Analisi Matematica 2: Scritto Generale, Cognome e nome:...matricola:...

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1 Analisi Matematica 2: Scritto Generale, Cognome e nome: matricola: es.1 es.2 es.3 es.4 es.5 es.6 es.7 somma 5cr /9cr Per ottenere un credito (punteggio) almeno parziale, la soluzione dell esercizio deve contenere abbastanza dettagli in modo che sia possibile esprimire un giudizio sul lavoro svolto. In particolare, non verrà riconosciuto alcun credito agli esercizi svolti senza alcun dettaglio. 1. Determinare, nel punto ( 1, 1, 11), l equazione del piano tangente alla superficie di equazione z = (x 2 y 2 )(x 4 + y 4 ) + 12xy Calcolare l area della parte del cilindro x 2 + y 2 = 16 contenuta nel solido { (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 25, x y x } Calcolare i massimi e minimi della funzione f(x, y) = x 2 4x y 2 nel dominio D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 16}. Indicare se si tratta di massimi o minimi relativi o assoluti (e perchè). 4. Calcolare l integrale curvilineo della forma differenziale ( ) ( ) x y ω = x 2 + y 2 +cos(x)[ey e y ] dx+ x 2 + y 2 sin(x)[ey + e y ] dy lungo la frontiera del dominio D = {(x, y) : x 2 + y 2 9, x 2}. Indicare, in un disegno, l orientamento della curva di frontiera.

2 5. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes oppure il teorema della divergenza, il flusso del campo attraverso la superficie F = ( 5x, 5y, 2y) Σ = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2 25}. Indicare, in un disegno, il versore normale e l orientamento della curva di frontiera in modo coerente. 6. (Solo per nove o sei crediti) Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = 2(t + 1) 2/3 y 2, y(0) = (Solo per nove o sei crediti) Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y + 6y + 34y = 2 cos(t) sin(t).

3 Soluzioni: 21 febbraio z + 11 = 8(x + 1) 16(y 1) oppure z = 8x 16y La parametrizzazione della superficie: 4 cos θ Φ(z, θ) = 4 sin θ, 3 z 3, π θ π. 4 3 z Quindi Infine, 0 4 sin θ Φ z Φ θ = 0 4 cos θ, Φ x Φ y = A = π 3 π 4 3 dθ dz 4 = 14π L unico punto critico (dove f = (2x 4, 2y)) è (2, 0), un punto di sella. Sostituendo y 2 = 16 x 2 in f(x, y) = x 2 4x y 2, si ha g(x) = 2x 2 4x 16 = 2(x 4)(x + 2), dove 4 x 4. Troviamo, sulla frontiera, f( 4, 0) = 32 [massimo assoluto], f(1, ± 15) = 18 [minimi assoluti] e f(4, 0) = 0 [massimo relativo]. 4. La forma differenziale ω si esprime come somma delle forme differenziali x ω 1 = x 2 + y dx + y 2 x 2 + y dy, 2 ω 2 = cos(x)[e y e y ] dx + sin(x)[e y + e y ] dy. Ambedue le forme differenziali sono chiuse (nei rispettativi domini R 2 \ {(0, 0)} e R 2 ), poichè ( y ) = ( ) x = 2xy x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ), 2 ( cos(x)[e y e y ] ) = ( sin(x)[e y + e y ] ) = cos(x)[e y + e y ]. y x

4 Siccome ω 2 è esatta, si ha ω 2 = 0, qualunque sia la curva chiusa di integrazione. D altra parte, cambiando la curva di integrazione in (3 cos θ, 3 sin θ) (0 θ 2π) senza cambiare l integrale curvilineo, si ha: 2π ( ω 1 = 3 sin θ [ 3 sin θ] + 3 cos θ ) [3 cos θ] dθ = 2π Di conseguenza, ω = ω 1 + ω 2 = 2π + 0 = 2π. 5. Primo metodo: Siccome F = 0, esiste A tale che A = F, oppure: A 3 y A 2 z = 5x, A 1 z A 3 x = 5y, A 2 x A 1 y = 2y. Cercando un A che non dipende da z, si trova per la soluzione generale A = ( y 2, 0, 5xy) + φ, dove φ(x, y, z) è arbitrario. Dunque Σ ( F n)ds = = 125 Σ π A d s = π Σ sin 3 θ dθ = 0 x dy = 2π se il versore normale nel punto (0, 0, 0) è (0, 0, 1). 0 [25 sin 2 θ]d(5 cos θ) Secondo metodo: Siccome F = 0, il teorema della divergenza implica che il flusso rimane invariante se cambiamo la superficie Σ in una superficie Σ con la stessa curva di bordo. Scegliendo Σ = {(x, y, 25) : x 2 + y 2 25}, si ha: ( F n)ds = ( F n)ds = F 3 (x, y) dxdy Σ Σ Σ 5 25 y 2 5 = 2y dx dy = 4y 25 y 5 25 y 2 dy = Scriviamo l equazione differenziale prima nella forma dy y 2 = 2 dt (t + 1) 2/3.

5 Allora 1 y = 6(t + 1)1/3 + cost. Sostituendo y(0) = 8 si ottiene cost. = 49 8 e quindi y = (t + 1) 1/3. 7. L equazione caratteristica λ 2 + 6λ + 34 = 0 conduce alla soluzione dell equazione omogenea y h = c 1 e 3t cos(5t) + c 2 e 3t sin(5t). Ponendo y p = A cos(t) + B sin(t) si ottengono A = 2 e B = 1. Quindi y = c 1 e 3t cos(5t) + c 2 e 3t sin(5t) + 2 cos(t) 1 sin(t)