Analisi Matematica II (2/2/2015)

Transcript

1 Analisi Matematica II (//5) Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la bella copia. Scrivere anche sul retro del foglio. Cognome: Nome: Matricola, Crediti: TOTALE Versione A Esercizio A. [punti 6] Data l equazione g(x,y) = xcosy ysin x =, (a) verificare che essa definisce implicitamente y = f(x) nell intorno di (π, π ), (b) determinare il polinomio di Taylor di ordine in x = π della funzione f, (c) calcolare lim x π f(x) π/ (x π).

2 Esercizio A. [punti 6] Calcolare il seguente integrale x ylog(x +y ) dxdy, dove D = (x,y) R : x +y,y }. D Esercizio A3. [punti 6] Sia ω la forma differenziale ( y ) ( ω(x,y) = (x ) +y +3y +xy dx+ x (x ) +y +x +6xy ) dy. (a) Verificare che ω è esatta in A = (x,y) R : x > }, e determinarne una primitiva (o funzione potenziale). (b) Calcolare + B ω, dove B = (x,y) R : x x y x x }. Analisi Matematica II (//5). Cognome e Nome, Matricola:

3 Esercizio A4. [punti 6] Data la serie n= (x ) n n 5 (+nx ) (a) determinare gli insiemi di convergenza puntuale (o semplice) e assoluta, (b) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme della serie. Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y = Ay A =, y =. y() = y 3 Analisi Matematica II (//5). Cognome e Nome, Matricola:

4 Analisi Matematica II (//5) Esercizio A. [punti 6] Data l equazione g(x, y) = x cos y y sin x =, (a) verificare che essa definisce implicitamente y = f(x) nell intorno di (π, π ), (b) determinare il polinomio di Taylor di ordine in x = π della funzione f, (c) calcolare lim x π f(x) π/ (x π). Osserviamo che g(π, π) = e g x(x, y) = cos y y sin(x), g y (x, y) = x sin y sin x, e quindi g x (π, π) =, g y(π, π ) = π. Per il teorema del Dini, g(x, y) = definisce, in un intorno di (π, π), un unica funzione y = f(x), che risulta essere di classe C. Inoltre, g(x, f(x)) =, per ogni x in un intorno di x = π, per cui derivando rispetto ad x si ottiene e sostituendo x = π, f(π) = π, si ottiene Osserviamo che Derivando ( ) di nuovo, si ottiene = g x (x, f(x)) + g y (x, f(x))f (x) (*) = πf (π) f (π) =. g xx (x, y) = y cos(x) = g xx (π, π ) = π, g xy (x, y) = sin y sin(x) = g xy (π, π ) =, g yy (x, y) = x cos y = g yy (π, π ) =. = g xx (x, f(x)) + g xy (x, y)f (x) + g yy (x, f(x))f (x) + g y (x, f(x))f (x) e sostituendo x = π, f(π) = π, f (π) =, si ottiene Ma allora il polinomio richiesto è = π πf () f () =. T (x) = π (x π). Infine, il limite è f(x) π/ lim = lim (x π) ( + o()) = x π (x π) x π (x π).

5 Esercizio A. [punti 6] Calcolare il seguente integrale x y log(x + y ) dxdy, D dove D = (x, y) R : x + y, y }. Posto, per ogni a (, ), D a := (x, y) R : a x + y, y }, si ha x y log(x + y ) dxdy = lim x y log(x + y ) dxdy D a + D a (a) = lim ϱ 3 cos ϑ sin ϑ log ϱ dϱdϑ a + (b) = 4 lim a + Dϱϑ a π/ = lim a + [ sin ϑ [ cos ϑ sin ϑ 4 ϱ4 log ϱ ] 6 ϱ4 ] π/ a dϑ ( 4 a4 log a + ) 4 a4 = 8, dove in (a) si è posto D a ϱϑ = (ϱ, ϑ) R : a ϱ, ϑ [, π]}, e in (b) si sono usate la simmetria del dominio, la parità della funzione, e il risultato ϱ 3 log ϱ dϱ = 4 ϱ4 log ϱ 4 ϱ3 dϱ = 4 ϱ4 log ϱ 6 ϱ4. Esercizio A3. [punti 6] Sia ω la forma differenziale ( y ) ( ω(x, y) = (x ) + y + x ) 3y + xy dx + (x ) + y + x + 6xy dy. (a) Verificare che ω è esatta in A = (x, y) R : x > }, e determinarne una primitiva (o funzione potenziale). (b) Calcolare + B ω, dove B = (x, y) R : x x y x x }. Posto ω(x, y) = f dx + g dy, si ha g x = f y = (x ) y ((x ) +y ) + x + 6y, per cui ω è chiusa in R \ (, )}, e quindi in A, che è semplicemente connesso, e quindi ω è esatta in A. Una funzione potenziale U di ω in A deve soddisfare U = x U = y y + 3y + xy (x ) +y x + x + 6xy. (x ) +y Dalla seconda equazione segue che U(x, y) = ( x +x +6xy ) dy = d ( y (x ) +y +( x ) + y x ) x y + 3xy = arctg ( y x ) + x y + 3xy y + ϕ(x), e derivando rispetto ad x, + xy + (x ) +y 3y + ϕ (x) = U = y + 3y + xy ϕ (x) =, per cui una funzione potenziale in x (x ) +y A è data da ( y ) U(x, y) = arctg + x y + 3xy. x Osserviamo ora che ω non è esatta in un intorno di B, perché somma di una forma ω = (3y + xy) dx+(x y +6xy) dy, che è esatta, e di ω = dx+ x dy, che non lo è, per cui, per (x ) +y (x ) +y calcolare l integrale, usiamo l invarianza omotopica del medesimo. Sia γ(t) = ( + cos t, sin t), t [, π], per cui ω = ω + B + B = ω γ = π ( sin t cos t) dt = π.

6 Esercizio A4. [punti 6] Data la serie n= (x ) n n 5 ( + nx ) (a) determinare gli insiemi di convergenza puntuale (o semplice) e assoluta, (b) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme della serie. Osserviamo che, per il criterio della radice, n x lim n n n ( + nx ) = lim x = x < x (, 3). n n n ( + nx ) Inoltre, per x =, si ha ( ) n n=, che converge assolutamente, mentre, per x = 3, si ha n (+n) n=, che converge assolutamente. Quindi la serie converge assolutamente in [, 3], e n (+9n) non converge altrove. Per determinare se la serie converge uniformemente, usiamo il criterio di Weierstrass di convergenza totale, e calcoliamo, M n := sup x [,3] (x ) n n (+nx ). Poiché n n= M n converge, la serie data converge uniformemente in [, 3]. Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y = Ay A =, y =. y() = y 3 Cerchiamo gli autovalori di A: λ det(a λi) = 3 λ λ λ 3 + 6λ λ + 8 = ( λ) 3 =, da cui si ottiene la soluzione λ = (tripla). Autovettori per λ = : x = (A I) v = x x + x x 3 =, x + x = x 3 x + x =, x 3 =. Poiché c è un solo autovettore indipendente [due condizioni lineari significa che dim ker(a I) = 3 = ], occorre cercare gli autovettori generalizzati: x = (A I) v = x x + x =, x 3 e quindi scegliamo v 3 = e ker(a I), per cui v = (A I) v 3 = e + e + e 3, e v = (A I) v = e e. Da y = c v + c v + c 3 v 3 si ricava = y () = c c c = = y () = c + c + c 3 c = = y 3 () = c c 3 =.

7 La soluzione del problema di Cauchy è quindi: cioè y(t) = e At y = c e At v + c e At v + c 3 e At v 3 = c e t v + c e t( I + (A I)t ) ( v + c 3 e t I + (A I)t + (A I) t ( = c + c t + c ) 3 t e t v + (c + c 3 t)e t v + c 3 e t v 3 = ( + t + t )e t + ( + t)e t + e t, y (t) = ( t + t )e t y (t) = ( + t t )e t y 3 (t) = ( + t)e t. ) v 3

8 Analisi Matematica II (6//5) Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la bella copia. Scrivere anche sul retro del foglio. Cognome: Nome: Matricola, Crediti: TOTALE Versione A Esercizio A. [punti 6] Data la seguente funzione f(x,y) = x +4y x +y (a) determinarne i punti stazionari e la loro natura, (b) determinare massimo e minimo di f in D = (x,y) R : x +4y 4}.

9 Esercizio A. [punti 6] Calcolare il seguente integrale x 4 dxdydz, dopo aver disegnato l insieme D = (x,y,z) R 3 : x +z, y x z }. D Esercizio A3. [punti 6] Calcolare S F ndσ, dove S è la superficie laterale del cilindro T = (x,y,z) R 3 : x +z,y [,]}, orientata nel verso della normale esterna n e a T, e ) F(x,y,z) = (x+ x5 5 +z ı (x 4 y +z ) j z k. Analisi Matematica II (6//5). Cognome e Nome, Matricola:

10 Esercizio A4. [punti 6] Data la successione f n (x) := n log(xn + n ), x [,+ ), (a) determinare l insieme di convergenza puntuale e f(x) := lim n f n (x), (b) verificare se f n converge uniformemente in [,+ ). Esercizio A5. [punti 6] Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y y = +e t. Analisi Matematica II (6//5). Cognome e Nome, Matricola:

11 Analisi Matematica II (6//5) Esercizio A. [punti 6] Data la seguente funzione f(x, y) = x + 4y x + y (a) determinarne i punti stazionari e la loro natura, (b) determinare massimo e minimo di f in D = (x, y) R : x + 4y 4}. (a) I punti stazionari sono soluzioni di x f x (x, y) = x x = +4y f y (x, y) = 4y + y = x +4y x = y = x = y = che fornisce i punti P ± = (±, ), mentre in P = (, ) non esiste f. Poiché 4y f xx (x, y) = (x +4y ) 3/ f xy (x, y) = 4xy (x +4y ) 3/ 4x f yy (x, y) = + (x +4y ) 3/ si ha det H f (±, ) = 6 = 6 <, e concludiamo che (±, ) sono punti di sella. (b) Poiché D è chiuso e limitato e f è continua su D, il teorema di Weierstrass ci assicura che f ha massimo e minimo su D. Come conseguenza del teorema di Fermat, cerchiamo i punti di massimo e minimo in tre insiemi: (b) tra i punti stazionari interni a D. In questo caso, P ± D o sono punti di sella, e li possiamo escludere. (b) tra i punti interni a D in cui non esiste almeno una delle derivate parziali prime di f. In questo caso, P D o. (b3) tra i punti di frontiera di D. Determiniamo, allora, i punti di massimo e minimo di f FD. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per studiare f FD, e ci accontentiamo di trovare i punti stazionari della Lagrangiana [tra questi ci saranno anche i punti di massimo e minimo di f FD ]. Introduciamo la funzione di vincolo g(x, y) = x + 4y 4, e determiniamo dapprima i punti non regolari per il vincolo, cioè le soluzioni del sistema g x (x, y) = x = g y (x, y) = 8y = g(x, y) = x + 4y 4 =, che non ha soluzione. Introduciamo ora la Lagrangiana L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y), e cerchiamo i punti stazionari di L, cioè le soluzioni del sistema x L x (x, y, λ) = x x + xλ = ( x + (λ ) x + 4y ) +4y x = +4y ( L y (x, y, λ) = 4y y + y + 8yλ = x +4y + (4λ + ) x + 4y ) x = +4y L λ (x, y, λ) = x + 4y 4 =,

12 che equivale a x = y = x + 4y 4 = x = + (4λ + ) x + 4y = y = ± + (λ ) x + 4y = + (4λ + ) x + 4y = x + 4y 4 =. + (λ ) x + 4y = y = x = ± Il primo sistema è assurdo, il secondo e il terzo forniscono i punti Q ± = (±, ), e R ± = (, ±), mentre dal quarto [sottraendo la seconda equazione alla prima moltiplicata per ], si ottiene x + 4y = x + 4y 4 =, che è assurdo. In alternativa, e più rapidamente, possiamo ottenere i punti stazionari vincolati se parametrizziamo FD ponendo x = cos ϑ, y = sin ϑ, ϑ [, π], e otteniamo g(ϑ) := f( cos ϑ, sin ϑ) = cos ϑ + sin ϑ = 3 sin ϑ, ϑ [, π]. Poiché g (ϑ) = 6 sin ϑ cos ϑ = ϑ = k π, k Z, otteniamo di nuovo i punti Q ± = (±, ), e R ± = (, ±). (b4) Calcolando il valore di f su tutti i punti trovati, otteniamo f(p ) =, f(q ± ) =, f(r ± ) = 3. Quindi min D f = e max D f = 3. Esercizio A. dopo aver disegnato l insieme [punti 6] Calcolare il seguente integrale x 4 dxdydz, D D = (x, y, z) R 3 : x + z, y x z }. In coordinate cilindriche x = ϱ cos ϑ, y = y, z = ϱ sin ϑ, l insieme diventa D ϱϑy = (ϱ, ϑ, y) R 3 : ϑ [, π], y ϱ, ϱ [, ]}. Quindi D x 4 dxdydz = ϱ 5 cos 4 ϑ dϱdϑdy = D ϱϑy [ (a) 3 = 8 ϑ + 4 sin ϑ + ] π 3 sin 4ϑ = 3π 4 [ ϱ 6 6 ϱ8 8 ] = π 3, π dove in (a) si è usata l identità trigonometrica cos 4 ϑ = ( +cos ϑ 3 + cos ϑ + cos 4ϑ. 8 8 cos 4 ϑ dϑ ϱ ϱ 5 dϱ dy ϱ 5 ( ϱ ) log ϱ dϱ ) = 4 + cos ϑ+ 4 ( +cos 4ϑ ) =

13 Esercizio A3. [punti 6] Calcolare S F n dσ, dove S è la superficie laterale del cilindro T = (x, y, z) R 3 : x + z, y [, ]}, orientata nel verso della normale esterna n e a T, e F (x, y, z) = (x + x5 5 + z ) ı (x 4 y + z ) j z k. Siano S = (x, y, z) R 3 : x +z, y = }, S = (x, y, z) R 3 : x +z, y = }, per cui T = S S S. Una parametrizzazione di S è Φ (x, z) = (x,, z), ı j k (x, z) A := (x, z) R : x + z }, il cui vettore normale è Φ x Φ z = = j, che è esterno a T, mentre una parametrizzazione di S è Φ (x, z) = (x,, z), (x, z) A, il cui vettore normale è Φ x Φ z = j, che è interno a T. Dal teorema della divergenza si ha div F dxdydz = F n e dσ + F ne dσ + F ne dσ, T S S dove n e è il versore normale esterno rispetto a T. Poiché div F = + x 4 x 4 =, si ha F n e dσ = div F F ne dσ F ne dσ S T S S = vol(t ) F Φ Φ x Φ z dxdz + F Φ Φ x Φ z dxdz A A = 3π ( x 4 + z ) dxdz + (x 4 + z ) dxdz (a) = 3π + 3 A π [ (b) ϱ 6 = 3π ] ϱ 4 cos 4 ϑ ϱdϱdϑ [ 3 8 ϑ + 4 sin(ϑ) + ] π 3 sin(4ϑ) A S = 3π + 3π 8 = 8 π, dove in (a) si è usato il cambio di coordinate x = ϱ cos ϑ, z = ϱ sin ϑ, e in (b) l identità trigonometrica cos 4 ϑ = cos(ϑ) + 8 cos(4ϑ). Esercizio A4. [punti 6] Data la successione f n (x) := n log(xn + n ), x [, + ), (a) determinare l insieme di convergenza puntuale e f(x) := lim n f n (x), (b) verificare se f n converge uniformemente in [, + ). Osserviamo che f(x) := lim n f n (x) = log, x [, ], log x, x >, e quindi la successione converge per ogni x [, + ). Poiché f n (x) log = n log(xn + n ) n log(n ) = ( x n )n + ) è positiva e crescente in [, ], e f n (x) log x = n log(xn + n ) n log(xn ) = ( n x )n + ) è positiva e decrescente in [, + ), si ha sup f n (x) f(x) = max sup f n (x) log, sup f n (x) log x } = x [,+ ) x [,] x [,+ ) n per cui f n f in [, + ). log,

14 Esercizio A5. [punti 6] Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y y = + e t. Risolviamo dapprima l equazione omogenea associata. L equazione caratteristica λ = ha radici λ = ±. Quindi, y om (t) = a e t + a e t. Allora la soluzione y del problema di Cauchy ausiliario y y = y() =, y () =, è data da y (t) = et e t = sinh t. Quindi, una soluzione particolare dell equazione non omogenea è data da y p (t) = t e t s t + e ds s e t (a) = e t z dz z + e t e s t ds = et + es e t t e s t ds e s e t + dz [ z + = et z log z + ] e t e s + e s ds = e t( e t log(e t + ) + log ) e t( log(e t + ) log ), e t [ log z + ] e t dove in (a) si è usata la sostituzione z = e s, nel primo integrale, e z = e s, nel secondo. Allora la soluzione generale è data da y gen (t) = a e t + a e t te t + (e t e t ) log(e t + ).

15 Analisi Matematica II (/7/5) Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la bella copia. Scrivere anche sul retro del foglio. Cognome: Nome: Matricola, Crediti: TOTALE Versione A Esercizio A. [punti 6] Data la funzione xy x + y 4 (a) determinarne i punti stazionari e la loro natura, (b) determinare massimo e minimo di f in D = (x, y) R : x + y }.

16 Esercizio A. [punti 6] Siano γ(t) = ( + cos t, sin t), t [, 3π], e ω la forma differenziale ω(x, y) = x + y + x x + y dx + x y + y 3 + y x + y (a) Verificare che ω è esatta in D = R \ (, )}, e determinarne una primitiva (o potenziale). (b) Calcolare γ ω. dy. Esercizio A3. [punti 6] Sia S la superficie laterale della porzione di sfera T = (x, y, z) R 3 : x + y + z 4, z }, orientata nel verso della normale esterna n e a T. Calcolare S F n e dσ, dove F (x, y, z) = y ı + z j + x k. Analisi Matematica II (/7/5). Cognome e Nome, Matricola:

17 Esercizio A4. [punti 6] Data la serie n= n n n! ( x + (a) determinare gli insiemi di convergenza puntuale (o semplice) e assoluta, (b) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme della serie. x ) n Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y 4y + 4y = e t y() =, y () =. Analisi Matematica II (/7/5). Cognome e Nome, Matricola:

18 Analisi Matematica II (/7/5) Esercizio A. [punti 6] Data la funzione xy x + y 4 (a) determinarne i punti stazionari e la loro natura, (b) determinare massimo e minimo di f in D = (x, y) R : x + y }. (a) I punti stazionari sono soluzioni di fx (x, y) = y(x y +4) (x +y 4) = f y (x, y) = x(x y 4) (x +y 4) = che, sotto la condizione x + y 4, equivale a y = y = x y + 4 = x = x y 4 = x = x y + 4 = x y 4 = che forniscono i punti P = (, ), P ± = (±, ), Q ± = (, ±), di cui solo il primo soddisfa la condizione x + y 4. Poiché f xx (x, y) = xy(x 3y +) (x +y 4) 3 f xy (x, y) = x4 6x y +y 4 6 (x +y 4) 3 f yy (x, y) = xy( 3x +y +) (x +y 4) 3 si ha det H f (, ) = 4 = <, e concludiamo che (, ) è un punto di sella. 6 4 (b) Poiché D è chiuso e limitato e f è continua su D, il teorema di Weierstrass ci assicura che f ha massimo e minimo su D. Come conseguenza del teorema di Fermat, cerchiamo i punti di massimo e minimo in tre insiemi: (b) tra i punti stazionari interni a D. In questo caso, P D o è un punto di sella, e lo escludiamo. (b) tra i punti interni a D in cui non esiste almeno una delle derivate parziali prime di f. In questo caso non ci sono. (b3) tra i punti di frontiera di D. Determiniamo, allora, i punti di massimo e minimo di f FD. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per studiare f FD, e ci accontentiamo di trovare i punti stazionari della Lagrangiana [tra questi ci saranno anche i punti di massimo e minimo di f FD ]. Introduciamo la funzione di vincolo g(x, y) = x + y, e determiniamo dapprima i punti non regolari per il vincolo, cioè le soluzioni del sistema g x (x, y) = x = g y (x, y) = y = g(x, y) = x + y =, che non ha soluzione. Introduciamo ora la Lagrangiana L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y), e cerchiamo i punti stazionari di L, cioè le soluzioni del sistema L x (x, y, λ) = y(x y +4) + xλ = (x +y 4) L y (x, y, λ) = x(x y 4) + yλ = (x +y 4) L λ (x, y, λ) = x + y =,

19 che implica, moltiplicando la prima equazione per y, la seconda per x, e sommando, x (x y 4)+y (x y +4) = (x +y 4) x y = x + y = x + y =, che fornisce i quattro punti R ±± = (±, ± ). In alternativa, e più rapidamente, possiamo ottenere i punti stazionari vincolati se parametrizziamo FD ponendo x = cos ϑ, y = sin ϑ, ϑ [, π], e otteniamo g(ϑ) := f(cos ϑ, sin ϑ) = 3 sin ϑ cos ϑ = 6 sin ϑ, ϑ [, π]. Poiché g (ϑ) = 6 cos ϑ = ϑ = π 4 + k π, k Z, otteniamo di nuovo i punti R ±±. (b4) Calcolando il valore di f su tutti i punti trovati, otteniamo f(r ++ ) = f(r ) = 6, f(r + ) = f(r + ) = 6. Quindi min D f = 6 e max D f = 6. Esercizio A. [punti 6] Siano γ(t) = ( + cos t, sin t), t [, 3π], e ω la forma differenziale ω(x, y) = x + y + x x + y dx + x y + y 3 + y x + y (a) Verificare che ω è esatta in D = R \ (, )}, e determinarne una primitiva (o potenziale). (b) Calcolare γ ω. Osserviamo che ω(x, y) = f dx + g dy = ( ) ( ) + x x +y dx + y + y x +y dy, per cui g = f = 4xy, e quindi ω è chiusa in D, che non è semplicemente connesso. Se esiste x y (x +y ) una funzione potenziale U in D, allora deve soddisfare U = + x U = y + y x x +y y. x +y Dalla prima equazione segue che U(x, y) = ( ) + x x +y dx = x+log(x +y )+ϕ(y), e derivando y rispetto ad y, + ϕ (y) = U y = y + ϕ (y) = y = ϕ(y) = y, per cui una x +y y x +y funzione potenziale è data da U(x, y) = log(x + y ) + x + y in D, e ω è ivi esatta. Allora ω = U(γ(3π)) U(γ()) = U(, ) U(3, ) = 4 log 3. γ dy. Esercizio A3. [punti 6] Sia S la superficie laterale della porzione di sfera T = (x, y, z) R 3 : x + y + z 4, z }, orientata nel verso della normale esterna n e a T. Calcolare S F n e dσ, dove F (x, y, z) = y ı + z j + x k. Siano S = (x, y, z) R 3 : x + y 4, z = }, S = (x, y, z) R 3 : x + y 4, z = }, per cui T = S S S. Una parametrizzazione di S è Φ (x, y) = (x, y, ), ı j k (x, y) A := (x, y) R : x + y 4}, il cui vettore normale è Φ x Φ y = = k, che è interno a T. Una parametrizzazione di S è Φ (x, y) = (x, y, 3), (x, y) A := (x, y)

20 ı j k R : x + y 3}, il cui vettore normale è Φ x Φ y = = k, che è esterno a T. Dal teorema della divergenza si ha div F dxdydz = F n e dσ + F ne dσ + F ne dσ, T S S dove n e è il versore normale esterno rispetto a T. Poiché div F =, si ha F n e dσ = F ne dσ F ne dσ S S S = F Φ Φ x Φ y dxdy F Φ Φ x Φ y dxdy A A = x dxdy x dxdy A A (c) = (d) = π ϱ cos ϑ ϱ dϱdϑ [ ϑ + ] π [ ϱ 4 4 sin(ϑ) 4 π 3 ] = 7π 3 4, S ϱ cos ϑ ϱ dϱdϑ dove in (c) si è usato il cambio di coordinate x = ϱ cos ϑ, y = ϱ sin ϑ, e in (d) l identità trigonometrica cos ϑ = + cos(ϑ). Esercizio A4. [punti 6] Data la serie n= n n n! ( x + (a) determinare gli insiemi di convergenza puntuale (o semplice) e assoluta, (b) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme della serie. Osserviamo che, per il criterio del rapporto, (n + ) n+ lim n! x + (n+) n = lim ( + ) n x +, x <, n+ = e, x = n (n + )! n n x n n x, +, x >, dove si è usato il fatto che x+ < x <. Quindi la serie converge assolutamente in x (, ), e non converge altrove. Per determinare se la serie converge uniformemente, usiamo il criterio di Weierstrass di convergenza totale, e calcoliamo, per ogni a < b <, M n := sup nn x [a,b] n! ( x + ) n n n ( = sup x n! x [a,b] x + x x ) n ( ) ) n = max f n (a), f n (b) } f n (a) + f n (b), dove in ( ) si è usato il fatto che g(x) := x+ è decrescente in (, ] e crescente in x [, ), per cui sup x [a,b] g(x) = maxg(a), g(b)} <. Poiché sia n= f n(a) che n= f n(b) convergono (per quanto visto sopra), n= M n converge, e la serie data converge uniformemente in [a, b] (per il criterio di Weierstrass), per ogni a < b <.

21 Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y 4y + 4y = e t y() =, y () =. Risolviamo dapprima l equazione omogenea associata. L equazione caratteristica λ 4λ + 4 = ha radice λ = (doppia). Quindi, y om (t) = a e t + a te t. Cerchiamo una soluzione particolare, dell equazione non omogenea, della forma y p (t) = at e t. Allora y p(t) = a(t+t )e t, y p(t) = a(+4t+t )e t, per cui a(+8t+4t 8t 8t +4t )e t = e t, e quindi a =. Quindi y gen(t) = a e t + a te t + t e t. Dalle condizioni iniziali otteniamo = y gen () = a = y gen() = a e t + a ( + t)e t + (t + t )e t t= = a + a cioè a =, a =. Allora y Cauchy (t) = e t te t + t e t, t R.

22 Analisi Matematica II (/7/5) Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la bella copia. Scrivere anche sul retro del foglio. Cognome: Nome: Matricola, Crediti: TOTALE Versione A Esercizio A. [punti 6] Data l equazione g(x, y) = e xy 3x y =, (a) verificare che essa definisce implicitamente y = f(x) nell intorno di (, ), (b) determinare il polinomio di Taylor di ordine in x = della funzione f.

23 Esercizio A. [punti 6] Calcolare il seguente integrale yz dxdydz D dove D = (x, y, z) R 3 : x + 8y z x 8y, x, y }. Esercizio A3. [punti 6] Sia ω la forma differenziale ( x ) ( ω(x, y) = + xy dx + y x (x + y ) ) dy. y x (a) Verificare che ω è esatta in D = (x, y) R : y > x }, e determinarne una primitiva (o potenziale). (b) Calcolare ω, dove γ(t) = (t, t), t [, ]. γ Analisi Matematica II (/7/5). Cognome e Nome, Matricola:

24 Esercizio A4. [punti 6] Data la successione f n (x) := (n x ) (n x ) + 3, x R, (a) determinare l insieme di convergenza puntuale e f(x) := lim n f n (x); (b) verificare se f n converge uniformemente in R; (c) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme. Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y 3 = Ay A =, y =. y() = y Analisi Matematica II (/7/5). Cognome e Nome, Matricola:

25 Analisi Matematica II (/7/5) Esercizio A. [punti 6] Data l equazione g(x, y) = e xy 3x y =, (a) verificare che essa definisce implicitamente y = f(x) nell intorno di (, ), (b) determinare il polinomio di Taylor di ordine in x = della funzione f. Osserviamo che g(, ) = e g x (x, y) = ye xy 3, g y (x, y) = xe xy, e quindi g x (, ) = 3, g y (, ) =. Per il teorema del Dini, g(x, y) = definisce, in un intorno di (, ), un unica funzione y = f(x), che risulta essere di classe C. Inoltre, g(x, f(x)) =, per ogni x in un intorno di x =, per cui derivando rispetto ad x si ottiene e sostituendo x =, f() =, si ottiene Osserviamo che Derivando ( ) di nuovo, si ottiene = g x (x, f(x)) + g y (x, f(x))f (x) (*) = 3 f () f () = 3. g xx (x, y) = y e xy = g xx (, ) =, g xy (x, y) = (xy + )e xy = g xy (, ) =, g yy (x, y) = x e xy = g yy (, ) =. = g xx (x, f(x)) + g xy (x, y)f (x) + g yy (x, f(x))f (x) + g y (x, f(x))f (x) e sostituendo x =, f() =, f () = 3, si ottiene Ma allora il polinomio richiesto è = 6 f () f () = 6. T (x) = 3x 3x. Esercizio A. [punti 6] Calcolare il seguente integrale yz dxdydz D dove D = (x, y, z) R 3 : x + 8y z x 8y, x, y }. Il solido D è la parte, compresa nell ottante x, y, z }, dell intersezione dell interno della falda positiva del cono ellittico z = x + 8y con l interno dell ellissoide x + 8y + z =. Usando il metodo di integrazione per fili, è necessario determinare la proiezione A di D sul piano z =. Poiché x + 8y = x 8y t = x +8y t = t x +8y = t =, si ha che A = (x, y) R : 4x +6y, x, y }. Allora D yz dxdydz = = = 64 A A ( x 8y ) y z dz dxdy = x +8y y( 4x 6y ) dxdy (a) = [ ϱ 3 [ cos ϑ ] π/ 3 ϱ5 5 ] = 48, π/ A [ ] x 8y y z dxdy x +8y 4 ϱ sin ϑ( ϱ ) 8 ϱdϱdϑ

26 dove in (a) si è usato il cambiamento di variabili x = ϱ cos ϑ, y = ϱ sin ϑ. 4 Alternativamente, usando il cambio di variabili x = ϱ cos ϑ, y = 8 ϱ sin ϑ, z = z, l insieme D diventa D ϱϑz = (ϱ, ϑ, z) R 3 : ϱ z ϱ, cos ϑ, sin ϑ } = (ϱ, ϑ, z) R 3 : ϱ z ϱ, ϑ [, π], ϱ [, ]}, e quindi D yz dxdydz = = 8 = 6 D ϱϑz π/ 8 ϱ sin ϑz 4 ϱ dϱdϑdz / sin ϑ dϑ / ϱ ( ϱ ϱ ( ϱ ) dϱ = 6 ϱ [ ϱ 3 ) z dz dϱ 3 ϱ5 5 ] / = 48. Esercizio A3. [punti 6] Sia ω la forma differenziale ( x ) ( ω(x, y) = + xy dx + y x (x + y ) ) dy. y x (a) Verificare che ω è esatta in D = (x, y) R : y > x }, e determinarne una primitiva (o potenziale). (b) Calcolare ω, dove γ(t) = (t, t), t [, ]. γ Posto ω(x, y) = f dx + g dy, si ha g = f = x x, per cui ω è chiusa x y (y x ) 3/ in D, che è semplicemente connesso, e quindi ω è esatta in D. Una funzione potenziale U deve soddisfare U = x x y x + xy U = y (x + y ) Dalla prima equazione segue che U(x, y) = ( x y x + xy) dx = x y y x + ϕ(y), e derivando rispetto ad y, x y x + ϕ (y) = U y = (x + y ) y x ϕ (y) = y x y = ϕ(y) = 6 y3, per cui una funzione potenziale è data da U(x, y) = x y + 6 y3 y x. Allora γ ω = U(γ()) U(γ()) = U(, ) U(, ) = 3. Esercizio A4. [punti 6] Data la successione f n (x) := (n x ) (n x ) + 3, x R, (a) determinare l insieme di convergenza puntuale e f(x) := lim n f n (x); (b) verificare se f n converge uniformemente in R; (c) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme. Osserviamo che f(x) := lim n f n (x) =, e quindi la successione converge per ogni x R. Poiché f n(x) = 8x(x n ) x [ n, ] [n, + ), si ha sup ((n x ) +3) x R f n (x) 3 f(x) = sup = f x R (n x ) +3 n(±n) =, per cui f n f in R. Inoltre, per ogni a >, e n > a, f f n è crescente e positiva in [, a], per cui sup x [ a,a] f n (x) f(x) = f n (a), e quindi f n f in [ a, a], per ogni a >.

27 Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y 3 = Ay A =, y =. y() = y Cerchiamo gli autovalori di A: 3 λ det(a λi) = λ λ + 4λ + 4) = (λ + ) 3 =, da cui si ottiene la soluzione λ = (tripla). Autovettori per λ = : x = (A + I) v = x x + x =. x 3 Poiché ci sono solo autovettori indipendenti [una condizione lineare significa che dim ker(a + I) = 3 = ], occorre cercare gli autovettori generalizzati: x = (A + I) v = x v, x 3 e quindi scegliamo v 3 = e, e v = (A + I) v 3 = e + e + e 3, e possiamo prendere v = e e. Da y = c v + c v + c 3 v 3 si ricava = y () = c c c = = y () = c + c + c 3 c = = y 3 () = c c 3 =. La soluzione del problema di Cauchy è quindi: y(t) = e At y = c e At v + c e At v + c 3 e At v 3 = c e t v + c e t v + c 3 e t( I + (A + I)t ) v 3 = c e t v + (c + c 3 t)e t v + c 3 e t v 3 = e t + ( + t)e t + e t, cioè y (t) = ( t)e t y (t) = ( + t)e t y 3 (t) = ( + t)e t.

28 Analisi Matematica II (7/9/5) Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la bella copia. Scrivere anche sul retro del foglio. Cognome: Nome: Matricola, Crediti: TOTALE Versione A Esercizio A. [punti 6] Data la seguente funzione f(x, y) = x y + y (a) determinarne i punti stazionari e la loro natura, (b) determinare massimo e minimo di f in D = (x, y) R : x + y, x }.

29 Esercizio A. [punti 6] Calcolare il seguente integrale y x + y dxdy, dove D = (x, y) R : x + y, x + (y ) }. D Esercizio A3. [punti 6] Calcolare S F n dσ, dove S è la superficie laterale del paraboloide orientata nel verso della normale esterna, e T = (x, y, z) R 3 : x + y z 4}, F (x, y, z) = (y + ) ı z x + ȷ + x x + y + k. Analisi Matematica II (7/9/5). Cognome e Nome, Matricola:

30 Esercizio A4. [punti 6] Data la successione f n (x) := nx e /(n x), x (, + ), (a) determinare l insieme di convergenza puntuale e f(x) := lim n f n (x), (b) verificare se f n converge uniformemente in (, + ); (c) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme. Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y 3 = Ay A =, y =. y() = y 3 Analisi Matematica II (7/9/5). Cognome e Nome, Matricola:

31 Analisi Matematica II (7/9/5) Esercizio A. [punti 6] Data la seguente funzione f(x, y) = x y + y (a) determinarne i punti stazionari e la loro natura, (b) determinare massimo e minimo di f in D = (x, y) R : x + y, x }. (a) I punti stazionari sono soluzioni di f x (x, y) = x = f y (x, y) = y + = che fornisce il punto P = (, ). Poiché det H f(, ) = = 4 <, concludiamo che (, ) è di sella. (b) Poiché D è chiuso e limitato e f è continua su D, il teorema di Weierstrass ci assicura che f ha massimo e minimo su D. Come conseguenza del teorema di Fermat, cerchiamo i punti di massimo e minimo in tre insiemi: (b) tra i punti stazionari interni a D. In questo caso, P D o. (b) tra i punti interni a D in cui non esiste almeno una delle derivate parziali prime di f. In questo caso non ci sono. (b3) tra i punti di frontiera di D. Determiniamo, allora, i punti di massimo e minimo di f FD. Osserviamo che FD è costituita di un arco di circonferenza C = (x, y) R : x + y =, x > }, e un segmento di retta S = (, y) R : y [, ]}. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per studiare f C, e ci accontentiamo di trovare i punti stazionari della Lagrangiana [tra questi ci saranno anche i punti di massimo e minimo di f C ]. Introduciamo la funzione di vincolo g(x, y) = x + y, x >, e determiniamo dapprima i punti non regolari per il vincolo, cioè le soluzioni del sistema g x (x, y) = x = g y (x, y) = y = g(x, y) = x + y =, x >, che non ha soluzione. Introduciamo ora la Lagrangiana L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y), e cerchiamo i punti stazionari di L, cioè le soluzioni del sistema L x (x, y, λ) = x + xλ = L y (x, y, λ) = y + + yλ = L λ (x, y, λ) = x + y =, x >, x = y =, x >, λ = y = 4 x = 5, x >, 6 cioè il punto P = ( 5 4, 4 ). Per quanto riguarda f S, si ha h(y) := f(, y) = y y, y [, ], ed essendo h (y) = y, segue dal teorema di Fermat, che bisogna considerare anche i punti P ± = (, ±), e P 3 = (, ). (b4) Calcolando il valore di f su tutti i punti trovati, otteniamo f(p + ) =, f(p ) =, f(p ) = 9 8, f(p 3) = 4. Quindi min D f = e max D f = 9 8.

32 Esercizio A. [punti 6] Calcolare il seguente integrale y x + y dxdy, D dove D = (x, y) R : x + y, x + (y ) }. Si ha D y x + y dxdy (a) = ϱ 3 sin ϑ dϱdϑ = D ϱ,ϑ = 5π/6 π/6 5π/6 5π/6 π/6 [ ] sin ϑ sin ϑ 4 ϱ4 dϑ = 4 ( sin ϑ sin ϑ 5π/6 π/6 = 4 ( cos ϑ) sin ϑ dϑ + [ ] 5π/6 cos ϑ π/6 4 π/6 3/ (b) 3 = 4 ( t ) dt 3/ 4 = 4 [t 3 t3 + ] 3/ 3 5 t5 3/ 4 = 3, 5 ) ϱ 3 dϱ dϑ sin ϑ(6 sin 4 ϑ ) dϑ dove in (a) si è usato il cambio di variabile x = ϱ cos ϑ, y = ϱ sin ϑ, per cui D ϱϑ = (ϱ, ϑ) R : ϱ sin ϑ, ϑ [ π, 5π ]}, e in (b) il cambio di variabili t = cos ϑ = dt = sin ϑ dϑ. 6 6 Esercizio A3. [punti 6] Calcolare S F n dσ, dove S è la superficie laterale del paraboloide orientata nel verso della normale esterna, e T = (x, y, z) R 3 : x + y z 4}, F (x, y, z) = (y + ) ı z x + j + x x + y + k. Sia S = (x, y, z) R 3 : x + y 4, z = 4}, per cui T = S S. Una parametrizzazione di S è Φ(x, y) = (x, y, 4), (x, y) A := (x, y) R : x + y 4}, il cui vettore normale è Φ x Φ y = k, che è esterno a T. Dal teorema della divergenza si ha div F dxdydz = F n e dσ + F ne dσ, T dove n e è il versore normale esterno rispetto a T. Poiché div F =, si ha F n e dσ = F ne dσ = F Φ Φ x Φ y dxdy S S = (b) = π A x x + y + ( ϱ ϱ ϱ + A S dxdy (a) = ) dϱ = π π [ ϱ S ϱ 3 ϱ + cos ϑ dϱdϑ log(ϱ + ) ] = π + π log 5, dove in (a) si è usato il cambio di coordinate x = ϱ cos ϑ, y = ϱ sin ϑ, e in (b) il risultato π cos ϑ dϑ = π ( + cos(ϑ)) dϑ = π.

33 Esercizio A4. [punti 6] Data la successione f n (x) := x) nx e /(n, x (, + ), (a) determinare l insieme di convergenza puntuale e f(x) := lim n f n (x), (b) verificare se f n converge uniformemente in (, + ); (c) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme. Osserviamo che f(x) := lim n f n (x) =, e quindi la successione converge per ogni x (, + ). Poiché f n(x) = n x e /(n x ) x (, ), si ha n 3 x 4 n sup x (,+ ) f n (x) f(x) = e, per cui f n f in (, + ). Inoltre, per ogni a >, e n >, f a n è decrescente in [a, + ), per cui sup x [a,+ ) f n (x) f(x) = f n (a), e quindi f n f in [a, + ), per ogni a >. Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y 3 = Ay A =, y =. y() = y 3 Cerchiamo gli autovalori di A: 3 λ det(a λi) = λ 3 λ = λ(3 λ) + λ + (3 λ) + (3 λ) = λ 3 + 6λ λ + 8 = ( λ) 3 =, da cui si ottiene la soluzione λ = (tripla). Autovettori per λ = : x = (A I) v = x x + x x 3 =. x 3 Poiché ci sono solo autovettori indipendenti [una condizione lineare significa che dim ker(a I) = 3 = ], occorre cercare gli autovettori generalizzati: x = (A I) v = x v, x 3 e quindi scegliamo v 3 = e, e v = (A I) v 3 = e e e 3, e possiamo prendere v = e e. Da y = c v + c v + c 3 v 3 si ricava = y () = c + c c = = y () = c c + c 3 c = = y 3 () = c c 3 =. La soluzione del problema di Cauchy è quindi: cioè y(t) = e At y = c e At v + c e At v + c 3 e At v 3 = c e t v + c e t v + c 3 e t( I + (A I)t ) v 3 = c e t v + (c + c 3 t)e t v + c 3 e t v 3 = e t + (t )e t + e t, y (t) = ( + t)e t y (t) = ( t)e t y 3 (t) = ( t)e t.

34 Analisi Matematica II (4/9/5) Risposte non giustificate non verranno considerate. Consegnare solo la bella copia. Scrivere anche sul retro del foglio. Cognome: Nome: Matricola, Crediti: TOTALE Versione A Esercizio A. [punti 6] Data l equazione g(x,y) = xe y +ye x =, (a) verificare che essa definisce implicitamente y = f(x) nell intorno di (, ), (b) determinare il polinomio di Taylor di ordine in x = della funzione f.

35 Esercizio A. [punti 6] Sia data la forma differenziale ( x ) ( ω(x,y) = (x +y ) 4/3 +3y +xy dx+ y (x +y ) 4/3 +x +6xy ) dy. (a) Verificare che ω è esatta in D = R \(,)}, e determinarne una primitiva (o potenziale). (b) Calcolare γ ω, dove γ(t) = (e t cost,e t sint), t [,π]. Esercizio A3. [punti 6] Calcolare F ndσ, dove S è la superficie laterale del cono S T = (x,y,z) R 3 : z x +y,z [,]}, orientata nel verso della normale esterna n e, e F(x,y,z) = xy ı y3 3 j+log(x +y ) k. Analisi Matematica II (4/9/5). Cognome e Nome, Matricola:

36 Esercizio A4. [punti 6] Data la serie n= ) n, (x ( )n 5 (a) determinare gli insiemi di convergenza puntuale (o semplice) e assoluta, (b) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme della serie. Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y +6y +9y = 8cos3t y() = 4 3, y () =, y () = 6. Analisi Matematica II (4/9/5). Cognome e Nome, Matricola:

37 Analisi Matematica II (4/9/5) Esercizio A. [punti 6] Data l equazione g(x,y) = xe y +ye x =, (a) verificare che essa definisce implicitamente y = f(x) nell intorno di (, ), (b) determinare il polinomio di Taylor di ordine in x = della funzione f. Osserviamo che g(,) = e g x (x,y) = e y +ye x, g y (x,y) = xe y +e x, e quindi g x (,) =, g y (,) =. Per il teorema del Dini, g(x,y) = definisce, in un intorno di (,), un unica funzione y = f(x), che risulta essere di classe C. Inoltre, g(x,f(x)) =, per ogni x in un intorno di x =, per cui derivando rispetto ad x si ottiene e sostituendo x =, f() =, si ottiene Osserviamo che Derivando ( ) di nuovo, si ottiene = g x (x,f(x))+g y (x,f(x))f (x) (*) = +f () f () =. g xx (x,y) = ye x = g xx (,) =, g xy (x,y) = e x +e y = g xy (,) =, g yy (x,y) = xe y = g yy (,) =. = g xx (x,f(x))+g xy (x,y)f (x)+g yy (x,f(x))f (x) +g y (x,f(x))f (x) e sostituendo x =, f() =, f () =, si ottiene = 4+f () f () = 4. Ma allora il polinomio richiesto è T (x) = x+x. Esercizio A. [punti 6] Sia data la forma differenziale ( x ) ( ω(x,y) = (x +y ) 4/3 +3y +xy dx+ y (x +y ) 4/3 +x +6xy ) dy. (a) Verificare che ω è esatta in D = R \(,)}, e determinarne una primitiva (o potenziale). (b) Calcolare γ ω, dove γ(t) = (e t cost,e t sint), t [,π]. Posto ω(x,y) = f dx+gdy, si ha g = f 8xy = x + 6y, per cui ω x y 3(x +y ) 7/3 è chiusa in D, che non è semplicemente connesso. Se esiste una funzione potenziale U in D, allora deve soddisfare U = x +3y +xy x (x +y ) 4/3 U = y y 3(x +y ) 4/3 +x +6xy

38 Dalla prima equazione segue che U(x,y) = ( x y +ϕ(y), e derivando rispetto ad y, 6xy ϕ (y) =, per cui una funzione potenziale è data da x +3y +xy ) 3 dx = (x +y ) 4/3 y 3(x +y ) 4/3 +6xy +x +ϕ (y) = U 3 U(x,y) = (x +y ) /3 +3xy +x y. Allora γ ω = U(γ(π)) U(γ()) = U(e π,) U(,) = 3 ( e4π/3 ). y = +3xy + (x +y ) /3 y +x + 3(x +y ) 4/3 Esercizio A3. [punti 6] Calcolare F ndσ, dove S è la superficie laterale del cono S T = (x,y,z) R 3 : z x +y,z [,]}, orientata nel verso della normale esterna n e, e F(x,y,z) = xy ı y3 3 j+log(x +y ) k. Siano S = (x,y,z) R 3 : x +y,z = }, S = (x,y,z) R 3 : x +y 4,z = }, per cui T = S S S. Una parametrizzazione di S è Φ (x,y) = (x,y,), (x,y) A := (x,y) R : x +y }, il cui vettore normale è Φ x Φ y = ı j k = k, che è interno a T, mentre una parametrizzazione di S è Φ (x,y) = (x,y,), (x,y) A := (x,y) R : x +y 4}, il cui vettore normale è Φ x Φ y = k, che è esterno a T. Dal teorema della divergenza si ha divf dxdydz = F n e dσ+ F ne dσ + F ne dσ, T S S S dove n e è il versore normale esterno rispetto a T. Poiché divf = y y =, si ha F n e dσ = F ne dσ F ne dσ S S S = F Φ Φ x Φ y dxdy F Φ Φ x Φ y dxdy A A = log(x +y )dxdy log(x +y )dxdy A A ( π π ) (a) = lim log( ) d dϑ log( ) d dϑ a + a a ( [ (b) = lim π log ] [ π log ] ) = 3π 8πlog, a + a dove in (a) si è usato il cambio di coordinate x = cosϑ, y = sinϑ, e in (b) il risultato log d = log 4. a Esercizio A4. [punti 6] Data la serie n= ) n, (x ( )n 5 (a) determinare gli insiemi di convergenza puntuale (o semplice) e assoluta, (b) determinare il generico intervallo di convergenza uniforme della serie.

39 Osserviamo che la serie data è somma di due serie di potenze n= (x ( )n 5 ) n = k= ( x 5 ) k + k= ( x+ 5) k, equindi converge assolutamente seentrambelofanno, cioèse x < 5 x+ < x 5 ( 4, 4), e non converge, se almeno una delle due non converge, cioè se x 5 5 (, 4 5 ] [4,+ ). 5 Infine la serie data converge uniformemente in [ 4 + δ, 4 δ], per ogni δ >, per un noto 5 5 teorema. Oppure, usiamo il criterio di Weierstrass di convergenza totale, e calcoliamo, per ogni δ >, M n := sup x 4 x ( ) n n 5 δ = ( δ) n. Poiché 5 n= M n converge, la serie data converge uniformemente in [ 4 +δ, 4 δ], per ogni δ >. 5 5 Esercizio A5. [punti 6] Risolvere il problema di Cauchy y +6y +9y = 8cos3t y() = 4 3, y () =, y () = 6. Risolviamo dapprima l equazione omogenea associata. L equazione caratteristica λ 3 +6λ +9λ = ha radici λ =, λ = 3 (doppia). Quindi, y om (t) = a +a e 3t +a 3 te 3t. Cerchiamounasoluzioneparticolare,dell equazionenonomogenea,dellaformay p (t) = acos3t+ bsin3t. Allora y p(t) = 3asin3t+3bcos3t, y p(t) = 9acos3t 9bsin3t, y p (t) = 7asin3t 7bcos3t, per cui 54acos3t 54bsin3t = 8cos3t, e quindi a =, b =. Quindi 3 y gen (t) = a +a e 3t +a 3 te 3t cos3t. 3 Dalle condizioni iniziali otteniamo 4 = y 3 gen() = a +a 3 = y gen () = 3a e 3t +a 3 ( 3t)e 3t +sin3t t= = 3a +a 3 6 = y gen() = 9a e 3t +3a 3 (3t )e 3t +3cos3t t= = 9a 6a 3 +3 cioè a =, a =, a 3 3 =. Allora y Cauchy (t) = 3 e3t te 3t cos3t, t R. 3