = e y f(y)dy. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro. ) Sia f C([,]), allora Tf = sup x [,] sup x [,] (e ) f. e y f(y)dy e y f(y) dy 2) T è compatto. Usiamo Ascoli-Arzelà per dimostrarlo. Sia B la palla unitaria chiusa in C([,]). Poichè T è un operatore continuo allora T(B ) è un insieme equi-limitato di C([,]). Per dimostrare che T è un operatore compatto basta provare che T(B ) è equi-continuo. Sia f B e x,y [,] tali che x < y. Allora, (Tf)(x) (Tf)(y) y x e t f(t) dt e f x y Analogamente se y < x abbiamo che per ogni f B e x,y [,] (Tf)(x) (Tf)(y) e x y L equi-continuità di T(B ) e quindi la compattezza di T seguono facilmente. 3) Poichè T è compatto usando il teorema di Shauder segue che σ(t) = {} σ p (T). e σ p (T) è numerabile. Sia λ R, allora λ σ p (T) se esiste f soluzione di e y f(y)dy = λf(x). (9) eq:3b In particolare, se f è soluzione of (9) allora f C ([,]) e soddisfa { f (x) = ex f(x) λ f() = Quindi, poichè l unica soluzione of () è f = segue che σ p (T) =. () eq:32b Esercizio 3.3. Si consideri l operatore T : C([,]) C([,]), (Tf)(x) = xf(x). () Dimostrare che T è continuo. (2) Determinare σ p (T)

19 (3) Determinare σ(t). ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 9 ) La linearità è ovvia. Per dimostrare che è limitato basta mostrare che è continuo. Sia f C([,]), allora Tf = sup xf(x) x [,] f. 2) Si ha che λ σ p (T) se e solo se esiste f tale che Questo significa Tf(x) = λf(x). xf(x) = λf(x) x [,]. () eq:5 Chiaramente () ammette solo f = come soluzione e quindi σ p (T) =. (3) Sia g C([,]) e si consideri Tf(x) λf(x) = g(x). (2) eq:52 L equazione (2) può essere risolta in C([,]) se e solo se λ / [,]. In questo caso, T λi è una biezione e quindi λ ρ(t). Questo implica che σ(t) = [,]. Esercizio 3.4. Si consideri l operatore T : C([,]) C([,]), (Tf)(x) = f(y) y dy. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro. ) Sia f C([,]), allora Tf = sup x [,] sup x [,] f C f, f(y) dy y f(y) y dy y dy 2) T è compatto. Usiamo Ascoli-Arzelà per dimostrarlo. Sia B la palla unitaria chiusa in C([,]). Poichè T è un operatore continuo allora T(B ) è un insieme equi-limitato di C([,]). Per dimostrare che T è un operatore

20 2 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE compatto basta provare che T(B ) è equi-continuo. Sia f B e x,y [,] tali che x < y. Allora, (Tf)(x) (Tf)(y) y x f(t) dt t 2 f y x f ( t 2 t p 2 C x y p. dt ) p dt x y p dove nell ultima disuguaglianza scegliendo p < 2 si è usato che t p 2 dt <. Analogamente se y < x abbiamo che per ogni f B e x,y [,] (Tf)(x) (Tf)(y) C x y p. L equi-continuità di T(B ) e quindi la compattezza di T seguono facilmente. 3) Poichè T è compatto usando il teorema di Shauder segue che σ(t) = {} σ p (T). e σ p (T) è numerabile. Sia λ R, allora λ σ p (T) se esiste f soluzione di f(y) f(y)dy = λf(x). (3) eq:3 y 2 Poiché f è continua e soddisfa (3) allora f() = (4) eq:32 Poiché /y 4 L (,), usando il Lemma di Gronwall segue che f(x) f() e (λy) 2 dy, e usando (4) si ha che l unica soluzione di (3) è f =. Quindi, segue che σ p (T) =. lem:gr Lemma (Gronwall). Siano C > e siano u : [.T] R e a : [.T] R funzioni positive. Si assuma che u limitata e misurabile e a L (,T). Inoltre, si assuma che Allora, u(t) C + Inoltre, se C = allora u. t a(t)u(t)dt, t [,T]. u(t) Ce t a(s)ds t [,T].

21 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE 2 Dimostrazione. La dimostrazione è standard nel caso a C([, ]). Il caso L segue da un argomento di densità poiché C([,]) è denso in L (,T). Infatti, sia {a k } k C([,]) tale che a k a per k. Sia Allora, si ha che u(t) C + T C +M a k a + M := sup u(t). t [,T] a k (s) a(s) u(s) dt+ t t a k (s)u(s)ds. a k (t)u(s)ds Poiché a k C([,]) possiamo usare il Lemma di Gronwall per funzioni regolari e otteniamo che u(t) (C +M a k a )e t a k(s)ds. Allora, mandando k, ricordando che per ogni t (,T) si ha che t a k(s)ds t a(s)ds segue facilmente che u(t) Ce t a(s)ds t [,T]. Esercizio 3.5. Si consideri l operatore T : L (,) (,), (Tf)(x) = χ [/2,] (x)f(x). () Dimostrare che T è lineare e continuo. (2) Determinare σ p (T) (3) Determinare σ(t). () La linearità è ovvia. Per dimostrare che è continuo basta mostrare che è limitato. Sia f L (,) allora Tf = sup χ [/2,] (x)f(x) f. x (,) (2) Si ha che λ σ p (T) se e solo se esiste f tale che Tf(x) = λf(x). Questo significa χ [/2,] (x)f(x) = λf(x) x [,]. Se λ = si ha che f = χ [/2,] L (,) è un autovettore, quindi σ p (T). Sia λ un autovalore. Allora, esiste f tale che χ [/2,] (x)f(x) = λf(x) x [,]. Si vede facilemente che questo non è possibile. Da questo segue che σ p (T) =. (3) Sia g L ([,]) e si consideri Tf(x) λf(x) = g(x). (5)

22 22 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE L equazione (2) può essere risolta in L (,) se e solo se λ. Infatti, in questo caso si ha che χ [/2,] (x), q.o. x (,). Quindi g(x) f(x) = χ [/2,] (x) λ L (,). Ne segue che, T λi è una biezione e quindi λ ρ(t). Questo implica che σ(t) = {}.

23 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Esercizi. Esercizio 3.6. Sia T : C([, ] C([, ]) il seguente operatore (Tf)(x) = +y 2 f(y)dy. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro. Esercizio 3.7. Sia T il seguente operatore T : l 2 l 2, (Tx) n = x n +n 2. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro. Esercizio 3.8. Si consideri l operatore T : C([,]) C([,]), (Tf)(x) = yf(y)dy. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro. Esercizio 3.9. Sia T : C([, ] C([, ]) il seguente operatore (Tf)(x) = f(y) dy. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro. y 4 Esercizio 3.. Sia T : C([, ] C([, ]) il seguente operatore (Tf)(x) = logyf(y)dy. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro.

24 24 ESERCIZI DI ANALISI FUNZIONALE Esercizio 3.. Si consideri l operatore T : l 2 l 2, (Tx) n = x n n. () Dimostrare che T è continuo. (2) Verificare se T è compatto. (3) Calcolare gli eventuali autovalori e determinare lo spettro.