Analisi Matematica 3 (Fisica), , M. Peloso e L. Vesely Prova scritta del 14 luglio 2009 Breve svolgimento (con alcuni conti omessi)

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1 Analisi Matematica 3 Fisica, 8-9, M. Peloso e L. Vesely Prova scritta del 4 luglio 9 Breve svolgimento con alcuni conti omessi. a Dimostrare che l insieme G = { x, y R : x + x + log y = ye x} coincide con il grafico di una funzione f : R R e che essa è di classe C. b Della funzione f, studiarne i limiti, la monotonia ed estremanti, l insieme immagine fr, e tracciarne un grafico qualitativo. L insieme G è l insieme delle soluzioni dell equazione F x, y =, dove la funzione F x, y = x + x + log y + y e x è definita solo nel semipiano A = {x, y : y > }. Osserviamo che F C A. In A si ha F y x, y = x +x+ y + e x >. Per ogni x R fissato, lim F x, y = +, lim y + F x, y =, y + e quindi, grazie alla continuità e la stretta monotonia di F x,, esiste un unico valore y = fx, + con F x, y = t. di Darboux. Per il teorema di Dini, f C R. Limiti. Il limite lim x + F x, y vale + se y >, e vale se y, ]. Ne segue che lim fx = x +. Analogamente, lim x F x, y vale + se y >, se y,, se y = ; quindi lim fx =. x Monotonia ed estremanti. Per il teorema di Dini, f x = Fxx,y F y x,y = F y x,y [ x + log y + y e x ]. Sostituendovi y e x = x + x + log y, otteniamo f x = F y xx log y. Per determinare il segno di log y, consideriamo F x, = e x >, da cui y < e log y <. Concludiamo che f x > per x,, < per x,, +, cioè: f è strettamente decrescente in, ] e in [, +, strettamente crescente in [, ], e presenta un punto di minimo relativo in x = e un punto di massimo relativo in x = fatevi un disegnino!.

2 Insieme immagine. fr è un intervallo per il teorema di Darboux. Siccome fx < per ogni x, e fx per x, f non ammette massimo assoluto e sup fr =. Dal grafico di f si vede che per determinare l estremo inferiore dell intervallo fr abbiamo bisogno di sapere a che quota è situato f ripetto a. Siccome F x, = x + x + log < per ogni x, abbiamo fx > per ogni x. Quindi, inf fr = e f non assume il valore. Concludiamo che fr =,.. Sia data la successione di funzioni Calcolare i limiti, a b + lim n + lim n + f n x dx, f n x dx, f n x = n4/3 x + n 5/ x 3. giustificando le risposte. In b può essere utile effettuare la sostituzione t = nx. a Abbiamo che f n puntualmente su, +. Inoltre, f n x = f n x n4/3 x n 5/ x 3 = n 7/6 x L, +. x Per il teorema della convergenza dominata, il limite richiesto vale. b Operando la sostituzione nx = t, otteniamo f n x dx = n n /3 t + n / t 3 n dt = n t n /3 + n /6 t 3 dt = dove t g n t = n /3 + n /6 t 3 χ,nt. Si ha che g n puntualmente su, +. Siccome g n t = g n t t L, +, + t3 il limite richiesto vale per il teorema della convergenza dominata. 3. Sia V il solido di R 3 + V = { x, y, z R 3 : x + y z x y } g n t dt, e sia V la sua frontiera. Inoltre, sia dato il campo vettoriale Fx, y, z = ye z, xe z, z. a Calcolare il flusso di F uscente, attraverso V ;

3 b detta S + = V {x + y + z = } la parte superiore di V, calcolare il flusso di rot F attraverso S +, essendo questa orientata in modo che la normale abbia terza componente positiva. 3 L insieme V è l intersezione di un paraboloide dato da z x +y con la sfera di raggio centrata nell origine. a Osserviamo che div Fx, y, z =. Per il teorema della divergenza, il flusso richiesto sarà Φ := F, ν e dσ = dxdydz = m 3 V. V Per calcolare la misura volume di V, utilizzeremo le coordinate cilindriche x = ϱ cos θ, y = ϱ sin θ, z = z, con la limitazione ϱ, r, dove r è dato dall equazione r = r, quindi r =, cioè r =. Calcoliamo: x y Φ = dz dxdy = π = π {x +y /} / x +y ϱ dz ϱ dϱ ϱ { /3 [ ϱ 3/] ϱ= / /4 [ ϱ 4] ϱ= ϱ= =... = π b Osserviamo che il bordo S + della superficie S + è una circonferenza di raggio situata nel piano z =, la cui orientazione positiva coincide con il percorso antiorario se guardata dall alto cioè dalla parte positiva dell asse delle z. Una sua parametrizzazione è ϕt = cos t, sin t,, t [, π]. Per il teorema di Stokes, il flusso richiesto coincide con il lavoro del campo F lungo S + : Φ = rot F, ν dσ = F dx + F dy + F 3 dz S + S + π = e / sin t e / cos t + dt = π / e. V ϱ= / } 4. Sia Ω il sottoinsieme di R Ω = { x, y R : x + y > }

4 4 e si consideri la forma differenziale ω = ay + x x + y dx + y x y + x + y dy. Determinare per quali valori del parametro reale a la forma differenziale ω è: a chiusa in Ω ; b esatta in Ω. a ω è chiusa se e solo se le derivate parziali y ay +x x +y y x y + x +y = ax y ay 4xy, x +y = y x +y = 4xy x +y coincidono in Ω, e ciò equivale a dire che ayx = in Ω. Questo succede se e solo se a =. b Perché ω sia esatta, essa deve essere chiusa. Quindi ω non è esatta se a. Rimane il caso di a = nel quale x ω = x +y dx + y x +y dy. Siccome l insieme aperto Ω non è semplicemente connesso, non possiamo subito concludere che ω è esatta in Ω. Ma lo è almeno localmente, cioè in ogni cerchio aperto contenuto in Ω. In ogni tale cerchio, ogni sua primitiva f deve essere una funzione di classe C in quanto anche ω C che soddisfi f x x, y = x + y da cui fx = logx + y + cy. Derivando rispetto a y otteniamo f y x, y = y x + y + c y = y x + y da cui c y = e quindi cy = y + k k R. Quindi le funzioni fx, y = logx + y y + k k R sono primitive di ω in ogni cerchio aperto contenuto in Ω. Essendo f C Ω, le funzioni f sono primitive di ω in tutto Ω, e quindi ω è esatta. Commento: non vi sono altre primitive oltre a quelle trovate perché, essendo Ω connesso, ogni due primitive di ω in Ω differiscono per una costante Un procedimento alternativo per a =. Secondo un noto teorema, ω è esatta in Ω se e solo se γ ω = per ogni curva chiusa in Ω. I seguenti ragionamenti un po imprecisi andrebbero giustificati con dimostrazioni.

5 i Possiamo limitarci a considerare solo curve chiuse semplici, in quanto l integrale di linea lungo una curva chiusa qualsiasi può essere scritto come somma di una quantità al più numerabile di integrali lungo delle curve chiuse semplici. ii Possiamo limitarci a curve chiuse semplici che girano attorno al buco cioè, attorno alla circonferenza di raggio unitario centrata nell origine, in quanto le altre curve chiuse semplici in Ω sono omotope in Ω ad un punto. iii Possiamo limitarci alla circonferenza ϕt = cos t, sin t, t [, π], in quanto ogni curva chiusa semplice che gira attorno al buco in senso antiorario è omotopa in Ω a ϕ. Ora, ϕ ω = π [ cos t 3 sin t + sin t 3 cos t ] dt = π cos t dt =, e quindi ω è esatta in Ω. 5